牛顿-莱布尼茨公式-Toy模板网

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前置知识：黎曼积分的概念

牛顿-莱布尼茨公式

设 $f$ 在 $[a, b]$ 上可积，令

$F(x)=\int_a^xf(t)dt$

则

（1） $F$ 在 $[a, b]$ 上连续
（2）若 $f$ 在点 $x_0\in[a,b]$ 处连续，则 $F$ 在 $x_0$ 处可导，且 $F'(x_0)=f(x_0)$
（3）若 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $F$ 是 $f$ 在 $[a, b]$ 上的一个原函数。如果 $G$ 是 $f$ 的任意一个原函数，则有
$\int_a^bf(x)dx=G(b)-G(a)$

证明：
（1）因为 $f$ 在 $[a, b]$ 上可积，所以 $f$ 在 $[a, b]$ 上有界。令 $M$ 为 $∣ f (x) ∣$ 的最大值，任取 $x_0\in[a,b]$ ，当 $x\in[a,b]$ 时，有

$|F(x)-F(x_0)|=|\int_a^xf(t)dt-\int_a^{x_0}f(t)dt|$

$=|\int_{x_0}^xf(t)dt|\leq M|\int_{x_0}^xdx|=M|x-x_0|$

$\qquad$ 由连续函数的定义，当 $x\to x_0$ 时， $|x-x_0|\to 0$ ， $M|x-x_0|\to 0$ ，所以 $F$ 在点 $x_0$ 处连续

$\qquad$ 因为 $x_0$ 可以取 $[a, b]$ 上的任何值，所以 $F$ 在 $[a, b]$ 上连续

（2）依题意， $x_0$ 是 $f$ 的连续点，则 $\forall\varepsilon>0,\exist\delta>0$ ，当 $t\in[a,b]$ 且 $|t-x_0|<\delta$ 时，都有

$|f(t)-f(x_0)|<\varepsilon$

$\qquad$ 于是，当 $x\in[a,b]$ 且 $|x-x_0|<\delta$ 时，

$|\dfrac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}-f(x_0)|=|\dfrac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^x[f(t)-f(x_0)]dt|<|\dfrac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^x\varepsilon dt|=\varepsilon$

$\qquad$ 由此可得

$F'(x_0)=\dfrac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=f(x_0)$

（3）因为 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，由 $(2)$ 得 $F (x)$ 是 $f$ 在 $[a, b]$ 上的一个原函数。

$\qquad$ 设 $G$ 为 $f$ D 的任意一个原函数，则

$[G (x) - F (x)]^{'} = G^{'} (x) - F^{'} (x) = f (x) - f (x) = 0$

$\qquad$ 所以 $G (x) - F (x) = C$ ，由此可得 $\forall x\in[a,b]$ ，有

$\int_a^xf(t)dt=F(x)=F(x)-F(a)=G(x)-G(a)$

$\qquad$ 特别地，有

$\int_a^bf(t)dt=G(b)-G(a)$

$\qquad$ 这个式子就是牛顿-莱布尼茨公式，这是一种用被积函数的原函数来求定积分的方法。

例题

设 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续， $u (x)$ 和 $v (x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，且 $u (x)$ 和 $v (x)$ 的值域包含于 $[a, b]$ ，求下列函数的导数：

$G(x)=\int_{v(x)}^{u(x)}f(t)dt$

解：
$\qquad$ 令 $F(x)=\int_a^xf(t)dt$ ，则 $F^{'} (u) = f (u)$ ，所以

$G(x)=\int_a^{u(x)}f(t)dt-\int_a^{v(x)}f(t)dt=F(u(x))-F(v(x))$

$\qquad$ 那么

$G^{'} (x) = F^{'} (u (x)) u^{'} (x) - F^{'} (v (x)) v^{'} (x) = f (u (x)) u^{'} (x) - f (v (x)) v^{'} (x)$ 文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-464845.html