算法基础学习笔记——⑬高斯消元\组合计数\容斥原理-Toy模板网

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✨博主：命运之光
✨专栏：算法基础学习

$算法基础学习笔记——⑬高斯消元\组合计数\容斥原理$

✨高斯消元

✨组合计数

🍓通过预处理逆元的方式求组合数:

🍓Lucas定理:

🍓分解质因数法求组合数：

前言：算法学习笔记记录日常分享，需要的看哈O(∩_∩)O，感谢大家的支持！

✨高斯消元

高斯消元（Gaussian Elimination）是一种用于解线性方程组的算法，通过逐步的行变换来将方程组转化为简化的行阶梯形式，从而求解方程组的解。

🍓以下是一个用C语言编写的高斯消元算法的示例代码：

#include <stdio.h>
#define N 3 // 方程个数和未知数个数
void gaussianElimination(float matrix[N][N + 1], float solution[N]) {
    int i, j, k;
    float factor;

    // 前向消元
    for (i = 0; i < N - 1; i++) {
        for (k = i + 1; k < N; k++) {
            factor = matrix[k][i] / matrix[i][i];
            for (j = i; j < N + 1; j++) {
                matrix[k][j] -= factor * matrix[i][j];
            }
        }
    }
    // 回代求解
    for (i = N - 1; i >= 0; i--) {
        solution[i] = matrix[i][N];
        for (j = i + 1; j < N; j++) {
            solution[i] -= matrix[i][j] * solution[j];
        }
        solution[i] /= matrix[i][i];
    }
}
int main() {
    float matrix[N][N + 1];
    float solution[N];
    int i, j;
    printf("Enter the augmented matrix:\n");
    for (i = 0; i < N; i++) {
        for (j = 0; j < N + 1; j++) {
            scanf("%f", &matrix[i][j]);
        }
    }
    gaussianElimination(matrix, solution);
    printf("Solution:\n");
    for (i = 0; i < N; i++) {
        printf("x%d = %.2f\n", i + 1, solution[i]);
    }
    return 0;
}

在上述代码中，我们定义了gaussianElimination函数来执行高斯消元算法。算法分为两个阶段：前向消元和回代求解。

前向消元阶段通过循环进行逐行消元操作，将方程组转化为行阶梯形式。首先，通过除以主对角线上的元素将当前行的主元素变为1。然后，通过逐行减去当前行的倍数，将当前列下方的元素变为0。

回代求解阶段从最后一行开始，通过回代计算未知数的值。首先，将当前行的右侧常数项赋值给对应的未知数。然后，逐列减去已知未知数的乘积，最后除以当前行的主元素。

在main函数中，我们首先接受用户输入的增广矩阵，其中最后一列为常数项。然后，调用gaussianElimination函数来解方程组，并将结果打印出来。

你可以运行上述代码，根据提示输入增广矩阵，程序将计算并输出方程组的解。

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🍓高斯消元：

// a[N][N]是增广矩阵
int gauss()
{
     int c, r;
     for (c = 0, r = 0; c < n; c ++ )
     {
         int t = r;
         for (int i = r; i < n; i ++ ) // 找到绝对值最大的行
             if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))
             	t = i;
         if (fabs(a[t][c]) < eps) continue;
         for (int i = c; i <= n; i ++ ) swap(a[t][i], a[r][i]); // 将绝对值最大的行换到最顶端
         for (int i = n; i >= c; i -- ) a[r][i] /= a[r][c]; // 将当前行的首位变成1
         for (int i = r + 1; i < n; i ++ ) // 用当前行将下面所有的列消成0
            if (fabs(a[i][c]) > eps)
                for (int j = n; j >= c; j -- )
                    a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];
         r ++ ;
     }
     if (r < n)
     {
         for (int i = r; i < n; i ++ )
             if (fabs(a[i][n]) > eps)
             	return 2; // 无解
     return 1; // 有无穷多组解
     }
     for (int i = n - 1; i >= 0; i -- )
         for (int j = i + 1; j < n; j ++ )
             a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];
     return 0; // 有唯一解
}

✨组合计数

在C语言中，可以使用动态规划来实现组合计数（Combination Counting）。组合计数用于计算从n个元素中选择k个元素的组合数。

🍓以下是一个用C语言编写的组合计数算法的示例代码：

#include <stdio.h>
// 计算组合数C(n, k)
int combinationCount(int n, int k) {
    int C[n + 1][k + 1];
    int i, j;

    // 基本情况
    for (i = 0; i <= n; i++) {
        for (j = 0; j <= i && j <= k; j++) {
            if (j == 0 || j == i)
                C[i][j] = 1;
            else
                C[i][j] = C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j];
        }
    }

    return C[n][k];
}
int main() {
    int n, k;
    printf("Enter the values of n and k: ");
    scanf("%d %d", &n, &k);
    int result = combinationCount(n, k);
    printf("Combination Count: %d\n", result);
    return 0;
}

在上述代码中，我们定义了一个combinationCount函数来计算组合数C(n, k)。算法使用动态规划的思想，使用一个二维数组C来存储中间结果。

首先，我们处理基本情况，即当k等于0或k等于n时，组合数C(n, k)为1。然后，通过递推关系C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)，我们填充C数组的其余元素。

在main函数中，我们接受用户输入的n和k的值，并调用combinationCount函数来计算组合数。然后，我们输出计算结果。

你可以运行上述代码，根据提示输入n和k的值，程序将计算并输出组合数C(n, k)的结果。

请注意，上述代码中的组合计数算法使用了动态规划的方法，对于较大的n和k可能会产生较大的中间结果。在实际应用中，可以使用更高效的算法或数学公式来计算组合数。

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🍓递推法求组合数：

// c[a][b] 表示从a个苹果中选b个的方案数
for (int i = 0; i < N; i ++ )
    for (int j = 0; j <= i; j ++ )
        if (!j) c[i][j] = 1;
        else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;

