需要记忆的一些公式
∫
0
π
2
cos
n
x
d
x
=
∫
0
π
2
sin
n
x
d
x
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{n}x\mathrm{d}x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n}x\mathrm{d}x
∫02πcosnxdx=∫02πsinnxdx
x
为偶数:
π
(
n
−
1
)
!
!
2
n
!
!
x为偶数:\frac{\pi(n-1)!!}{2n!!}
x为偶数:2n!!π(n−1)!!
x
为奇数:
(
n
−
1
)
!
!
n
!
!
x为奇数:\frac{(n-1)!!}{n!!}
x为奇数:n!!(n−1)!!
∫
0
+
∞
e
−
x
2
d
x
=
π
2
\int_{0}^{+\infty} e^{-x^2}\mathrm{d}x=\frac{\sqrt\pi}{2}
∫0+∞e−x2dx=2π
积分
重积分
基本的不讲了,讲讲换元
二重积分
先是二重积分的
∫
∫
D
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
∫
∫
D
′
f
(
x
(
u
,
v
)
,
y
(
u
,
v
)
)
∣
J
∣
d
u
d
v
{\int\int}_{D} f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int\int}_{D'}f(x(u,v),y(u,v))|J|\mathrm{d}u\mathrm{d}v
∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫D′f(x(u,v),y(u,v))∣J∣dudv
其中
J
=
∂
(
x
,
y
)
∂
(
u
,
v
)
=
∣
∂
x
∂
u
∂
x
∂
v
∂
y
∂
u
∂
y
∂
v
∣
J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} =\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}
J=∂(u,v)∂(x,y)=
∂u∂x∂u∂y∂v∂x∂v∂y
特别地,做代换
{
x
=
r
cos
θ
y
=
r
sin
θ
\left\{\begin{array}{cc} x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta \end{array}\right.
{x=rcosθy=rsinθ得到
∫
∫
D
f
(
x
,
y
)
d
σ
=
∫
∫
D
′
f
(
r
cos
θ
,
r
sin
θ
)
r
d
r
d
θ
{\int\int}_{D} f(x,y)\mathrm{d}\sigma={\int\int}_{D'}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta
∫∫Df(x,y)dσ=∫∫D′f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ
三重积分
先是二重积分的
∫
∫
∫
Ω
f
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
=
∫
∫
∫
Ω
′
f
(
x
(
u
,
v
,
w
)
,
y
(
u
,
v
,
w
)
,
z
(
u
,
v
,
w
)
)
∣
J
∣
d
u
d
v
d
w
{\int\int\int}_{\Omega} f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z={\int\int\int}_{\Omega'}f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|J|\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w
∫∫∫Ωf(x,y,z)dxdydz=∫∫∫Ω′f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))∣J∣dudvdw
其中
J
=
∂
(
x
,
y
,
z
)
∂
(
u
,
v
,
w
)
=
∣
∂
x
∂
u
∂
x
∂
v
∂
x
∂
w
∂
y
∂
u
∂
y
∂
v
∂
y
∂
w
∂
z
∂
u
∂
z
∂
v
∂
z
∂
w
∣
J=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} =\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}&\frac{\partial x}{\partial w}\\\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}&\frac{\partial y}{\partial w}\\\frac{\partial z}{\partial u}&\frac{\partial z}{\partial v}&\frac{\partial z}{\partial w} \end{vmatrix}
J=∂(u,v,w)∂(x,y,z)=
∂u∂x∂u∂y∂u∂z∂v∂x∂v∂y∂v∂z∂w∂x∂w∂y∂w∂z
柱坐标
特别地,做代换
{
x
=
r
cos
θ
y
=
r
sin
θ
z
=
z
\left\{\begin{array}{cc} x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\\z=z \end{array}\right.
