相似
A
A
A，
B
B
B 是两个
n
n
n 阶方阵，如果可存在
n
n
n 阶可逆矩阵
P
P
P，使得
P
−
1
A
P
=
B
P^{-1}AP=B
P−1AP=B则
A
A
A 和
B
B
B 相似，即
A
∼
B
A \sim B
A∼B。
注：矩阵之间有三大关系：矩阵等价( A A A 经过初等变换可以得到 B B B)；矩阵相似；矩阵合同。
相似的性质
- 反身性 A ∼ A A \sim A A∼A， P = E P=E P=E。
- 对称性 A ∼ B = > B ∼ A A \sim B =>B \sim A A∼B=>B∼A。
- 若 A ∼ B , B ∼ C = > A ∼ C A \sim B,B \sim C =>A \sim C A∼B,B∼C=>A∼C
相似矩阵的性质
性质1
若
A
A
A,
B
B
B 相似，则
A
A
A 和
B
B
B 有相同的特征值，
A
A
A 和
B
B
B 的行列式(
∣
A
∣
=
∣
B
∣
|A|=|B|
∣A∣=∣B∣)也相等，
A
A
A 和
B
B
B 的秩相同，且迹(
t
r
(
A
)
=
t
r
(
B
)
tr(A)=tr(B)
tr(A)=tr(B))也相等。但特征值相同并不一定相似。
性质2
A
∼
B
A \sim B
A∼B，
A
A
A 可逆<=>
B
B
B 可逆，且
A
−
1
∼
B
−
1
A^{-1} \sim B^{-1}
A−1∼B−1。若
A
∼
B
A \sim B
A∼B，则
A
A
A 和
B
B
B 同时可逆或同时不可逆。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-463366.html
性质3
A
∼
B
A \sim B
A∼B，则
A
m
∼
B
m
A^m \sim B^m
Am∼Bm。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-463366.html
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