目录
一、哈夫曼树
1.哈夫曼树的基本概念
2.哈夫曼树的构造过程
3.哈夫曼树的的实现
二、哈夫曼编码
1.有关哈夫曼树编码的两个概念
2.哈夫曼树编码满足的两个性质
3.哈夫曼编码的实现
三、例题（含完整代码及详细注解）
1.题目
2.代码实现
3.结果截图
一、哈夫曼树
1.哈夫曼树的基本概念
- 路径：从树中的一个结点到另一个结点之间的分支构成这两个结点之间的路径。
- 路径长度：路径上的分支数目称作路径长度。
- 树的路径长度：从树根到每一结点的路径长度之和。
- 权：赋予某个实体的 一个量，是对实体的某个或某些属性的数值化描述。在数据结构中，实体有结点和边两大类，所以对应有结点权和边权。
- 结点的带权路径长度：从该结点到树根之间的路径长度与结点上的全的乘积。
- 树的带权路径长度：树中所有叶子结点的带权路径长度与结点上权的乘积。
- 哈夫曼树：假设有m个权值,可以构造一颗含n个叶子结点的二叉树，则其中带权路径长度WPL的最小二叉树称作最优二叉树或哈夫曼树。
例如，下图中所示的两颗二叉树，都包含4个叶子结点a、b、c、d，分别带权7、5、2、4，它 们的带权路径长度分别为
2.哈夫曼树的构造过程
- 根据给定的n个权值，构建n棵只有根结点的二叉树，这n棵二叉树构成一个森林F。
- 在森林中选取两棵根结点的权值最小的树作为左右子树构造一颗新的二叉树，且置新的二叉树的根结点的权值为其左、右子树上的权值之和。
- 在森林F中删除这两颗树，同时将新得到的二叉树加入F中。
- 重复2和3，直到F中只含一颗树时为止。这棵树便是哈夫曼树。
注意：在构造哈夫曼树时，首先选择权小的，这样保证权大的离根较近，在计算树的带权路径 长度时，自然会得到最小带权路径长度，这种生成算法算是一种典型的贪心法。
口诀：1.构造森林全是根
2.选用两小造新树
3.删除两小添新人
4.重复2、3剩单根
3.哈夫曼树的实现
算法步骤：
- 初始化:首先动态申请2n个单元;然后循环2n-1次，从1号单元开始，依次将1至2n-l所有单元中的双亲、左孩子、右孩子的下标都初始化为0;最后再循环n次，输入前n个单元中叶子结点的权值。
- 创建树:循环n-1次，通过n-1次的选择、 删除与合并来创建哈夫曼树。选择是从当前森林中选择双亲为0且权值最小的两个树根结点sl和s2;删除是指将结点s1和s2的双亲改为非0;合并就是将s1和s2的权值和作为一个新结点的权值依次存人到数组的第n+1之后的单元中，同时记录这个新结点左孩子的下标为s1,右孩子的下标为s2。
void CreateHuffmanTree(HuffmanTree& HT,int n){
//构造哈夫曼树
if(n<=1) return;
int m=2*n-1;
HT=new HTNode[m+1]; //0单元号未用，下标从1开始
for(int i=1;i<=m;i++){ //初始化，将下标1~m号结点的双亲，左孩子，右孩子置为0
HT[i].parent=0;
HT[i].lchild=0;
HT[i].rchild=0;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
cin >> HT[i].weight; //输入前n个结点的权值
}
// 初始化结束，下面创开始创建哈夫曼树
//---------------------------------------------------------
for(int i=n+1;i<=m;i++){
/* 在select函数中，在前n个结点中通过n-1次的选择两个权值较小的结点,
进行合并，删除 来创建哈夫曼树 */
int s1=0,s2=0;
Select(HT,i-1,&s1,&s2);
/* 在select中挑选出两个权值较小的结点，且s1<s2；
合并成一个新的结点，新的结点的结点号为i ,此时s1和s2结点的双亲结点即为i */
HT[s1].parent=i; HT[s2].parent=i;
HT[i].lchild=s1;//将s1和s2分别作为结点i的左右孩子
HT[i].rchild=s2;
HT[i].weight=HT[s1].weight+HT[s2].weight;//结点i的权值为左右孩子之和
}
}//Select函数
void Select(HuffmanTree HT,int end,int *s1,int *s2){
int min1,min2;//min1存放较小的，min2存放第二小的,min1<min2
//先挑选出一个双亲结点为0的结点 ，如果双亲节点不为0说明这个结点已经在生成新节点中被使用过
int i=1;
while(HT[i].parent!=0&&i<=end){
i++;
}
//将第一次挑选出来的结点的权值先赋值给min1，然后i加一，挑选第二个双亲结点为0的结点
min1=HT[i].weight;
*s1=i;
i++;
// 挑选第二个双亲结点为0的结点
while(HT[i].parent!=0&&i<=end){
i++;
}
/*对挑选出来的第一个结点第二个结点再进行权值的比较，如果第二次挑选出来的HT[i].weight
小于min1的值，则先将min1的值付给min2,再将HT[i].weight赋给min1; 如果第二次挑选出来的
HT[i].weight大于min1的值，则将HT[i].weight赋给min2
*/
if(HT[i].weight<min1){
min2=min1;
*s2=*s1;
min1=HT[i].weight;
*s1=i;
