实验三连续时间系统的频域与复频域分析-Toy模板网

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浙江理工大学信号与系统实验报告

实验三连续时间系统的频域与复频域分析

一、实验目的
1．学习连续时间系统的傅里叶变换、拉普拉斯变换；
2．运用 MATLAB 进行连续时间系统的频域分析；
3．运用 MATLAB 进行连续时间系统的复频域分析。
二、实验仪器
装有MATLAB软件的微型计算机1台

三、实验原理

傅立叶级数
设周期信号f(t)，其周期为T，角频率Ω=2π/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条
件时，它可分解为如下三角级数——称为f(t)的傅里叶级数

系数an , bn 称为傅里叶系数。
实验三连续时间系统的频域与复频域分析

将上式同频率项合并，可写为
实验三连续时间系统的频域与复频域分析

复指数形式傅立叶级数：实验三连续时间系统的频域与复频域分析

其中
实验三连续时间系统的频域与复频域分析

为了直观的反映周期信号中各频率分量的分布情况，可以将各频率分量的幅度
和初相位随频率变换的关系用图形表示出来，即频谱图。
2. 傅立叶变换
信号的傅立叶变换对定义为：
实验三连续时间系统的频域与复频域分析

Matlab中实现信号的傅立叶变换函数为fourier，调用格式为：
F=fourier(f)，是符号函数f的傅立叶变换，默认返回函数F是关于ω的函数。
F=fourier(f,v)，是符号函数f的傅立叶变换，返回函数F是关于v的函数。
F=fourier(f,u,v)，是关于u的函数f的傅立叶变换，返回函数F是关于v的函
数。
实现信号的傅立叶逆变换函数为ifourier，调用格式为
f=ifourier(F)，是符号函数F的傅立叶逆变换，默认的独立变量是ω，默认返
回函数f是关于x的函数。
f=ifourier(F,u)，是符号函数F的傅立叶逆变换，返回函数f是关于u的函数。
f=ifourier(F,v,u)，是关于v的函数F的傅立叶逆变换，返回函数f是关于u的函
数。
例2-1求𝑓(𝑡) = δ( 𝑡)的傅里叶变换及𝐹(𝑤) = 1的傅里叶逆变换。

syms t f1 f2 Fw1 Fw2
f1 = dirac(t);
Fw1=fourier(f1) %求傅里叶正变换
Fw2=sym(1);
f2=ifourier(Fw2)

例2-2已知系统传递函数为：
实验三连续时间系统的频域与复频域分析
，求该系统的频率响应。

a=[1 2 3];b=[2 1];
w = logspace(-3,3);
[h,w]=freqs(b,a,w) %求系统响应函数H(jw)，指定频率点w
mag =abs(h); %求幅频响应
phase=angle(h); %求相频响应
subplot(2,1,1);
loglog(w,mag);
grid on;xlabel('角频率(W)');ylabel('幅度');title('H(jw)的幅频特性');
subplot(2,1,2);
semilogx(w,phase);
grid on;xlabel('角频率(w)');ylabel('相位(度)');title('H(jw)的相频特性');

例2-3求𝑓(𝑡) = 𝑒−2𝑡的及𝐹(𝑠) = 1/(s + 1)^2 的拉普拉斯逆变换。

syms f1 f2 t s
f1=exp(-2*t);
Fs1=laplace(f1) %求拉普拉斯正变换
Fs2 = 1/(s+1)^2;
f2=ilaplace(Fs2) %求拉普拉斯逆变换

例2-4已知一因果系统的系统函数为
实验三连续时间系统的频域与复频域分析

。画出H(s)的零、极点分布图，并判断系统的稳定性

a=[1 2 -3 2 1];
b=[1 0 -4];
p=roots(a)
q=roots(b)
hold on
plot(real(p),imag(p),'x');
plot(real(q),imag(q),'o');
title('H(s)的零极点图');grid on; ylabel('虚部');xlabel('实部')

四、
实验内容
1.求出 f T (t) 的傅立叶级数系数，并画出频谱图，观察不同个数（N=5，10，100）的谐波叠加后的波形，观察Gibbs 现象。
实验三连续时间系统的频域与复频域分析

m=5;
T1=2;T0=4;
t1=-T1/2:0.01:T1/2;
t2=T1/2:0.01:(T0-T1/2);
t=[(t1-T0)';(t2-T0)';t1';t2';(t1+T0)'];
n1=length(t1);
n2=length(t2); % 根据周期矩形信号函数周期，计算点数
f=[ones(n1,1);zeros(n2,1);ones(n1,1);zeros(n2,1);ones(n1,1)];% 构造周期矩形信号串
y=zeros(m+1,length(t));
y(m+1,:)=f';
h=plot(t,y(m+1,:)); % 绘制周期矩形信号串
set(h,'LineWidth',3*get(h,'LineWidth')); % 设置图形的线宽为原来的3倍
axis([-(T0+T1/2)-0.5,(T0+T1/2)+0.5,0,1.2]);
set(gca,'XTick',-T0-1:1:T0+1);
title('矩形信号串');
grid;