⎩
⎨
⎧x=rcosθy=rsinθz=z得到
∫
∫
∫
Ω
f
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
=
∫
∫
∫
Ω
′
f
(
r
cos
θ
,
r
sin
θ
,
z
)
r
d
r
d
θ
d
z
{\int\int\int}_{\Omega} f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z={\int\int\int}_{\Omega'}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z
∫∫∫Ωf(x,y,z)dxdydz=∫∫∫Ω′f(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdz
球坐标
又或者做代换
{
x
=
ρ
sin
ϕ
cos
θ
,
0
≤
ρ
<
+
∞
y
=
ρ
sin
ϕ
sin
θ
,
0
≤
ϕ
≤
π
z
=
z
cos
ϕ
,
0
≤
θ
<
2
π
\left\{\begin{array}{cc} x=\rho\sin\phi\cos\theta,&0\le\rho<+\infty\\ y=\rho\sin\phi\sin\theta,&0\le\phi\le\pi\\ z=z\cos\phi,&0\le\theta<2\pi \end{array}\right.
⎩
⎨
⎧x=ρsinϕcosθ,y=ρsinϕsinθ,z=zcosϕ,0≤ρ<+∞0≤ϕ≤π0≤θ<2π
值得注意的是
θ
\theta
θ是
x
x
x和
y
y
y轴的夹角,
ϕ
\phi
ϕ是
z
z
z和
O
x
y
Oxy
Oxy平面的夹角
得到
∫
∫
∫
Ω
f
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
=
∫
∫
∫
Ω
′
f
(
ρ
sin
ϕ
cos
θ
,
ρ
sin
ϕ
sin
θ
,
z
cos
ϕ
)
ρ
2
sin
ϕ
d
ρ
d
θ
d
ϕ
{\int\int\int}_{\Omega} f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z={\int\int\int}_{\Omega'}f(\rho\sin\phi\cos\theta,\rho\sin\phi\sin\theta,z\cos\phi)\rho^2\sin\phi\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi
∫∫∫Ωf(x,y,z)dxdydz=∫∫∫Ω′f(ρsinϕcosθ,ρsinϕsinθ,zcosϕ)ρ2sinϕdρdθdϕ
另外,要注意利用奇函数和偶函数的性质,可以极大的简化计算
重积分的应用
曲面面积
例如对于
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z=f(x,y)
S
=
∫
∫
D
1
+
f
x
2
(
x
,
y
)
+
f
y
2
(
x
,
y
)
d
x
d
y
S={\int\int}_D\sqrt{1+f_x^2(x,y)+f_y^2(x,y)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y
S=∫∫D1+fx2(x,y)+fy2(x,y)dxdy
再如对于参数方程
{
x
=
x
(
u
,
v
)
y
=
y
(
u
,
v
)
,
(
u
,
v
)
∈
D
′
z
=
z
(
u
,
v
)
\left\{\begin{array}{cc} x=x(u,v)\\ y=y(u,v),&(u,v)\in D'\\ z=z(u,v) \end{array}\right.
⎩
⎨
⎧x=x(u,v)y=y(u,v),z=z(u,v)(u,v)∈D′
则设
{
E
=
x
u
2
+
y
u
2
+
z
u
2
F
=
x
u
x
v
+
y
u
y
v
+
z
u
z
v
G
=
x
v
2
+
y
v
2
+
z
v
2
\left\{\begin{array}{cc} E=x_u^2+y_u^2+z_u^2\\ F=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v\\ G=x_v^2+y_v^2+z_v^2 \end{array}\right.