}else{
min2=HT[i].weight;
*s2=i;
}
//对余下的结点进行遍历
for(int j=i+1;j<=end;j++){
if(HT[j].parent!=0) continue;
if(HT[j].weight<min1){
min2=min1;
min1=HT[j].weight;
*s2=*s1;
*s1=j;
}
//如果 min1<=HT[i].weight<=min2,则 将HT[j].weight的值赋给min2
else if(HT[j].weight>=min1&&HT[j].weight<min2){
min2=HT[j].weight;
*s2=j;
}
}
}二、哈夫曼编码
1.有关哈夫曼树编码的两个概念
- 前缀编码:如果在一个编码方案中， 任一个编码都不是其他任何编码的前缀(最左子串)，如称编码是前缀编码。例如，案例5.1中的第2种编码方案的编码0, 10, 110,111是前缀编码，而第3种编码方案的编码0，01, 010, 111 就不是前缀编码。前缀编码可以保证对压缩文件进行解码时不产生二义性，确保正确解码。
- 哈夫曼编码:对一棵具有n个叶子的哈夫曼树，若对树中的每个左分支赋予0，右分支赋予1,则从根到每个叶子的路径上，各分支的赋值分别构成一一个二进制串，该二进制串就称为哈夫曼编码。
2.哈夫曼树编码满足的两个性质
性质1 哈夫曼编码是前缀编码
哈夫曼编码是根到叶子路径上的编码序列，由树的特点知，若路径A是另一条路径B的最左部分，则B经过了A.则A的终点一定不是叶子，而哈夫曼编码对应路径的终点一定为叶子，因此，任一哈夫曼码都不会与任意其他哈夫曼编码的前缀部分完全重叠，因此哈夫曼编码是前缀编码。
性质2 哈夫曼编码是最优前缀编码
对于包括n个字符的数据文件，分别以它们的出现次数为权值构造哈夫曼树，则利用该树对应的哈夫曼编码对文件进行编码，能使该文件压缩后对应的二进制文件的长度最短。
3.哈夫曼编码的实现
算法步骤：
- 分配存储刀个字符编码的编码表空间HC,长度为n+1:;分配临时存储每个字符编码的动态数组空间cd, cd[n-1]置为'\0'。
- 逐个求解n个字符的编码，循环n次，执行以下操作:
- 设置变量start用于记录编码在cd中存放的位置，start 初始时指向最后，即编码结束符位置n-1;
- 设置变量c用于记录从叶子结点向上回溯至根结点所经过的结点下标，c初始时为当前待编码字符的下标i，f用于记录i的双亲结点的下标;
- 从叶子结点向上回溯至根结点，求得字符i的编码，当f没有到达根结点时，循环执行以下操作:
回溯一次start向前指一个位置，即--start;
若结点c是f的左孩子，则生成代码0，否则生成代码1,生成的代码0或1保存在cd[start] 中;
继续向上回溯，改变c和f的值。
- 根据数组cd的字符串长度为第i个字符编码分配空间HC[i]，然后将数组cd中的编码复制 到HC[i]中。
3. 释放临时空间cd。
typedef char **HuffmanCode;//动态分配数组存储哈夫曼编码表
void CreateHuffmanCode(HuffmanTree HT,HuffmanCode &HC,int n){
//得到哈夫曼编码
int start,c,f;
HC=new char*[n+1]; //下表从1开始，分配存储n个字符编码的编码表空间
char* cd=new char[n]; //临时存放每个字符编码的动态数组空间
cd[n-1]='\0'; //编码结束符
for(int i=1;i<=n;i++){ //逐个字符求哈夫曼编码
start=n-1; //start开始指向最后，即编码结束符的位置
c=i;f=HT[i].parent; //f指向结点c的双亲结点,
while(f!=0){
start--; //回溯一次，start位置向前指一个位置
if(HT[f].lchild==c) cd[start]='0'; //如果结点c是f的左孩子，则生成代码0
else cd[start]='1'; //如果结点c是f的右孩子，则生成代码0
c=f;f=HT[f].parent; //继续向上回溯，直至 f的双亲为0回溯结束
}
/* 注意：1.for循环是为了逐个字符求哈夫曼编码；while循环是为了对所求字符进行回溯，直至双亲为0
2.结点的双亲，左孩子，右孩子指向的全都是结点i，并不是结点的权值，这一点很容易混淆
*/
HC[i]=new char[n-start]; // 为第i个字符进行编码
strcpy(HC[i],&cd[start]); //为第i个字符编码分配空间
}
delete cd; //释放临时空间
} 三、 例题（含完整代码及详细注解）
1.题目
- 一个单位有5个部门，每个部门都有一部电话，但是整个单位只有一根外线，当有电话打过来的时候，由转接员转到内线电话，已知各部门使用外线电话的频率为（次/天）：5 16 9 12 19。利用哈夫曼树算法思想设计内线电话号码，使得接线员拨号次数尽可能少要求：
（1）依据使用外线电话的频率构造二叉树。
（2）输出设计出的各部门内线电话号码。
2.代码实现
#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef struct{
int weight;
int parent,lchild,rchild;
}HTNode,*HuffmanTree;
typedef char **HuffmanCode;//动态分配数组存储哈夫曼编码表