2.输出频谱图：

a=T1/T0;
pause; % 绘制离散幅度谱
freq=[-20:1:20];
mag=abs(asinc(afreq));
h=stem(freq,mag);
set(h,'LineWidth',3*get(h,'LineWidth'));
x=a*ones(size(t));
title('离散幅度谱');
xlabel('f');
grid;

3.m次叠加：

for k=1:m % 循环显示谐波叠加图形
pause;
x=x+2asinc(ak)cos(2pit*k/T0);
y(k,:)=x;
% 计算叠加和
plot(t,y(m+1,:));
hold on;
h=plot(t,y(k,:));
% 绘制各次叠加信号
set(h,'LineWidth',3*get(h,'LineWidth'));
hold off;
grid;
axis([-(T0+T1/2)-0.5,(T0+T1/2)+0.5,-0.5,1.5]);
title(strcat(num2str(k),'次谐波叠加'));
xlabel('t');
end

2.下图（A）所示系统中，低通滤波器的频率响应如图（B）所示，f(t) = e−tε(t), s(t) = cos (10t)，编写M函数，绘制f(t),x(t),y(t)的幅频和相频曲线。
实验三连续时间系统的频域与复频域分析

函数：

function sfourier(f,~,x,~)
F=fourier(f);
X=fourier(x);
w=-20:0.01:20;
H=heaviside(w+10)-heaviside(w-10);
F=1./(1+w.*1i);
X=1./(2.*(w.*1i+1-10i))+1./(2.*(w.*1i+1+10i));
Y=X.*H;
Fm=abs(F);
Fx=angle(F);
Xm=abs(X);
Xx=angle(X);
Ym=abs(Y);
Yx=angle(Y);
subplot(2,3,1)
plot(w,Fm),grid on,title('f(t)幅频曲线');
subplot(2,3,2)
plot(w,Fx),grid on,title('f(t)相频曲线');
subplot(2,3,3)
plot(w,Xm),grid on,title('f(t)幅频曲线');
subplot(2,3,4)
plot(w,Xx),grid on,title('f(t)相频曲线');
subplot(2,3,5)
plot(w,Ym),grid on,title('f(t)幅频曲线');
subplot(2,3,6)
plot(w,Yx),grid on,title('f(t)相频曲线');

调用代码：

syms t
f=heaviside(t).*exp(-t);
s=cos(10*t);
x=f.*s;
H=heaviside(t+10)-heaviside(t-10);
sfourier(f,s,x,H)

描述系统的微分方程如下：
实验三连续时间系统的频域与复频域分析

编写 M 文件，绘出系统的频率响应 H(jw)的幅频、相频响应曲线。

a=[1 5 6];b=[0 1 0];
w = logspace(-3,3);
[h,w]=freqs(b,a,w) %求系统响应函数H(jw)，指定频率点w
mag =abs(h); %求幅频响应
phase=angle(h); %求相频响应
subplot(2,1,1);
loglog(w,mag);
grid on;xlabel('角频率(W)');ylabel('幅度');title('H(jw)的幅频特性');
subplot(2,1,2);
semilogx(w,phase);
grid on;xlabel('角频率(w)');ylabel('相位(度)');title('H(jw)的相频特性');

4.编写函数s=isstable(sys)，该函数用来判断以传递函数描述的系统模型sys的稳定性。返回值s为1表示系统稳定，为0表示系统不稳定。分别设计一个稳定系统和一个不稳定系统验证该函数的正确性。

function s=isstable(sys)
[p,z]=pzmap (sys);
N=length (p);
for k= 1:N
if real (p(k))=0；
break;
k=k+1；
end 
if k>N
s=1;
else 
s=0;
不稳定： a=[1,-5];
sys= tf(1,a);
s=isstable (sys);
结果：s=0
稳定：
a=[1,5];
sys= tf(1,a);
s=isstable (sys);

五、实验心得
本次实验主要是对连续和离散系统进行的复频域分析，我知道了如何利用MATLAB来对信号在不同的领域进行处理。结合课程所学的内容，我对信号在复频域的分析有了更深刻的理解和印象。

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