⎩
⎨
⎧E=xu2+yu2+zu2F=xuxv+yuyv+zuzvG=xv2+yv2+zv2
那么
S
=
∫
∫
D
′
E
G
−
F
2
d
u
d
v
S={\int\int}_{D'}\sqrt{EG-F^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v
S=∫∫D′EG−F2dudv
求转动惯量
设质量密度是
ρ
(
x
,
y
,
z
)
\rho(x,y,z)
ρ(x,y,z)
则
J
z
=
∫
∫
∫
Ω
(
x
2
+
y
2
)
ρ
(
x
,
y
,
z
)
d
V
J
x
=
∫
∫
∫
Ω
(
z
2
+
y
2
)
ρ
(
x
,
y
,
z
)
d
V
J
y
=
∫
∫
∫
Ω
(
x
2
+
z
2
)
ρ
(
x
,
y
,
z
)
d
V
J
x
y
=
∫
∫
∫
Ω
z
2
ρ
(
x
,
y
,
z
)
d
V
J
y
z
=
∫
∫
∫
Ω
x
2
ρ
(
x
,
y
,
z
)
d
V
J
z
x
=
∫
∫
∫
Ω
y
2
ρ
(
x
,
y
,
z
)
d
V
J_z={\int\int\int}_\Omega(x^2+y^2)\rho(x,y,z)\mathrm{d}V\\ J_x={\int\int\int}_\Omega(z^2+y^2)\rho(x,y,z)\mathrm{d}V\\ J_y={\int\int\int}_\Omega(x^2+z^2)\rho(x,y,z)\mathrm{d}V\\ J_{xy}={\int\int\int}_\Omega z^2\rho(x,y,z)\mathrm{d}V\\ J_{yz}={\int\int\int}_\Omega x^2\rho(x,y,z)\mathrm{d}V\\ J_{zx}={\int\int\int}_\Omega y^2\rho(x,y,z)\mathrm{d}V
Jz=∫∫∫Ω(x2+y2)ρ(x,y,z)dVJx=∫∫∫Ω(z2+y2)ρ(x,y,z)dVJy=∫∫∫Ω(x2+z2)ρ(x,y,z)dVJxy=∫∫∫Ωz2ρ(x,y,z)dVJyz=∫∫∫Ωx2ρ(x,y,z)dVJzx=∫∫∫Ωy2ρ(x,y,z)dV
曲线积分
第一型曲线积分
假设曲线是
y
=
y
(
x
)
y=y(x)
y=y(x)在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]上积分
∫
L
f
(
x
,
y
)
d
s
=
∫
a
b
f
(
x
,
y
(
x
)
)
1
+
[
y
′
(
x
)
]
2
d
x
\int_Lf(x,y)\mathrm{d}s=\int_a^bf(x,y(x))\sqrt{1+[y'(x)]^2}\mathrm{d}x
∫Lf(x,y)ds=∫abf(x,y(x))1+[y′(x)]2dx
若是参数方程形式
L
:
{
x
=
ϕ
(
t
)
y
=
ψ
(
t
)
L:\left\{\begin{array}{cc} x=\phi(t)\\ y=\psi(t) \end{array}\right.
L:{x=ϕ(t)y=ψ(t)
其中
t
∈
[
α
,
β
]
t\in[\alpha,\beta]
t∈[α,β]
则
∫
L
f
(
x
,
y
)
d
s
=
∫
α
β
f
(
ϕ
(
t
)
,
ψ
(
t
)
)
[
ϕ
′
(
t
)
]
2
+
[
ψ
′
(
t
)
]
2
d
t
\int_Lf(x,y)\mathrm{d}s=\int_\alpha^\beta f(\phi(t),\psi(t))\sqrt{[\phi'(t)]^2+[\psi'(t)]^2}\mathrm{d}t
∫Lf(x,y)ds=∫αβf(ϕ(t),ψ(t))[ϕ′(t)]2+[ψ′(t)]2dt
三维的曲线积分同理,类比可得
第二型曲线积分
也叫路径积分
对于
L
:
{
x
=
ϕ
(
t
)
y
=
ψ
(
t
)
L:\left\{\begin{array}{cc} x=\phi(t)\\ y=\psi(t) \end{array}\right.
