目录
摘要
数学建模
1、 倒立摆系统简介
2、 直线倒立摆系统数学模型
系统传递函数模型
系统状态空间数学模型
系统分析
3、 直线一级倒立摆系统分析
（1）系统稳定性分析
（2）系统能控性和能观性分析
仿真
4、 直线倒立摆系统PID控制与仿真
（1）PID控制系统原理
（2）PID控制算法仿真
总结
参考文献
摘要
此次大作业主要通过建立直线一级倒立摆系统的动力学模型,推导该系统的运动方程,求出直线一级倒立摆系统传递函数模型及空间状态方程模型,并进一步对系统的稳定性、能控性及能观性进行分析,得出直线一级倒立摆系统是线性不稳定、完全能控、完全能观系统结论。利用PID控制器方法对系统进行双闭环Simulink仿真，得出常规双闭环PID控制方案和基于状态空间方程加PID控制方案均可以成功地控制直线一级倒立摆系统。
数学建模
1、 倒立摆系统简介
倒立摆是处于倒置不稳定状态、通过人为控制使其处于动态平衡的一种摆,是一个复杂的快速、非线性、多变量、强耦合、开环不稳定系统,是重心在上、支点在下控制问题的抽象[1]。倒立摆主要有两个方面的用途：
第一,作为一个非线性自然不稳定系统,倒立摆系统是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效直观地反映控制中的许多典型问题如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等[6]。
第二,由于倒立摆系统具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合等特性,其作为控制理论研究中的一个严格的控制对象,通过对倒立摆的控制,用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力[2]。
对倒立摆的控制涉及到控制科学中处理非线性、高阶次、强耦合对象的关键技术,许多现代控制理论的研究人员一直将它视为研究对象，因而倒立摆被誉为“控制领域中的一颗明珠”。通过对倒立摆的研究不仅可以解决控制中的理论问题,还能将控制理论涉及的三个主要基础学科—力学、数学和电学进行有机的综合应用[3]。
2、 直线倒立摆系统数学模型
一级倒立摆小车系统如图1所示。系统由沿导轨运动的小车和通过转轴固定在小车上的摆杆组成。
1) 模型假设
a) 忽略空气阻力。
b) 将系统抽象成小车和匀质刚性杆组成的系统。
c) 忽略摆杆与支点之间等的各种次要摩擦阻力。
d) 皮带轮与传送带之间无滑动,传送带无伸长现象。
e) 摩擦力与相对速度角速度成正比。
2) 符号说明
3) 小车及摆杆的受力分析
其中，N--小车与摆杆相互作用力的水平方向的分量, P--小车与摆杆相互作用力的垂直方向的分量。
应用牛顿法建立直线一级倒立摆系统的动力学方程过程。根据小车水平方向所受的合力,可得如下方程
由方程组(9)知该系统是明显的非线性系统。为便于控制器的设计,需要将系统在工作点(𝜙=0)进行线性化处理。当摆杆与垂直向上方向之间的夹角𝜙 必与单位是弧度相比很小(即 𝜙≪1)时,则可以进行近似处理：𝑐𝑜𝑠𝜃=−1,𝑠𝑖𝑛𝜃=−𝜙,(𝑑𝜙/𝑑𝑡)^2=0。为了与控制理论的表达习惯相统一，用u表示被控对象的输入力F, 经线性化处理后系统的数学模型成为如下微分方程表达式：
系统传递函数模型
对方程组（10）进行拉普拉斯变换,得到如下方程组：
系统状态空间数学模型
由现代控制理论原理可知,控制系统的状态空间方程可写成如下形式：
式（13）中, u表示系统控制输入向量, x表示系统状态变量, y表示系统的输出向量, A表示系统的状态矩阵, B表示系统控制输入矩阵, C表示系统输出观测矩阵, D表示系统输入输出矩阵。
系统分析
3、 直线一级倒立摆系统分析
（1）系统稳定性分析
若系统由于受到扰动作用而偏离了原来的平衡状态,但扰动去除后,如果能恢复到原来的平衡状态,则称该系统是稳定的,否则该系统就是不稳定的。求解线性系统稳定性问题最简单的方法是求出该系统的所有极点,并观察是否含有实部大于零的极点（不稳定极点）。[4]如果有这样的极点,则系统是不稳定的,否则系统是稳定的。要得出传递函数描述的系统和状态方程描述的系统的所有极点,只需简单的调用函数MATLAB函数roots(den)或eig(A)即可,这样就可以由得出的极点位置直接判定系统的稳定性了[7]。
（2）系统能控性和能观性分析
在MATLAB中,将实际系统的模型参数代入式（15）和式（16）中,便可得到矩阵A、B、C、D。
a) 能控性
系统的完全能控性只取决于状态方程中的A、B矩阵,可以构造如下一个相似变换矩阵Tc：（借用MATLAB工具箱ctrb（）函数自动生成）
