三角函数@对数@分式
x > 0 x>0 x>0
-
sin x < x ( x > 0 ) \sin{x}<x(x>0) sinx<x(x>0)
-
ln x ⩽ x − 1 ( x > 0 ) \ln{x}\leqslant{x-1}(x>0) lnx⩽x−1(x>0)
- ln ( x ) + 1 ⩽ x \ln{(x)}+1\leqslant{x} ln(x)+1⩽x
-
ln ( x + 1 ) ⩽ x ( x > 0 ) \ln{(x+1)}\leqslant{x}(x>0) ln(x+1)⩽x(x>0)
- 令 t = x + 1 , t > 1 > 0 令t=x+1,t>1>0 令t=x+1,t>1>0
- ln ( t ) ⩽ t − 1 \ln(t)\leqslant{t-1} ln(t)⩽t−1
- ln ( x + 1 ) ⩽ x \ln{(x+1)}\leqslant{x} ln(x+1)⩽x
-
ln ( 1 + 1 x ) < 1 x ( x > 0 ) \ln{(1+\frac{1}{x})}<\frac{1}{x}(x>0) ln(1+x1)<x1(x>0)
- u = 1 x > 0 u=\frac{1}{x}>0 u=x1>0
-
1 1 + x < ln ( 1 + 1 x ) < 1 x ( x > 0 ) \frac{1}{1+x}<\ln{(1+\frac{1}{x})}<\frac{1}{x}(x>0) 1+x1<ln(1+x1)<x1(x>0)
- 此 处 1 1 + x < 1 x 此处\frac{1}{1+x}<\frac{1}{x} 此处1+x1<x1是显然的( x > 0 x>0 x>0范围内,分母大的反而小)
- 记住这一对,有利于记忆这个不等式链
-
x 1 + x < ln ( 1 + x ) < x ( x > 0 ) \frac{x}{1+x}<\ln{(1+x)}<x(x>0) 1+xx<ln(1+x)<x(x>0)
- 由 上 式 将 x 用 1 x 由上式将x用\frac{1}{x} 由上式将x用x1代换得到
- 并且容易发现,
0
<
x
x
+
1
<
1
0<\frac{x}{x+1}<1
0<x+1x<1
- 但 是 ln ( 1 + x ) , x 但是\ln{(1+x)},x 但是ln(1+x),x都可以在 x → ∞ x\to{\infin} x→∞时,趋于无穷大
-
证明:
-
可以考虑作差构造函数,利用导数单调性的方法证明
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这里采用拉格朗日中值定理构造动区间来证明证明
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记函数 f ( x ) = ln x , x > 0 f(x)=\ln{x},x>0 f(x)=lnx,x>0
-
可通过Lagrange中值定理(Lagrange’s Mean Value Theorem,简记为LMVT)
-
构造动态区间 τ = [ x 1 ( x ) , x 2 ( x ) ] \tau=[x_1(x),x_2(x)] τ=[x1(x),x2(x)]
-
也就是,用两个函数作为闭区间的边界
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x 1 = x 1 ( x ) x 2 = x 2 ( x ) x_1=x_1(x) \\ x_2=x_2(x) x1=x1(x)x2=x2(x)
-
当 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2都只是常数的时候,那么称为静态区间
-
不过,动态区间更加具有思考价值,可以做很多有意义的工作(推导@证明一些不等式)
-
-
-
记:
Δ x = x 2 − x 1 Δ y = f ( x 2 ) − f ( x 1 ) \Delta{x}=x_2-x_1 \\ \Delta{y}=f(x_2)-f(x_1) Δx=x2−x1Δy=f(x2)−f(x1)-
则由LMVT
-
Δ y Δ x = f ′ ( ξ ) , Δ x ≠ 0 更 一 般 的 形 式 Δ y = f ′ ( ξ ) Δ x = d d x f ( x ) ∣ x = ξ ⋅ Δ x \frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}=f'(\xi),\Delta{x}\neq0 \\更一般的形式 \\ \Delta{y}=f'(\xi)\Delta{x}=\left.\frac{d}{dx}f(x)\right|_{x=\xi}\cdot\Delta{x} ΔxΔy=f′(ξ),Δx=0更一般的形式Δy=f′(ξ)Δx=dxdf(x)∣∣∣∣x=ξ⋅Δx
-
-
本例中, x 1 = x , x 2 = x + 1 ; x > 0 ; τ = [ x , x + 1 ] , Δ x = x + 1 − x = 1 x_1=x,x_2=x+1;x>0;\tau=[x,x+1],\Delta{x}=x+1-x=1 x1=x,x2=x+1;x>0;τ=[x,x+1],Δx=x+1−x=1,区间宽度是常数1
-
f ( x ) = ln x f(x)=\ln{x} f(x)=lnx
-
f ′ ( x ) = 1 x f'(x)=\frac{1}{x} f′(x)=x1
-
由LMVT,
-
