二叉搜索树(查找、插入、删除的讲解实现+图文并茂)

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了二叉搜索树(查找、插入、删除的讲解实现+图文并茂)。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

目录

1. 二叉搜索树(BST)

  1.1 二叉搜索树概念

  1.2 二叉搜索树操作

        1.2.1 二叉搜索树的查找

        1.2.2 二叉搜索树的插入 

        1.2.3 二叉搜索树的删除

2. 二叉搜索树的实现

  2.1BST基本结构

  2.2 BST操作成员函数(非递归)

  2.3 BST操作成员函数(递归)

3. 二叉搜索树的应用

4. 二叉搜索树的性能分析


1. 二叉搜索树(BST)

  1.1 二叉搜索树概念

二叉搜索树又称二叉排序树,它或者是一棵空树,或者是具有以下性质的二叉树:

  • 若它的左子树不为空,则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
  • 若它的右子树不为空,则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
  • 它的左右子树也分别为二叉搜索树

二叉搜索树(查找、插入、删除的讲解实现+图文并茂)我举几个例子,更直观的看清楚结构:

 二叉搜索树(查找、插入、删除的讲解实现+图文并茂)

  1.2 二叉搜索树操作

二叉搜索树(查找、插入、删除的讲解实现+图文并茂)

int a[] = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13};

        1.2.1 二叉搜索树的查找

  • 从根开始比较,查找,比根大则往右边走查找,比根小则往左边走查找。
  • 最多查找高度次,走到空,还没找到,则这个值不存在。

        1.2.2 二叉搜索树的插入 

插入的具体过程如下:

  • 树为空,则直接新增节点,赋值给root指针
  • 树不为空,按二叉搜索树性质查找插入的位置,插入新节点(记录父节点,判断插入的节点应该在父节点的左子树还是右子树) 

二叉搜索树(查找、插入、删除的讲解实现+图文并茂)

        1.2.3 二叉搜索树的删除

二叉搜索树(查找、插入、删除的讲解实现+图文并茂)

首先查找元素是否在二叉搜索树中,如果不存在,则返回, 否则要删除的结点可能分下面四种情
况:
        a. 要删除的结点无孩子结点
        b. 要删除的结点只有左孩子结点
        c. 要删除的结点只有右孩子结点
        d. 要删除的结点有左、右孩子结点

看似删除节点有4种情况,但实际上a和b和c可以合并,这样就只有2种情况了:

        a:待删除的结点无孩子/只有一个孩子:删除结点并使父亲结点指向被删除结点的孩子结点(无孩子视为孩子是空结点,任意指向一个即可)

二叉搜索树(查找、插入、删除的讲解实现+图文并茂)

        b:待删除的结点有左右孩子:采用替换法,寻找删除结点右子树的最小结点(右子树最左结点),将最小结点的值和删除结点的值替换,然后删除最小结点(此时最小结点,要么没有孩子,要么只有一个孩子,符合a情况可以直接删除)

二叉搜索树(查找、插入、删除的讲解实现+图文并茂)二叉搜索树(查找、插入、删除的讲解实现+图文并茂)

二叉搜索树(查找、插入、删除的讲解实现+图文并茂)

2. 二叉搜索树的实现

  2.1BST基本结构


结点:

template<class K>
struct BSTreeNode
{
	BSTreeNode<K>* _left;
	BSTreeNode<K>* _right;
	K _key;

	BSTreeNode(const K& key)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _key(key)
	{}
};

BST树:

template<class K>
class BSTree
{
	typedef BSTreeNode<K> Node;
public:
    //成员函数
private:
    Node* _root=nullptr;
};

查找:

bool Find(const K& key)
{
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
        //待查值大于当前结点,去右子树
		if (cur->_key < key)
		{
			cur = cur->_right;
		}
        //待查值小于当前结点,去左子树
		else if (cur->_key > key)
		{
			cur = cur->_left;
		}
        //找到
		else
		{
			return true;
		}
	}

	return false;
}

  2.2 BST操作成员函数(非递归)


插入:

bool Insert(const K& key)
{
    //树为空,则直接新增结点,赋值给_root指针
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(key);
		return true;
	}

