在文章中除了IDM模型，也会提及其余的交通模型。本文主要想讲述IDM的基本原理以及它是如何在以下两种模式之间进行转换的。
*IDM has two modes: free-flow and car-following.
Free-flow mode: the target vehicles track a desired speed.
Car-following: the target vehicle follows the preceding vehicle at a safe distance.The ego vehicle is assumed to follow its proceeding vehicle in a safe following distance .
*IDM Basic Assumptions：
1.加速度是速度的严格递减函数。此外，如果不受其他车辆的限制，车辆就会加速到desired spped
v
0
v_0
v0；加速度是与leading veihcle之间的距离
s
s
s的增函数；加速度在靠近leading veihcle的时候会减少；最小间距（bumper-to-bumper distance）
s
0
s_0
s0是必须维持在与leading veihcle之间的，但是如果距离已经小于
s
0
s_0
s0也不会后退。
2.equilibrium bumper-to-bumper distance（平衡状态的距离）不小于 safe distance
s
0
+
v
T
s_0+vT
s0+vT,其中
s
0
s_0
s0为 minimum (bumper-to-bumper) gap，
T
T
T为 the (bumper-to-bumper) time gap。
3.正常情况下，制动动作为“软性”。减速度逐渐增加道一个舒适值（ comfortable value）
b
b
b,在到达一个稳定状态的汽车跟踪（car following）情况会平滑地降低至0；在危险的状况，减速度超过了舒适值，剩余的制动将保持在
b
b
b。
4.不同驾驶模式方面之间的过渡是光滑的，这个与jerk有关，在此不多说。
5.这个模型应该尽可能简洁。每个模型参数都应该只描述驾驶行为的一个方面。
*有三种驾驶状态：1.在自由道路上从静止开始加速。车辆从最高的加速度
a
a
a 开始。速度越高加速度越低，在 速度逐渐接近 desired speed
v
0
v_0
v0时，加速度逐渐接近于0，
δ
\delta
δ 的值越大，在接近
v
0
v_0
v0 加速度减少得越慢。
2.跟随一辆 leading vehicle，与leading vehicle的距离大致是 safe distance
s
0
+
v
T
s_0+vT
s0+vT。
3.当接近一辆很慢或者是静止的车辆的时候，减速度通常不超过 comfortable deceleration
b
b
b。
1.Intelligent driver Model
IDM的公式如下所述，非常简洁明了： v α ˙ = a [ 1 − ( v α v 0 α ) δ − ( s ∗ ( v α , Δ v α ) s α 2 ) ] \dot{v_\alpha}=a[1-(\frac{v_\alpha}{v^\alpha_0})^\delta-(\frac{s^*(v_\alpha,\Delta v_\alpha)}{s_\alpha}^2)] vα˙=a[1−(v0αvα)δ−(sαs∗(vα,Δvα)2)]
它是一个有关于 velocity
v
α
v_\alpha
vα,gap
s
α
s_\alpha
sα,以及 approaching rate
Δ
v
α
\Delta v_\alpha
Δvα的函数。其中 desired gap:
s
∗
(
v
,
Δ
v
)
=
s
0
+
v
T
+
v
Δ
v
2
a
b
s^*(v,\Delta v)=s_0+vT+\frac{v \Delta v}{2 \sqrt{ab}}
s∗(v,Δv)=s0+vT+2abvΔv。
s
0
+
v
T
s_0+vT
s0+vT为equilibrium term，
v
Δ
v
2
a
b
\frac{v \Delta v}{2 \sqrt{ab}}
2abvΔv是dynamical term,dynamical term implements the “intelligent” braking strategy。以下表格中有常用常数的值：
当道路为free-flow时， δ → ∞ \delta \rightarrow \infin δ→∞ 时，对应于Gipps’Model里的加速的状态， δ = 1 \delta=1 δ=1再现了Optimal velocity model里面过渡平滑加速度的行为，也就是线性模型。
2.Gipps’Model
虽然它产生一个不现实的加速度剖面，这个模型可能是最简单的完整和在现实范围内导致加速的无事故模型。
2.1Safe Speed（安全速度）
*Basic Assumptions:
(1).制动动作总是以持续减速度(constant deceleration)数学公式:
b
b
b执行的，没有舒适和（物理可能）最大减速之间的区别。
(2).有一个恒定的reaction time 数学公式:
Δ
t
\Delta t
Δt。
(3).即使leading vehicle 突然减速到一个完全停止(最坏的情况），ego vehicle 与leading vehicle之间的距离不应该小于 minimum gap数学公式:
s
0
s_0
s0。
*safe speed 公式推导：