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🍓通过预处理逆元的方式求组合数:

首先预处理出所有阶乘取模的余数fact[N]，以及所有阶乘取模的逆元infact[N]

如果取模的数是质数，可以用费马小定理求逆元

int qmi(int a, int k, int p) // 快速幂模板
{
    int res = 1;
    while (k)
    {
        if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
        a = (LL)a * a % p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}
// 预处理阶乘的余数和阶乘逆元的余数
fact[0] = infact[0] = 1;
for (int i = 1; i < N; i ++ )
{
    fact[i] = (LL)fact[i - 1] * i % mod;
    infact[i] = (LL)infact[i - 1] * qmi(i, mod - 2, mod) % mod;
}

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🍓Lucas定理:

若p是质数，则对于任意整数 1 <= m <= n，有：

C(n, m) = C(n % p, m % p) * C(n / p, m / p) (mod p)

int qmi(int a, int k, int p) // 快速幂模板
{
    int res = 1 % p;
    while (k)
    {
        if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
        a = (LL)a * a % p;
        k >>= 1;
	}
	return res;
}
int C(int a, int b, int p) // 通过定理求组合数C(a, b)
{
    if (a < b) return 0;
    LL x = 1, y = 1; // x是分子，y是分母
    for (int i = a, j = 1; j <= b; i --, j ++ )
    {
        x = (LL)x * i % p;
        y = (LL) y * j % p;
    }
    return x * (LL)qmi(y, p - 2, p) % p;
}
int lucas(LL a, LL b, int p)
{
    if (a < p && b < p) return C(a, b, p);
    return (LL)C(a % p, b % p, p) * lucas(a / p, b / p, p) % p;
}

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🍓分解质因数法求组合数：

当我们需要求出组合数的真实值，而非对某个数的余数时，分解质因数的方式比较好用：

1. 筛法求出范围内的所有质数

2. 通过 C(a, b) = a! / b! / (a - b)! 这个公式求出每个质因子的次数。 n! 中p的次数是 n / p + n / p^2 + n / p^3 + ...

3. 用高精度乘法将所有质因子相乘

int primes[N], cnt; // 存储所有质数
int sum[N]; // 存储每个质数的次数
bool st[N]; // 存储每个数是否已被筛掉
void get_primes(int n) // 线性筛法求素数
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}
int get(int n, int p) // 求n！中的次数
{
    int res = 0;
    while (n)
    {
        res += n / p;
        n /= p;
    }
    return res;
}
vector<int> mul(vector<int> a, int b) // 高精度乘低精度模板
{
    vector<int> c;
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < a.size(); i ++ )
    {
        t += a[i] * b;
        c.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    while (t)
    {
        c.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    return c;
}
get_primes(a); // 预处理范围内的所有质数
for (int i = 0; i < cnt; i ++ ) // 求每个质因数的次数
{
    int p = primes[i];
    sum[i] = get(a, p) - get(b, p) - get(a - b, p);
}
vector<int> res;
res.push_back(1);
for (int i = 0; i < cnt; i ++ ) // 用高精度乘法将所有质因子相乘
	for (int j = 0; j < sum[i]; j ++ )
		res = mul(res, primes[i]);

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✨容斥原理

在C语言中，可以使用容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle）来解决一些计数问题。容斥原理是组合数学中的一个重要原理，用于计算多个集合的并集、交集等情况下的计数问题。

🍓以下是一个用C语言编写的容斥原理算法的示例代码：

#include <stdio.h>

// 计算集合交集的大小
int intersectionSize(int set[], int setSize) {
    int result = set[0];
    for (int i = 1; i < setSize; i++) {
        result &= set[i];
    }
    return result;
}

// 计算集合并集的大小
int unionSize(int set[], int setSize) {
    int result = set[0];
    for (int i = 1; i < setSize; i++) {
        result |= set[i];
    }
    return result;
}

// 计算容斥原理的应用
int inclusionExclusion(int sets[][3], int numSets, int setSize) {
    int result = 0;
    for (int i = 1; i < (1 << numSets); i++) {
        int sign = (__builtin_popcount(i) % 2 == 1) ? 1 : -1;

        int tempSet[setSize];
        for (int j = 0; j < setSize; j++) {
            tempSet[j] = 0;
        }

        for (int j = 0; j < numSets; j++) {
            if (i & (1 << j)) {
                for (int k = 0; k < setSize; k++) {
                    tempSet[k] |= sets[j][k];
                }
            }
        }

        int intersection = intersectionSize(tempSet, setSize);
        result += sign * intersection;
    }
    return result;
}

int main() {
    int sets[3][3] = {
        {1, 2, 3},
        {2, 3, 4},
        {3, 4, 5}
    };
    int numSets = 3;
    int setSize = 3;

    int result = inclusionExclusion(sets, numSets, setSize);
    printf("Result: %d\n", result);

    return 0;
}

在上述代码中，我们定义了三个函数：intersectionSize用于计算集合交集的大小，unionSize用于计算集合并集的大小，inclusionExclusion用于应用容斥原理。

intersectionSize函数通过遍历集合元素并执行按位与操作来计算集合交集的大小。

unionSize函数通过遍历集合元素并执行按位或操作来计算集合并集的大小。

inclusionExclusion函数使用位运算和循环来实现容斥原理的应用。它从空集开始，遍历所有子集，并计算交集的大小。根据子集中元素的数量的奇偶性，确定交集的贡献正负号，并累加到最终结果中。

在main函数中，我们定义了一个包含三个集合的二维数组，并调用inclusionExclusion函数来应用容斥原理计算结果。

你可以运行上述代码，它将输出应用容斥原

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