Δ y = ln ( x 2 ) − ln ( x 1 ) = ln ( x + 1 ) − ln x = ln x + 1 x f ′ ( ξ ) Δ x = 1 x ∣ x = ξ Δ x = 1 ξ ⋅ 1 = 1 ξ ∃ ξ , s . t . ln x + 1 x = 1 ξ 且 ξ ∈ τ = [ x , x + 1 ] \Delta{y}=\ln{(x_2)}-\ln(x_1)=\ln{(x+1)}-\ln{x}=\ln\frac{x+1}{x} \\ f'(\xi)\Delta{x}= \left.\frac{1}{x}\right|_{x=\xi}\Delta{x}=\frac{1}{\xi}\cdot{1}=\frac{1}{\xi} \\ \exist\xi,s.t. \\\ln\frac{x+1}{x}=\frac{1}{\xi} \\且\xi\in\tau=[x,x+1] Δy=ln(x2)−ln(x1)=ln(x+1)−lnx=lnxx+1f′(ξ)Δx=x1∣∣∣∣x=ξΔx=ξ1⋅1=ξ1∃ξ,s.t.lnxx+1=ξ1且ξ∈τ=[x,x+1]
-
为 了 便 于 比 较 , 将 ξ ∈ [ x , x + 1 ] 变 形 为 1 ξ ∈ [ 1 x + 1 , 1 x ] 从 而 1 x + 1 < ln x + 1 x < 1 x 分 离 常 数 的 形 式 : 1 x + 1 < ln ( 1 + 1 x ) < 1 x , ( x > 0 ) 为了便于比较,将\xi\in[x,x+1]变形为 \\ \frac{1}{\xi}\in[\frac{1}{x+1},\frac{1}{x}] \\从而 \\ \frac{1}{x+1}<\ln{\frac{x+1}{x}}<\frac{1}{x} \\分离常数的形式: \\ \frac{1}{x+1}<\ln{(1+\frac{1}{x})}<\frac{1}{x},(x>0) 为了便于比较,将ξ∈[x,x+1]变形为ξ1∈[x+11,x1]从而x+11<lnxx+1<x1分离常数的形式:x+11<ln(1+x1)<x1,(x>0)
-
-
此外, x > 0 ⇒ 1 x > 0 x>0\Rightarrow{\frac{1}{x}>0} x>0⇒x1>0
- x 取 1 x ( 代 换 之 ) 1 1 x + 1 < ln ( 1 + x ) < x 即 : x 1 + x < ln ( 1 + x ) < x x取\frac{1}{x}(代换之) \\ \frac{1}{\frac{1}{x}+1}<\ln{(1+x)}<x \\即: \frac{x}{1+x}<\ln{(1+x)}<x x取x1(代换之)x1+11<ln(1+x)<x即:1+xx<ln(1+x)<x
-
-
x ∈ ( 0 , 1 2 π ) x\in(0,\frac{1}{2}\pi) x∈(0,21π)
正弦正切
-
sin x < x < tan x \sin{x}<x<\tan{x} sinx<x<tanx
- 从单位圆的几何角度可以直接证明
- 同除以 sin x \sin{x} sinx
- 1 < x sin x < cos x 1<\frac{x}{\sin x}<\cos{x} 1<sinxx<cosx
- 同时取倒数
- 1 > sin x x > 1 cos x 1>\frac{\sin{x}}{x}>\frac{1}{\cos{x}} 1>xsinx>cosx1
- 即
1
cos
x
<
sin
x
x
<
1
\frac{1}{\cos{x}}<\frac{\sin{x}}{x}<1
cosx1<xsinx<1
- 由于不等式后两项 f ( x ) = 1 cos x ; g ( x ) = sin x x f(x)=\frac{1}{\cos{x}};g(x)=\frac{\sin{x}}{x} f(x)=cosx1;g(x)=xsinx是偶函数
- 所 以 f ( − x ) = f ( x ) ; g ( − x ) = g ( x ) 所以f(-x)=f(x);g(-x)=g(x) 所以f(−x)=f(x);g(−x)=g(x)
- 由 f ( x ) < g ( x ) 由f(x)<g(x) 由f(x)<g(x)可知,依然有 f ( − x ) < g ( − x ) f(-x)<g(-x) f(−x)<g(−x)
- 可见,在 x ∈ ( − 1 2 π , 0 ) ∪ ( 0 , 1 2 π ) , f ( x ) < g ( x ) x\in(-\frac{1}{2}\pi,0)\cup{(0,\frac{1}{2}\pi)},f(x)<g(x) x∈(−21π,0)∪(0,21π),f(x)<g(x)
x ∈ ( 0 , 1 ) x\in(0,1) x∈(0,1)
-
x 2 < x 1 + x < ln ( 1 + x ) < x \frac{x}{2}<\frac{x}{1+x}<\ln{(1+x)}<x 2x<1+xx<ln(1+x)<x
-
其中 y = x 1 + x = 1 + x − 1 1 + x = 1 − 1 1 + x = − 1 1 + x + 1 y=\frac{x}{1+x}=\frac{1+x-1}{1+x}=1-\frac{1}{1+x}=-\frac{1}{1+x}+1 y=1+xx=1+x1+x−1=1−1+x1=−1+x1+1
-
g ( x ) = − 1 1 + x 可 以 从 − 1 x 图 像 左 移 1 个 单 位 得 到 g(x)=-\frac{1}{1+x}可以从\frac{-1}{x}图像左移1个单位得到 g(x)=−1+x1可以从x−1图像左移1个单位得到