(1).leading vehicle的 braking distance：数学公式:
Δ
x
l
=
v
l
2
2
b
\Delta x_l=\frac{v^2_l}{2b}
Δxl=2bvl2
这是描述在最坏的情况下，leading vehicle 以恒定减速度减速到停止为止所行驶过的距离。
(2).ego vehicle的stopping distance:
Δ
x
=
v
Δ
t
+
v
2
2
b
\Delta x = v\Delta t+\frac{v^2}{2b}
Δx=vΔt+2bv2
其中公式:
v
Δ
t
v\Delta t
vΔt为reation distance，这描述了ego vehicle的驾驶员从意识到要减速开始一直到停止为止ego vehicle所行驶过的距离。
(3).gap 公式:
s
s
s所应当满足的的条件：
s
≥
s
0
+
v
Δ
t
+
v
2
2
b
−
v
l
2
2
b
s\ge s_0+v \Delta t+\frac{v^2}{2b}-\frac{v^2_l}{2b}
s≥s0+vΔt+2bv2−2bvl2
(4).safe speed（the highest possible speed):
v
s
a
f
e
(
s
,
v
l
)
=
−
b
Δ
t
+
b
2
Δ
t
2
+
v
(
t
+
Δ
t
)
=
m
i
n
[
v
+
a
Δ
t
,
v
0
,
v
s
a
f
e
(
s
,
v
l
)
]
v_{safe}(s,v_l)=-b\Delta t+\sqrt{b^2\Delta t^2 + v(t+\Delta t)}=min[v+a\Delta t,v_0,v_{safe}(s,v_l)]
vsafe(s,vl)=−bΔt+b2Δt2+v(t+Δt)=min[v+aΔt,v0,vsafe(s,vl)]
*模型所反应出的特征：
(1).模型的每一step间隔就是
Δ
t
\Delta t
Δt
(2).如果ego vehicle的速度比
v
s
a
f
e
−
a
Δ
t
v_{safe}-a\Delta t
vsafe−aΔt或者
v
0
−
a
Δ
t
v_0-a\Delta t
v0−aΔt，在下一个step，ego vehicle会达到数学公式:
m
i
n
(
v
0
,
v
s
a
f
e
)
min(v_0,v_{safe})
min(v0,vsafe)。
(3).在其他情况，ego vehicle 会用constant acceleration 加速直到到达数学公式:
v
0
v_0
v0或者
v
s
a
f
e
v_{safe}
vsafe。
2.2 Steady-State Equilibrium(稳态平衡)
均匀稳定状态：
v
(
t
+
Δ
t
)
=
v
l
=
v
v(t+\Delta t)=v_l=v
v(t+Δt)=vl=v
v
=
m
i
n
(
v
0
,
v
s
a
f
e
)
=
m
i
n
(
v
0
,
−
b
Δ
t
+
b
2
Δ
t
2
+
v
2
+
2
b
(
s
−
s
0
)
)
v=min(v_0,v_{safe})=min(v_0,-b\Delta t+\sqrt{b^2\Delta t^2+v^2+2b(s-s_0)})
v=min(v0,vsafe)=min(v0,−bΔt+b2Δt2+v2+2b(s−s0))
The steady-state equilibrium is characterized by the following two conditions:
(1). Homogeneous traffic:All vehicles drive at the same speed, and keep the
same gap behind their respective leaders.
(2). No accelerations:所有车辆都没有加速度。
3.Car following Model
2.1acceleration function
加速度的公式如下所述：
v
α
˙
(
t
+
T
r
)
=
−
λ
v
α
m
Δ
v
α
s
α
l
\dot{v_{\alpha}}(t+T_r) = \frac{-\lambda v^m_\alpha\Delta v_\alpha}{s^l_\alpha}
vα˙(t+Tr)=sαl−λvαmΔvα
3.2acceleration function中的一些解释
α
\alpha
α 代表当前的车辆，可以当作是我们的ego car，
α
−
1
\alpha-1
α−1是leading car。
ego car的加速度与减速度可能与非常多的因素相关，例如公式中所列出的approaching rate（
Δ
v
α
(
t
)
\Delta v_\alpha(t)
Δvα(t)),own velocity(
v
α
v_\alpha
vα),bumper-to-bumper distance(
s
α
s_\alpha
sα)。
（1）.approaching rate（
Δ
v
α
(
t
)
\Delta v_\alpha(t)
Δvα(t)）
减速度（deceleration:
−
v
α
˙
(
t
+
T
r
)
-\dot{v_\alpha}(t+T_r)
−vα˙(t+Tr)）与接近的速率（approaching rate：）成正比。
−
v
α
˙
(
t
+
T
r
)
-\dot{v_\alpha}(t+T_r)
−vα˙(t+Tr)与
Δ
v
α
(
t
)
:
=
v
α
(
t
)
−
v
α
−
1
(
t
)
\Delta v_\alpha(t):=v_\alpha(t) - v_{\alpha-1}(t)