利用MATLAB求出rank(Tc)=4,即矩阵Tc满秩，系统可控。
b) 能观性
系统的完全能控性只取决于状态方程中的A、C矩阵,可以构造如下一个相似变换矩阵To：（借用MATLAB工具箱obsv（）函数自动生成）
利用MATLAB求出rank(To)=4,即矩阵To满秩，系统可控。
综上所述,可以得知直线一级倒立摆系统是一个不稳定且能控能观系统。
仿真
4、 直线倒立摆系统PID控制与仿真
（1）PID控制系统原理
将偏差的比例（P）、积分（I）和微分（D）通过线性组合构成控制量,对被控对象进行控制,故称为控制器。其控制规律为
（2）PID控制算法仿真
直线一级倒立摆摆杆角度控制算法仿真
当PID控制器系数设为Kp = 100, Ki = 1, Kd = 1, 闭环系统脉冲响应曲线其它系数不变,则系统的闭环极点为 -1.2223+14.3643i,-1.2223-14.3643i, -0.0001, -0.0001, -0.0001。系统闭环极点均位于S平面左半部，系统稳定。如图5所示。
系统稳态误差接近0,但系统稳定时间大于4秒,且系统相应的超调量比较大,因此需要对控制器参数再次调节,为了减小超调,需增加微分系数𝐾d，设Kd =5。其它系数不变,系统响应曲线如图6所示。由图6可以看出,系统超调量很小,稳定时间小于1秒,倒立摆摆杆角度闭环控制效果比较理想。
直线一级倒立摆小车位置控制算法仿真
当PID控制器系数设为Kp = 100, Ki = 1, Kd = 1, 闭环系统脉冲响应曲线其它系数不变,则系统的闭环极点为 -1.2223+14.3643i,-1.2223-14.3643i, -0.0001, -0.0001, -0.0001。系统闭环极点均位于S平面左半部，系统稳定。如图5所示。
与上面摆杆角度仿真类似，得到闭环系统小车位置阶跃响应仿真曲线如图7所示。由仿真结果看出,当摆杆角度处于很好的闭环控制下时,小车位置处于失控状态,会沿着某一方向运动下去,可能出现“撞车”现象。出现上述现象的原因是传统的控制方式是建立在传递函数基础上的,只适应于单输入单输出系统,而要使直线一级倒立摆的摆杆角度和小车位置均能得到控制,必须采用其他的控制方式。
（3）直线一级倒立摆双闭环控制算法仿真
上一节设计的控制器只能对倒立摆摆杆的摆角进行控制,而不能对小车的位置进行控制。下面设计双闭环控制器[5],小车位置参数和摆杆参数设定为如下图。
其Simulink仿真原理图如图9所示，其控制效果如图11所示。也可以基于倒立摆系统的状态空间方程（式13）,利用PID控制方法进行仿真,其Simulink仿真原理如图10所示。
由图11或图12可以看出,摆杆最大偏角与垂直向上的夹角小于0.003rad,稳定时间小于5秒,而小车偏离导轨中心最大距离小于0.012m,稳定时间小于5秒。尽管稳定时间有点偏长,但小车的位置,摆杆角度均能得到有效控制。因此,单回路控制方案不能实现对直线一级倒立摆的控制,利用常规双闭环控制方案和基于状态空间方程加控制方案可以成功地控制直线一级倒立摆系统。
总结
此次大作业主要通过建立直线一级倒立摆系统的动力学模型,推导该系统的运动方程,求出直线一级倒立摆系统传递函数模型及空间状态方程模型。接着描述了PID控制系统设计原理及PID控制器各校正环节的作用,简要叙述了参数的整定方法。设计了直线一级倒立摆摆杆摆角及小车位置常规单回路控制器,通过Simulink仿真知道常规单回路控制器能控制摆杆摆角,不能控制小车位置。于是设计出了直线一级倒立摆双闭环控制器及基于倒立摆系统的状态空间方程控制器,利用软件进行仿真,仿真结果表明，常规双闭环控制方案和基于状态空间方程加控制方案均能对摆杆摆角及小车位置进行有效的控制。
参考文献
[1] 洪旭. 倒立摆系统模糊控制算法研究[D].西安电子科技大学,2005.
[2] 汤乐. 倒立摆系统建模与控制方法研究[D].河南大学,2013.
[3] 刘时鹏. MATLAB环境下直线单级倒立摆系统实时控制实验的研究与设计[D].重庆大学,2004.
[4] 肖力龙. 直线一级倒立摆起摆与稳摆控制研究及控制系统设计[D].中南大学,2007.
[5] 张乃尧.倒立摆的双闭环模糊控制[J].控制与决策,1996(01):85-88.
[6] 丛爽,张冬军,魏衡华.单级倒立摆三种控制方法的对比研究[J].系统工程与电子技术,2001(11):47-49+99.
[7] 《现代控制理论》第三版 刘豹 唐万生 主编 。 文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-465289.html
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