L:{x=ϕ(t)y=ψ(t)
其中
t
∈
[
α
,
β
]
t\in[\alpha,\beta]
t∈[α,β],表示曲线
A
B
AB
AB
则
∫
A
B
P
(
x
,
y
)
d
x
+
Q
(
x
,
y
)
d
y
=
∫
α
β
[
P
(
ϕ
(
t
)
,
ψ
(
t
)
)
ϕ
′
(
t
)
+
Q
(
ϕ
(
t
)
,
ψ
(
t
)
)
ψ
′
(
t
)
]
d
t
\int_{AB}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=\int_\alpha^\beta [P(\phi(t),\psi(t))\phi'(t)+Q(\phi(t),\psi(t))\psi'(t)]\mathrm{d}t
∫ABP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫αβ[P(ϕ(t),ψ(t))ϕ′(t)+Q(ϕ(t),ψ(t))ψ′(t)]dt
而第二型曲线积分与路径无关的条件是当
∂
P
∂
y
=
∂
Q
∂
x
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}
∂y∂P=∂x∂Q
另外,若存在 d u ( x , y ) = P d x + Q d y \mathrm{d}u(x,y)=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y du(x,y)=Pdx+Qdy,则可以直接将曲线头尾带入 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)中得到答案
格林公式
设
L
L
L是封闭曲线且为正向曲线(逆时针)
∫
L
P
d
x
+
Q
d
y
=
∫
∫
D
(
∂
Q
∂
x
−
∂
P
∂
y
)
d
x
d
y
\int_L P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y={\int\int}_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y
∫LPdx+Qdy=∫∫D(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy
第一型曲线积分和第二型曲线积分的相互转化
∫
A
B
P
d
x
+
Q
d
y
=
∫
A
B
(
P
cos
α
+
Q
cos
β
)
d
s
\int_{AB}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y= \int_{AB}(P\cos\alpha+Q\cos\beta)\mathrm{d}s
∫ABPdx+Qdy=∫AB(Pcosα+Qcosβ)ds
其中
(
cos
α
,
cos
β
)
(\cos\alpha,\cos\beta)
(cosα,cosβ)是曲线
A
B
AB
AB的方向向量
值得注意的是,第一型曲线积分的上下界对调,得到的值是原来的相反数,而第二型曲线积分的值不受上下界对调的影响
曲面积分
第一型曲面积分
假设曲线是
z
=
g
(
x
,
y
)
z=g(x,y)
z=g(x,y)在
D
D
D(投影)上积分
∫
∫
S
f
(
x
,
y
,
z
)
d
S
=
∫
∫
S
f
(
x
,
y
,
g
(
x
,
y
)
)
1
+
g
x
2
+
g
y
2
d
σ
{\int\int}_Sf(x,y,z)\mathrm{d}S={\int\int}_Sf(x,y,g(x,y))\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\mathrm{d}\sigma
∫∫Sf(x,y,z)dS=∫∫Sf(x,y,g(x,y))1+gx2+gy2dσ
若是参数方程形式
{
x
=
x
(
u
,
v
)
y
=
y
(
u
,
v
)
,
(
u
,
v
)
∈
D
z
=
z
(
u
,
v
)
\left\{\begin{array}{cc} x=x(u,v)\\ y=y(u,v),&(u,v)\in D\\ z=z(u,v) \end{array}\right.
⎩
⎨
⎧x=x(u,v)y=y(u,v),z=z(u,v)(u,v)∈D
则设
{
E
=
x
u
2
+
y
u
2
+
z
u
2
F
=
x
u
x
v
+
y
u
y
v
+
z
u
z
v
G
=
x
v
2
+
y
v
2
+
z
v
2
\left\{\begin{array}{cc} E=x_u^2+y_u^2+z_u^2\\ F=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v\\ G=x_v^2+y_v^2+z_v^2 \end{array}\right.