	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
    //按性质查找插入的位置,并且记录父结点
	while (cur)
	{
		if (cur->_key < key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_key > key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
        //已有结点,不需要再插入
		else
		{
			return false;
		}
	}

	cur = new Node(key);
    //判断是插入父结点的左部还是右部
	if (parent->_key < key)
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
	}

	return true;
}

删除:

bool Erase(const K& key)
{
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
    //查找是否有待删除的节点
	while (cur)
	{
		if (cur->_key < key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_key > key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			// 开始删除
			// 1、左为空
			// 2、右为空
			// 3、左右都不为空
			if (cur->_left == nullptr)
			{
                //判断下当前节点是否是_root,若是,无法用parent(当前为nullptr,防止野指针错误)
				if (cur == _root)
				{
					_root = cur->_right;
				}
				else
				{
					if (cur == parent->_left)
					{
						parent->_left = cur->_right;
					}
					else
					{
						parent->_right = cur->_right;
					}
				}

				delete cur;
				cur = nullptr;
			}
			else if (cur->_right == nullptr)
			{
				if (_root == cur)
				{
					_root = cur->_left;
				}
				else
				{
					if (cur == parent->_left)
					{
						parent->_left = cur->_left;
					}
					else
					{
						parent->_right = cur->_left;
					}
				}

				delete cur;
				cur = nullptr;
			}
			else
			{
				//记录删除节点父节点
				Node* minParent = cur;
				//找到右子树最小节点进行替换
				Node* min = cur->_right;
				while (min->_left)
				{
					minParent = min;
					min = min->_left;
				}
				swap(cur->_key, min->_key);
				//min在父的左孩子上
				if (minParent->_left == min)
					//万一最左节点还有右孩子节点,或者是叶子也直接指右为空
					minParent->_left = min->_right;
				//min在父的右孩子上(待删除节点在根节点,最左节点为根节点的右孩子)
				else
					minParent->_right = min->_right;
				delete min;
				min == nullptr;
			}
			return true;
		}
	}
	return false;
}

其他成员函数这里就不展示了,这里再说一个小tips:

default:强制编译器生成默认的构造——C++11的用法

BSTree()=default;

  2.3 BST操作成员函数(递归)

还是递归香,看懂了上面的非递归那么就可以改造成递归了。 


查找:

bool _FindR(Node*& root, const K& key)
{
	if (root == nullptr)
		return false;
	if (root->_key < key)
	{
		return _FindR(root->_right, key);
	}
	else if (root->_key > key)
	{
		return _FindR(root->_left, key);
	}
	else
	{
		return true;
	}
}

插入:

bool _InsertR(Node*& root, const K& key)
{
	if (root == nullptr)
	{
		root = new Node(key);
		return true;
	}

	if (root->_key < key)
		return _InsertR(root->_right, key);
	else if (root->_key > key)
		return _InsertR(root->_left, key);
	else
		return false;
}

删除:

bool _EraseR(Node* root, const K& key)
{
	Node* del = root;
	if (root == nullptr)
		return false;
	if (root->_key < key)
		return _EraseR(root->_right, key);
	else if (root->_key > key)
		return _EraseR(root->_left, key);
	else
	{
		if (root->_left == nullptr)
			root = root->_right;
		else if (root->_right == nullptr)
			root = root->_left;
		else
		{
			//找右数的最左节点替换删除
			Node* min = root->_right;
			while (min->_left)
			{
				min = min->_left;
			}
			swap(root->_key, min->_key);
			//交换后结构改变不是搜索二叉树了,规定范围在右树(因为是右树最左节点替换)再递归
			return _EraseR(root->_right, key); 
		}
		delete del;
		return true;
				
	}

}

3. 二叉搜索树的应用

1. K模型 :K模型即只有key作为关键码,结构中只需要存储Key即可,关键码即为需要搜索到的值。
比如:给一个单词word,判断该单词是否拼写正确,具体方式如下:
以词库中所有单词集合中的每个单词作为key,构建一棵二叉搜索树
在二叉搜索树中检索该单词是否存在,存在则拼写正确,不存在则拼写错误。
2. KV模型 :每一个关键码key,都有与之对应的值Value,即<Key, Value>的键值对。该种方
式在现实生活中非常常见:
比如英汉词典就是英文与中文的对应关系,通过英文可以快速找到与其对应的中文,英文单词与其对应的中文<word, chinese>就构成一种键值对;
再比如统计单词次数,统计成功后,给定单词就可快速找到其出现的次数,单词与其出 现次数就是<word, count>就构成一种键值对。

4. 二叉搜索树的性能分析

插入和删除操作都必须先查找,查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。

对有n个结点的二叉搜索树,若每个元素查找的概率相等,则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数,即结点越深,则比较次数越多。

但对于同一个关键码集合,如果各关键码插入的次序不同,可能得到不同结构的二叉搜索树:

二叉搜索树(查找、插入、删除的讲解实现+图文并茂)

最优情况下:二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树),其平均比较次数为:log(N)

最差情况下:二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支),其平均比较次数为 N

 如果退化为单支树,二叉搜索树的性能就失去了。那能否进行改进?无论按照什么次序插入关键码,都能达到最优?这就需要AVL树和红黑树了。

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