牛顿-莱布尼茨公式练习习题

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了牛顿-莱布尼茨公式练习习题。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

前置知识:牛顿-莱布尼茨公式

习题1

已知 F ( x ) = ∫ 0 x 1 − t d t ( x ≤ 1 ) F(x)=\int_0^x\sqrt{1-t}dt(x\leq 1) F(x)=0x1t dt(x1),求 F ′ ( x ) F'(x) F(x)

解:
\qquad x 0 ∈ [ 0 , 1 ] x_0\in[0,1] x0[0,1]时,

F ′ ( x 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 F ( x 0 + Δ x ) − F ( x 0 ) Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 ∫ x 0 x 0 + Δ x 1 − t Δ x F'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{F(x_0+\Delta x)-F(x_0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\int_{x_0}^{x_0+\Delta x}\sqrt{1-t}}{\Delta x} F(x0)=Δx0limΔxF(x0+Δx)F(x0)=Δx0limΔxx0x0+Δx1t

\qquad G ( x ) G(x) G(x) f ( x ) = 1 − x f(x)=\sqrt{1-x} f(x)=1x 的一个原函数,则

F ′ ( x 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 G ( x 0 + Δ x ) − G ( x 0 ) Δ x = G ′ ( x ) = 1 − x F'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{G(x_0+\Delta x)-G(x_0)}{\Delta x}=G'(x)=\sqrt{1-x} F(x0)=Δx0limΔxG(x0+Δx)G(x0)=G(x)=1x

\qquad 由此可得 F ′ ( x ) = 1 − x F'(x)=\sqrt{1-x} F(x)=1x


习题2

已知 F ( x ) = ∫ 0 arctan ⁡ x tan ⁡ t d t F(x)=\int_0^{\arctan x}\tan tdt F(x)=0arctanxtantdt,求 F ′ ( x ) F'(x) F(x)

解:
\qquad G ( x ) = ∫ 0 x tan ⁡ t d t G(x)=\int_0^x\tan tdt G(x)=0xtantdt,则 G ′ ( x ) = tan ⁡ t G'(x)=\tan t G(x)=tant,所以

F ( x ) = G ( arctan ⁡ x ) F(x)=G(\arctan x) F(x)=G(arctanx)

那么

F ′ ( x ) = 1 1 + x 2 G ′ ( x ) = tan ⁡ x 1 + x 2 F'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}G'(x)=\dfrac{\tan x}{1+x^2} F(x)=1+x21G(x)=1+x2tanx


习题3

已知 F ( x ) = ∫ x x 2 e − t 2 d t F(x)=\int_{\sqrt x}^{x^2}e^{-t^2}dt F(x)=x x2et2dt,求 F ′ ( x ) F'(x) F(x)

解:
\qquad

\qquad G ( x ) = ∫ 0 x e − t 2 d t G(x)=\int_0^xe^{-t^2}dt G(x)=0xet2dt,则 G ′ ( x ) = e − x 2 G'(x)=e^{-x^2} G(x)=ex2,所以

F ( x ) = ∫ 0 x 2 e − t 2 d t − ∫ 0 x e − t 2 d t = G ( x 2 ) − G ( x ) F(x)=\int_0^{x^2}e^{-t^2}dt-\int_0^{\sqrt x}e^{-t^2}dt=G(x^2)-G(\sqrt x) F(x)=0x2et2dt0x et2dt=G(x2)G(x )

\qquad 那么

F ′ ( x ) = 2 x G ′ ( x 2 ) − 1 2 x G ′ ( x ) = 2 x e − x 4 − 1 2 x e − x F'(x)=2xG'(x^2)-\dfrac{1}{2\sqrt x}G'(\sqrt x)=2xe^{-x^4}-\dfrac{1}{2\sqrt x}e^{-x} F(x)=2xG(x2)2x 1G(x )=2xex42x 1ex


总结

若遇到 F ( x ) = ∫ v ( x ) u ( x ) f ( t ) d t F(x)=\int_{v(x)}^{u(x)}f(t)dt F(x)=v(x)u(x)f(t)dt这样的函数并要求求导,一般要化为复合函数的形式,再用牛顿-莱布尼茨公式来解决问题。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-463447.html

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