⎩
⎨
⎧E=xu2+yu2+zu2F=xuxv+yuyv+zuzvG=xv2+yv2+zv2
那么和上面提到的面积分一样(或者说上面的曲面积分是
f
(
x
,
y
,
z
)
=
1
f(x,y,z)=1
f(x,y,z)=1的特殊形式)
∫
∫
S
f
(
x
,
y
,
z
)
d
S
=
∫
∫
D
f
(
x
(
u
,
v
)
,
y
(
u
,
v
)
,
z
(
u
,
v
)
)
E
G
−
F
2
d
u
d
v
{\int\int}_Sf(x,y,z)\mathrm{d}S={\int\int}_{D}f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\sqrt{EG-F^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v
∫∫Sf(x,y,z)dS=∫∫Df(x(u,v),y(u,v),z(u,v))EG−F2dudv
第二型曲面积分
面对形如:
∫
∫
S
P
d
y
d
z
+
Q
d
z
d
x
+
R
d
x
d
y
S
为
z
=
f
(
x
,
y
)
{\int\int}_{S}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ S为z=f(x,y)
∫∫SPdydz+Qdzdx+RdxdyS为z=f(x,y)
可以转化成
±
∫
∫
S
(
P
(
−
f
x
)
+
Q
(
−
f
y
)
+
R
)
d
x
d
y
\pm{\int\int}_{S}(P(-f_x)+Q(-f_y)+R)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\
±∫∫S(P(−fx)+Q(−fy)+R)dxdy
取正号时表示上侧曲面,反之表示下侧曲面
高斯公式
∫
∫
S
P
d
y
d
z
+
Q
d
z
d
x
+
R
d
x
d
y
=
∫
∫
∫
Ω
(
∂
P
∂
x
+
∂
Q
∂
y
+
∂
R
∂
z
)
d
V
{\int\int}_{S}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int\int\int}_\Omega(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})\mathrm{d}V
∫∫SPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫∫Ω(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)dV
S
S
S是闭合曲面
斯托克斯公式
∫
A
B
P
d
x
+
Q
d
y
+
R
d
z
=
∫
∫
S
(
∂
R
∂
y
−
∂
Q
∂
z
)
d
y
d
z
+
(
∂
P
∂
z
−
∂
R
∂
x
)
d
z
d
x
+
(
∂
Q
∂
x
−
∂
P
∂
y
)
d
x
d
y
\int_{AB}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z={\int\int}_{S}(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y
∫ABPdx+Qdy+Rdz=∫∫S(∂y∂R−∂z∂Q)dydz+(∂z∂P−∂x∂R)dzdx+(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy
A
B
AB
AB是闭合曲线
右边可以记作
∣
d
y
d
z
d
z
d
x
d
x
d
y
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
P
Q
R
∣
\begin{vmatrix} \mathrm{d}y\mathrm{d}z&\mathrm{d}z\mathrm{d}x&\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ P&Q&R \end{vmatrix}
dydz∂x∂Pdzdx∂y∂Qdxdy∂z∂R
微分方程
首先,明白一个基本解微分方程的原理:
全解=特解+通解
一个
n
n
n阶微分方程,其通解应该包含
n
n
n个可变的常数
验证这 n n n个常数是否独立,应该验证其行列式是否等于 0 0 0( n n n条方程是否线性无关)
接下来讨论几类特殊的微分方程的解法
y ′ = f ( x ) g ( y ) y'=f(x)g(y) y′=f(x)g(y)
采用分离变量的方法,得到
d
y
g
(
y
)
=
f
(
x
)
d
x
\frac{\mathrm{d}y}{g(y)}=f(x)\mathrm{d}x
g(y)dy=f(x)dx
对两边积分即可
y ′ = f ( a x + b y + c ) y'=f(ax+by+c) y′=f(ax+by+c)
做变量替换,令
z
=
a
x
+
b
y
+
c
z=ax+by+c
z=ax+by+c,则
d
z
d
x
=
a
+
b
f
(
z
)
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=a+bf(z)
dxdz=a+bf(z)
再按上述做即可
y ′ = f ( x , y ) y'=f(x,y) y′=f(x,y)(其中 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)是齐次函数)
同样做换元 z = y x z=\frac{y}{x} z=xy,推导即可文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-467040.html
y ′ + P ( x ) y = Q ( x ) y'+P(x)y=Q(x) y′+P(x)y=Q(x)
先解 y ′ + P ( x ) y = 0 y'+P(x)y=0 y′+P(x)y=0,再将解出来的解可变常数 C C C中替换为 u ( x ) u(x) u(x),代入原方程解出即可文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-467040.html
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