-
再将g(x)向上平移一个得到y(x)
-
https://www.geogebra.org/calculator/kfrrff9b https://www.geogebra.org/calculator/vx6xkq8n 
https://www.geogebra.org/calculator/aqejwzsm
-
-
-
记
-
h ( x ) = 1 2 x h(x)=\frac{1}{2}x h(x)=21x
-
y ( x ) = x 1 + x y(x)=\frac{x}{1+x} y(x)=1+xx
-
p ( x ) = ln ( 1 + x ) p(x)=\ln{(1+x)} p(x)=ln(1+x)
-
q ( x ) = x q(x)=x q(x)=x
-
x ∈ [ 0 , 1 ] x\in{[0,1]} x∈[0,1]
-
分析
-
c ( x ) = h ( x ) y ( x ) = 1 + x 2 c(x)=\frac{h(x)}{y(x)}=\frac{1+x}{2} c(x)=y(x)h(x)=21+x
- 在定义域 x ∈ [ 0 , 1 ] x\in[0,1] x∈[0,1]内, c ( x ) ⩽ ∈ [ 0 , 1 ] c(x)\leqslant\in[0,1] c(x)⩽∈[0,1]
- h ( x ) ⩽ y ( x ) h(x)\leqslant{}y(x) h(x)⩽y(x)
-
由 x > 0 x>0 x>0部分介绍的不等式链: x x + 1 < ln ( 1 + x ) < x \frac{x}{x+1}<\ln{(1+x)}<{x} x+1x<ln(1+x)<x
-
-
有界性@正弦@余弦
-
1 + sin x 2 ⩽ 1 + cos x , ( x ∈ [ 0 , 1 ] ) \frac{1+\sin{x}}{2}\leqslant{}1+\cos{x},(x\in[0,1]) 21+sinx⩽1+cosx,(x∈[0,1])
-
记 f ( x ) = 1 + sin x 2 = 1 2 + sin x 2 记f(x)=\frac{1+\sin{x}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{\sin{x}}{2} 记f(x)=21+sinx=21+2sinx
- g ( x ) = 1 + cos x g(x)=1+\cos{x} g(x)=1+cosx
-
因为 x ∈ [ 0 , 1 ] x\in[0,1] x∈[0,1]内
- sin x , cos x ∈ [ 0 , 1 ] \sin{x},\cos{x}\in[0,1] sinx,cosx∈[0,1]
- 这 样 1 2 sin x ∈ [ 0 , 1 2 ] 这样\frac{1}{2}\sin{x}\in[0,\frac{1}{2}] 这样21sinx∈[0,21]
- 从 而 f ( x ) = 1 2 + sin x 2 ⩽ 1 2 + 1 2 = 1 从而f(x)=\frac{1}{2}+\frac{\sin{x}}{2}\leqslant\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 从而f(x)=21+2sinx⩽21+21=1
- 另一方面, g ( x ) = 1 + cos x ∈ [ 1 , 2 ] g(x)=1+\cos{x}\in[1,2] g(x)=1+cosx∈[1,2]
-
因此 f ( x ) < g ( x ) f(x)<g(x) f(x)<g(x)文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-460585.html
-
更一般的,设 x , y ∈ [ 0 , 1 2 π ] x,y\in[0,\frac{1}{2}\pi] x,y∈[0,21π]文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-460585.html
- f ( x ) = 1 2 + sin x f(x)=\frac{1}{2}+\sin{x} f(x)=21+sinx
- g ( y ) = 1 + cos y g(y)=1+\cos{y} g(y)=1+cosy
- 依然有
f
(
x
)
⩽
g
(
x
)
f(x)\leqslant{g(x)}
f(x)⩽g(x)
- 当且仅当 x = 1 2 π x=\frac{1}{2}\pi x=21π时取得等号
-
反三角
- arctan x ⩽ x ⩽ arcsin x ( x ∈ [ 0 , 1 ] ) \arctan{x}\leqslant{x}\leqslant{\arcsin{x}}(x\in[0,1]) arctanx⩽x⩽arcsinx(x∈[0,1])
x ∈ R x\in{R} x∈R
指数和幂
-
e
x
⩾
x
+
1
(
x
∈
R
)
e^x\geqslant{x+1}(x\in{R})
ex⩾x+1(x∈R)
- e x − 1 ⩽ x e^x-1\leqslant{x} ex−1⩽x
- 通常是希望将指数放缩成幂,达到简化的目的
到了这里，关于math_常用放缩不等式及其变形@指数@对数@三角函数@一次函数的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
