数学建模算法与应用数理统计-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了数学建模算法与应用数理统计。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

习题

习题7.1

从一批灯泡中随机地取5只作寿命试验，测得寿命（单位：h）为 $[1050, 1100, 1120, 1250, 1280]$ ，设灯泡寿命服从正态分布。求灯泡寿命平均值的置信水平为0.90的置信区间

算法设计

这个地方关于python的实现我还没有找到，但是在探索的过程中发现MATLAB与python的std()函数得到的结果不一样，是因为MATLAB默认求解样本标准差，而np.std()默认求解总体标准差，所以需要添加参数np.std(x,ddof = 1)才能切换为样本标准差

clc,clear
x = [1050,1100,1120,1250,1280];
n = length(x);
alpha = 0.10;
% 计算alpha/2分位数
Ta = tinv(1-alpha/2,n-1)
% 拟合正态分布参数(mu,sigma)
pd = fitdist(x,'Normal')
% ci第一列为均值置信区间，第二列为标准差置信区间
ci = paramci(pd,'Alpha',alpha)

习题7.2

某车间生产滚珠，随机地抽出了50粒，测得它们的直径为（单位：mm）：
$15.0\ \ 15.8\ \ 15.2\ \ 15.1\ \ 15.9\ \ 14.7\ \ 14.8\ \ 15.5\ \ 15.6\ \ 15.3\\ 15.1\ \ 15.3\ \ 15.0\ \ 15.6\ \ 15.7\ \ 14.8\ \ 14.5\ \ 14.2\ \ 14.9\ \ 14.9\\ 15.2\ \ 15.0\ \ 15.3\ \ 15.6\ \ 15.1\ \ 14.9\ \ 14.2\ \ 14.6\ \ 15.8\ \ 15.2\\ 15.9\ \ 15.2\ \ 15.0\ \ 14.9\ \ 14.8\ \ 14.5\ \ 15.1\ \ 15.5\ \ 15.5\ \ 15.1\\ 15.1\ \ 15.0\ \ 15.3\ \ 14.7\ \ 14.5\ \ 15.5\ \ 15.0\ \ 14.7\ \ 14.6\ \ 14.2\\$

算法设计

检验假设 $H_0$ ：滚珠直径 $\sim N(15.0780,0.4325^2)$

clc,clear
a = readmatrix('data7_2.txt');
x = a(:);
pd = fitdist(x,'Normal');
[h,p1,st] = chi2gof(xm,'cdf',pd,'Nparam',2)
ed = st.edges;
ed(1) = -inf;
end(end) = inf;
% 计算各个区间的概率
p2 = diff(cdf(pd,ed))
% 计算上alpha分位数
k2 = chi2inv(0.95,st.df)

习题7.3

按分位数法求灯泡寿命平均值的置信水平为0.90的Bootstrap置信区间。

算法设计

clc,clear
% 固定随机数种子
x = [1050,1100,1120,1250,1280]';
% 计算均值的置信区间
mu = bootci(10000,{@(x)mean(x),x},'alpha',0.1)

习题7.4

设有如表所列的3个组5年保险理赔的观测数据。试用方差分析法检验3个组的理赔额均值是否有显著差异（取显著性水平$ \alpha = 0.05 $，已知$ F_{0.05}(2,12) = 3.8853$）

	$t = 1$	$t = 2$	$t = 3$	$t = 4$	$t = 5$
$j = 1$	98	93	103	92	110
$j = 2$	100	108	118	99	111
$j = 3$	129	140	108	105	115

算法设计

用 $X_{jt}$ 表示第 $j$ 组第 $t$ 年的理赔额，其中 $1,2,\cdots,5$ 。假设所有的 $X_{jt}$ 相互独立且服从 $N(\mu_{j},\sigma^2)$ 分布，即对应于每组均值 $m_{j}$ 可能不相等，但是方差 $\sigma^2 > 0$ 是相同的
提出原假设 $H_{0}:\mu_1 = \mu_2 = \mu_3,H_1:\mu_1,\mu_2,\mu_3$ 不全相等

clc,clear
a = readmatrix('data7_4.txt')
[p,t,st] = anoval(a')

习题7.5

某种半成品在生产过程中的废品率 $y$ 与它所含的某种化学成分 $x$ 有关，现将试验所得的8组数据记录如表。试求回归方程 $\frac{a_1}{x} + a_2 +a_3x + a_4x^2$

序号	1	2	3	4	5	6	7	8
$x$	1	2	4	5	7	8	9	10
$y$	1.3	1	0.9	0.81	0.7	0.6	0.55	0.4

算法设计

利用python中scipy包求解

from scipy.optimize import curve_fit
def fx(x,a1,a2,a3,a4):
    return a1/x + a2 + a3 * x + a4 * x ** 2
x = [1,2,4,5,7,8,9,10]
y = [1.3,1,0.9,0.81,0.7,0.6,0.55,0.4]
popt, pcov = curve_fit(fx, x, y)
popt

输出：

array([ 0.64983455,  0.59007412,  0.06658214, -0.00912294])

习题7.6

人的身高与腿长有密切关系，现测得13名成年男子身高 $y$ 与腿长 $x$ 数据见表。试建立人的升高 $y$ 和腿长 $x$ 之间的一元线性回归模型。

$x$	92	95	96	96.5	97	98	101	103.5	104	105	106	107	109
$y$	163	165	167	168	171	170	172	174	176	176	177	177	181

算法设计

from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import mean_squared_error

# 导入数据
a = np.loadtxt('C:/Users/lenovo/Desktop/data7_6.txt')
x = a[0,:]
y = a[1,:]
# 构建线性回归模型对象
lin_reg = LinearRegression()
# 训练
lin_reg.fit(x[:,np.newaxis],y[:,np.newaxis])
# 打印系数
print(lin_reg.coef_,lin_reg.intercept_)
print('R方:',lin_reg.score(x[:,np.newaxis],y[:,np.newaxis]))
print('RMSE:',np.sqrt(mean_squared_error(y[:,np.newaxis],lin_reg.predict(x[:,np.newaxis]))))
# 绘制图形
plt.figure(dpi = 600)
plt.plot(np.arange(1,x.shape[0]+1,1),y[:,np.newaxis] - lin_reg.predict(x[:,np.newaxis]),'+')
plt.axhline(y=0.0, c='r')  # 垂直于y轴的参考线

输出：

[[0.98081454]] [73.2409963]
R方: 0.9616734761736716
RMSE: 1.0054868502483365

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数学建模算法与应用数理统计

习题

习题7.1

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习题7.2

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习题7.3

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习题7.5

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