51. N 皇后：
按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。
n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。
给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。
每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。
样例 1：
文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-468901.html
输入：
n = 4
输出：
[[".Q..","...Q","Q...","..Q."],["..Q.","Q...","...Q",".Q.."]]
解释：
如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。
样例 2：
输入：
n = 1
输出：
[["Q"]]
提示：
1 <= n <= 9
分析：
- 面对这道算法题目，二当家的再次陷入了沉思。
- 参数取值只有9个数，打个常量表怎么样？
- 按照行逐行尝试，深度优先递归套娃大法，关键是列和斜线上已经放置的标记存储（因为是按照行放置，每行只能放一个，所以就不需要对行做标记了）。
- 听说n皇后是非常经典的问题，感觉和数独有一些类似，都是需要做状态标记。
- 位运算通常都是空间利用的最优方案，但是位运算的读写都需要做额外的运算，速度稍有损失。
- 用数组存储标记是使用最方便的，但是空间肯定不是最优的。
题解：
rust：
impl Solution {
pub fn solve_n_queens(n: i32) -> Vec<Vec<String>> {
fn dfs(n: i32, ans: &mut Vec<Vec<String>>, queens: &mut Vec<usize>, row: usize, columns: i32, diagonals1: i32, diagonals2: i32) {
if n == row as i32 {
// 全部成功放置，表示一次成功方案
let board = (0..n as usize).map(|i| {
let mut bs = vec![b'.'; n as usize];
bs[queens[i]] = b'Q';
String::from_utf8(bs).unwrap()
}).collect();
ans.push(board);
} else {
// 还可以放置的位置
let mut availablePositions = ((1 << n) - 1) & (!(columns | diagonals1 | diagonals2));
// 还有可以放置的位置
while availablePositions != 0 {
// 可以放置的位置
let position = availablePositions & (-availablePositions);
// 放置
queens[row] = (position - 1).count_ones() as usize;
// 标记当前位置不可以放置
availablePositions &= availablePositions - 1;
// 递归套娃
dfs(n, ans, queens, row + 1, columns | position, (diagonals1 | position) << 1, (diagonals2 | position) >> 1);
}
}
}
let mut ans = Vec::new();
dfs(n, &mut ans, &mut vec![0; n as usize], 0, 0, 0, 0);
return ans;
}
}
go：
func solveNQueens(n int) (ans [][]string) {
var dfs func(queens []int, row, columns, diagonals1, diagonals2 int)
dfs = func(queens []int, row, columns, diagonals1, diagonals2 int) {
if row == n {
// 全部成功放置，表示一次成功方案
board := make([]string, n)
for i := 0; i < n; i++ {
r := make([]byte, n)
for j := 0; j < n; j++ {
r[j] = '.'
}
r[queens[i]] = 'Q'
board[i] = string(r)
}
ans = append(ans, board)
} else {
// 还可以放置的位置
availablePositions := (1<<n - 1) &^ (columns | diagonals1 | diagonals2)
// 还有可以放置的位置
for availablePositions > 0 {
// 可以放置的位置
position := availablePositions & -availablePositions
// 放置
queens[row] = bits.OnesCount(uint(position - 1))
// 标记当前位置不可以放置
availablePositions &^= position
// 递归套娃
dfs(queens, row+1, columns|position, (diagonals1|position)<<1, (diagonals2|position)>>1)
}
}
}
dfs(make([]int, n), 0, 0, 0, 0)
return
}
c++：
class Solution {
private:
void dfs(int n, vector<vector<string>> &ans, vector<int> &queens, int row, int columns, int diagonals1, int diagonals2) {
if (row == n) {
// 全部成功放置，表示一次成功方案
auto board = vector<string>();
for (int i = 0; i < n; ++i) {
string r = string(n, '.');
r[queens[i]] = 'Q';
board.emplace_back(r);
}
ans.emplace_back(board);
} else {
// 还可以放置的位置
int availablePositions = ((1 << n) - 1) & (~(columns | diagonals1 | diagonals2));
// 还有可以放置的位置
while (availablePositions != 0) {
// 可以放置的位置
int position = availablePositions & (-availablePositions);
// 放置
queens[row] = __builtin_ctz(position);
// 标记当前位置不可以放置
availablePositions &= availablePositions - 1;
// 递归套娃
dfs(n, ans, queens, row + 1, columns | position, (diagonals1 | position) << 1,
(diagonals2 | position) >> 1);
}
}
}
public:
vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
auto ans = vector<vector<string>>();
auto queens = vector<int>(n, -1);
dfs(n, ans, queens, 0, 0, 0, 0);
return ans;
}
};
python：
class Solution:
def solveNQueens(self, n: int) -> List[List[str]]:
def dfs(row: int, columns: int, diagonals1: int, diagonals2: int):
if row == n:
# 全部成功放置，表示一次成功方案
board = list()
for i in range(n):
row = ["."] * n
row[queens[i]] = "Q"
board.append("".join(row))
ans.append(board)
else:
# 还可以放置的位置
available_positions = ((1 << n) - 1) & (~(columns | diagonals1 | diagonals2))
# 还有可以放置的位置
while available_positions != 0:
# 可以放置的位置
position = available_positions & (-available_positions)
# 放置
queens[row] = bin(position - 1).count("1")
# 标记当前位置不可以放置
available_positions &= available_positions - 1
# 递归套娃
dfs(row + 1, columns | position, (diagonals1 | position) << 1, (diagonals2 | position) >> 1)
ans = list()
queens = [-1] * n
dfs(0, 0, 0, 0)
return ans
java：
class Solution {
public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
int[] queens = new int[n];
List<List<String>> ans = new ArrayList<List<String>>();
dfs(n, ans, queens, 0, 0, 0, 0);
return ans;
}
private void dfs(int n, List<List<String>> ans, int[] queens, int row, int columns, int diagonals1, int diagonals2) {
if (row == n) {
// 全部成功放置，表示一次成功方案
List<String> board = new ArrayList<String>();
for (int i = 0; i < n; i++) {
char[] r = new char[n];
Arrays.fill(r, '.');
r[queens[i]] = 'Q';
board.add(new String(r));
}
ans.add(board);
} else {
// 还可以放置的位置
int availablePositions = ((1 << n) - 1) & (~(columns | diagonals1 | diagonals2));
// 还有可以放置的位置
while (availablePositions != 0) {
// 可以放置的位置
final int position = availablePositions & (-availablePositions);
// 放置
queens[row] = Integer.bitCount(position - 1);
// 标记当前位置不可以放置
availablePositions &= availablePositions - 1;
// 递归套娃尝试下一行
dfs(n, ans, queens, row + 1, columns | position, (diagonals1 | position) << 1, (diagonals2 | position) >> 1);
}
}
}
}
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