连续 可导 可微
1.定义
1.1 连续的定义
-
定义1
设y = f(x) 在点 x 0 x_0 x0 的某领域内有定义，若
lim Δ x → 0 Δ y = lim Δ x → 0 [ f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) ] = 0 \displaystyle \lim_{Δx \to 0} Δy = \lim_{Δx \to 0}[f(x_0 + Δx) - f(x_0)] = 0 Δx→0limΔy=Δx→0lim[f(x0+Δx)−f(x0)]=0
则称 y = f(x)在点 x 0 x_0 x0处连续
-
定义2
设y = f(x) 在点 x 0 x_0 x0 的某领域内有定义，若
lim Δ x → 0 f ( x ) = f ( x 0 ) \displaystyle \lim_{Δx \to 0}f(x) = f(x_0) Δx→0limf(x)=f(x0)
则称y = f(x)在 x 0 x_0 x0处连续
1.2 可导的定义
设y = f(x) 在点 x 0 x_0 x0 的某领域内有定义，如果极限
lim Δ x → 0 Δ y Δ x = lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x \displaystyle \lim_{Δx \to 0} \frac{Δy}{Δx} = \lim_{Δx \to 0} \frac{f(x_0 + Δx) - f(x_0)}{Δx} Δx→0limΔxΔy=Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0)
存在，则称f(x)在点 x 0 x_0 x0处可导,记作 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f′(x0)也可以记作 y ′ ∣ x = x 0 , d y d x ∣ x = x 0 , d f ( x ) d x ∣ x = x 0 y'|_{x=x_0}, \frac{dy}{dx}|_{x=x_0}, \frac{df(x)}{dx}|_{x=x_0} y′∣x=x0,dxdy∣x=x0,dxdf(x)∣x=x0
1.3 可微的定义
设y = f(x) 在点 x 0 x_0 x0 的某领域内有定义，如果函数的增量 Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δy = f(x_0 + Δx) - f(x_0) Δy=f(x0+Δx)−f(x0)可以表示为
Δ y = A Δ x + o ( Δ x ) , ( Δ x → 0 ) \Delta y = A\Delta x + o(\Delta x),(\Delta x\to 0) Δy=AΔx+o(Δx),(Δx→0),
其中A为不依赖
Δ
x
\Delta x
Δx的常数，则称函数在
x
0
x_0
x0处可微,而
A
Δ
x
A\Delta x
AΔx叫做函数
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)在点
x
0
x_0
x0相对于自变量增量
Δ
x
\Delta x
Δx的微分，记作dy，即
d
y
=
A
Δ
x
\displaystyle dy = A\Delta x
dy=AΔx
2.三者之间的关系
3.关系证明
3.1 可微和可导
-
可微一定可导
按上述定义，设函数在y=f(x)点可微，在函数两边除以 Δ x \Delta x Δx,得
Δ y Δ x = A + o ( Δ x ) Δ x \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = A + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x} ΔxΔy=A+Δxo(Δx)
当 Δ x → 0 \Delta x \to 0 Δx→0时，有
A = lim Δ x → 0 Δ y Δ x = f ′ ( x 0 ) \displaystyle A = \lim_{Δx \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x_0) A=Δx→0limΔxΔy=f′(x0)
符合可导的定义
-
可导一定可微
若 y = f ( x 0 ) y=f(x_0) y=f(x0)在点 x 0 x_0 x0可导，则
lim Δ x → 0 Δ y Δ x = f ′ ( x 0 ) \displaystyle \lim_{Δx \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x_0) Δx→0limΔxΔy=f′(x0)
存在，根据极限与无穷小的关系(高等数学上第一章第四节定理1)，可写成
Δ y Δ x = f ′ ( x 0 ) + α \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x_0) + \alpha ΔxΔy=f′(x0)+α
其中 α → 0 ( 当 Δ x → 0 ) \alpha \to 0 (当Δx \to 0) α→0(当Δx→0), 两边同乘 Δ x \Delta x Δx, 有
Δ y = f ′ ( x 0 ) Δ + α Δ x \Delta y = f'(x_0)\Delta + \alpha\Delta x Δy=f′(x0)Δ+αΔx
因 α Δ x = o ( Δ x ) α\Delta x =o(\Delta x) αΔx=o(Δx),且 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f′(x0)不依赖于 Δ x \Delta x Δx, 符合可微的定义
3.2 可导和连续
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可导(可微)一定连续
Tips: 由上述证明可知，函数 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0)在 x 0 x_0 x0点可导的充分必要条件是函数 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0)在 x 0 x_0 x0点可微，故只要证明可导一定连续，就可推出可微一定连续。
下面证可导一定连续
设函数 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x)在x处可导，即
lim Δ x → 0 Δ y Δ x = f ′ ( x ) \displaystyle \lim_{Δx \to 0} \frac{Δy}{Δx} = f'(x) Δx→0limΔxΔy=f′(x),根据极限与无穷小的关系(高等数学上第一章第四节定理1)，可写成
Δ y Δ x = f ′ ( x ) + α \displaystyle \frac{Δy}{Δx} = f'(x) + \alpha ΔxΔy=f′(x)+α
其中 α → 0 ( 当 Δ x → 0 ) \alpha \to 0 (当Δx \to 0) α→0(当Δx→0), 两边同乘 Δ x \Delta x Δx, 有
Δ y = f ′ ( x ) Δ x + α Δ x \Delta y = f'(x)\Delta x + \alpha\Delta x Δy=f′(x)Δx+αΔx
由此可见，当 Δ x → 0 \Delta x \to 0 Δx→0时， Δ y → 0 \Delta y \to 0 Δy→0,符合函数连续定义1，故可导一定连续
-
连续不一定可导
反例： y = ∣ x ∣ y = |x| y=∣x∣连续但不可导
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证明1
函数图像如下：
导数的几何意义是切线的斜率，即 f ′ ( x 0 ) = t a n α f'(x_0) = tan \alpha f′(x0)=tanα,易知原点左侧的斜率为-1，右侧为1，左右导数存在不相等，故不可导(可导的充分必要条件是左右极限存在且相等)
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4.记忆方法
可导与可微是等价的，所以记住三者的关系，只要记住连续不一定可导\可微即可。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-459537.html
5.参考文章
- 高等数学（第七版）
- 武忠祥网课+高等数学基础篇
文章最后感谢华工悦哥的帮助指导文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-459537.html
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