Δvα(t):=vα(t)−vα−1(t)成正比。
（2）.own velocity(
v
α
v_\alpha
vα)
减速度与加速度与ego car自己的速度也可能有正向指数的关系。
（3）.bumper-to-bumper distance(
s
α
s_\alpha
sα)
s
α
=
x
α
−
1
−
x
α
−
l
α
s_\alpha=x_{\alpha-1}-x_\alpha-l_\alpha
sα=xα−1−xα−lα
公式中：
l
α
l_\alpha
lα是车长（vehicle length）
acceleration function的一些不足之处：
1.这个模型不适用于车流量密度很低的时候，在车流量密度很低的时候，驾驶员可以用individual desired velocity进行加速。
2.这个模型也不适用于在非常密集的交通流中，汽车跟踪行为也有些不现实。甚至非常小的间隙不会造成制动，如果
Δ
v
α
\Delta{v_\alpha}
Δvα是0的话。
4 optimal velocity function
在car following model中，ego car 适应于一个依赖与bumper-to-bumper distance的函数：
v
α
(
t
+
T
r
)
=
V
(
s
α
(
t
)
)
v_\alpha(t+T_r)=V(s_\alpha(t))
vα(t+Tr)=V(sα(t))。其中 optimal velocity function:
V
(
s
)
=
v
0
(
1
−
e
x
p
(
−
s
−
s
0
v
0
T
)
)
V(s)=v_0(1-exp(-\frac{s-s_0}{v_0T}))
V(s)=v0(1−exp(−v0Ts−s0))。
在公式中，
v
0
v_0
v0为desired velocity,
T
T
T为 safe time headway，但是公式中速度对密度的依赖导致了非常高的加速度，在很多情况下是不现实的。之后有人提出了一种新的optimal velocity function：
v
α
˙
=
V
(
s
α
)
−
v
a
τ
\dot{v_\alpha}=\frac{V(s_\alpha)-v_a}{\tau}
vα˙=τV(sα)−va
5.Conclusion
v α ˙ = a [ 1 − ( v α v 0 α ) δ − ( s ∗ ( v α , Δ v α ) s α 2 ) ] \dot{v_\alpha}=a[1-(\frac{v_\alpha}{v^\alpha_0})^\delta-(\frac{s^*(v_\alpha,\Delta v_\alpha)}{s_\alpha}^2)] vα˙=a[1−(v0αvα)δ−(sαs∗(vα,Δvα)2)]
s ∗ ( v , Δ v ) = s 0 + v T + v Δ v 2 a b s^*(v,\Delta v)=s_0+vT+\frac{v \Delta v}{2 \sqrt{ab}} s∗(v,Δv)=s0+vT+2abvΔv
根据之间几节的讲述， s 0 + v T s_0+vT s0+vT为 equilibrium term， v Δ v 2 a b \frac{v \Delta v}{2 \sqrt{ab}} 2abvΔv是 dynamical term。
free-flow mode：
acceleration strategy :
v
f
r
e
e
˙
(
v
)
=
a
[
1
−
(
v
/
v
0
)
δ
]
\dot{v_{free}}(v)=a[1-(v/v_0)^{\delta}]
vfree˙(v)=a[1−(v/v0)δ],deceleration strategy:
v
b
r
a
k
e
(
s
,
v
,
Δ
v
)
˙
=
−
a
(
s
∗
/
s
)
2
\dot{v_{brake}(s,v,\Delta v)}=-a(s^*/s)^2
vbrake(s,v,Δv)˙=−a(s∗/s)2
a dynamic contribution（dynamical term） which is onlyactive in non-stationary traffic corresponding to situations in which
Δ
v
≠
0
\Delta v \neq 0
Δv=0。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-465625.html
car-following mode：
v
α
˙
=
a
[
1
−
(
v
α
v
0
α
)
δ
−
(
s
∗
(
v
α
,
Δ
v
α
)
s
α
2
)
]
\dot{v_\alpha}=a[1-(\frac{v_\alpha}{v^\alpha_0})^\delta-(\frac{s^*(v_\alpha,\Delta v_\alpha)}{s_\alpha}^2)]
vα˙=a[1−(v0αvα)δ−(sαs∗(vα,Δvα)2)]
s
∗
(
v
,
Δ
v
)
=
s
0
+
v
T
+
v
Δ
v
2
a
b
s^*(v,\Delta v)=s_0+vT+\frac{v \Delta v}{2 \sqrt{ab}}
s∗(v,Δv)=s0+vT+2abvΔv文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-465625.html
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