void CreateHuffmanTree(HuffmanTree &HT,int n); //构造哈夫曼树
void Select(HuffmanTree HT,int end,int *s1,int *s2); //select函数
void CreateHuffmanCode(HuffmanTree HT,HuffmanCode &HC,int n); //哈夫曼编码
void CreateHuffmanTree(HuffmanTree& HT,int n){
//构造哈夫曼树
if(n<=1) return;
int m=2*n-1;
HT=new HTNode[m+1]; //0单元号未用，下标从1开始
for(int i=1;i<=m;i++){ //初始化，将下标1~m号结点的双亲，左孩子，右孩子置为0
HT[i].parent=0;
HT[i].lchild=0;
HT[i].rchild=0;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
cin >> HT[i].weight; //输入前n个结点的权值
}
// 初始化结束，下面创开始创建哈夫曼树
//---------------------------------------------------------
for(int i=n+1;i<=m;i++){
/* 在select函数中，在前n个结点中通过n-1次的选择两个权值较小的结点,
进行合并，删除 来创建哈夫曼树 */
int s1=0,s2=0;
Select(HT,i-1,&s1,&s2);
/* 在select中挑选出两个权值较小的结点，且s1<s2；
合并成一个新的结点，新的结点的结点号为i ,此时s1和s2结点的双亲结点即为i */
HT[s1].parent=i; HT[s2].parent=i;
HT[i].lchild=s1;//将s1和s2分别作为结点i的左右孩子
HT[i].rchild=s2;
HT[i].weight=HT[s1].weight+HT[s2].weight;//结点i的权值为左右孩子之和
}
}
//Select函数
void Select(HuffmanTree HT,int end,int *s1,int *s2){
int min1,min2;//min1存放较小的，min2存放第二小的,min1<min2
//先挑选出一个双亲结点为0的结点 ，如果双亲节点不为0说明这个结点已经在生成新节点中被使用过
int i=1;
while(HT[i].parent!=0&&i<=end){
i++;
}
//将第一次挑选出来的结点的权值先赋值给min1，然后i加一，挑选第二个双亲结点为0的结点
min1=HT[i].weight;
*s1=i;
i++;
// 挑选第二个双亲结点为0的结点
while(HT[i].parent!=0&&i<=end){
i++;
}
/*对挑选出来的第一个结点第二个结点再进行权值的比较，如果第二次挑选出来的HT[i].weight
小于min1的值，则先将min1的值付给min2,再将HT[i].weight赋给min1; 如果第二次挑选出来的
HT[i].weight大于min1的值，则将HT[i].weight赋给min2
*/
if(HT[i].weight<min1){
min2=min1;
*s2=*s1;
min1=HT[i].weight;
*s1=i;
}else{
min2=HT[i].weight;
*s2=i;
}
//对余下的结点进行遍历
for(int j=i+1;j<=end;j++){
if(HT[j].parent!=0) continue;
if(HT[j].weight<min1){
min2=min1;
min1=HT[j].weight;
*s2=*s1;
*s1=j;
}
//如果 min1<=HT[i].weight<=min2,则 将HT[j].weight的值赋给min2
else if(HT[j].weight>=min1&&HT[j].weight<min2){
min2=HT[j].weight;
*s2=j;
}
}
}
void CreateHuffmanCode(HuffmanTree HT,HuffmanCode &HC,int n){
//得到哈夫曼编码
int start,c,f;
HC=new char*[n+1]; //下表从1开始，分配存储n个字符编码的编码表空间
char* cd=new char[n]; //临时存放每个字符编码的动态数组空间
cd[n-1]='\0'; //编码结束符
for(int i=1;i<=n;i++){ //逐个字符求哈夫曼编码
start=n-1; //start开始指向最后，即编码结束符的位置
c=i;f=HT[i].parent; //f指向结点c的双亲结点,
while(f!=0){
start--; //回溯一次，start位置向前指一个位置
if(HT[f].lchild==c) cd[start]='0'; //如果结点c是f的左孩子，则生成代码0
else cd[start]='1'; //如果结点c是f的右孩子，则生成代码0
c=f;f=HT[f].parent; //继续向上回溯，直至 f的双亲为0回溯结束
}
/* 注意：1.for循环是为了逐个字符求哈夫曼编码；while循环是为了对所求字符进行回溯，直至双亲为0
2.结点的双亲，左孩子，右孩子指向的全都是结点i，并不是结点的权值，这一点很容易混淆
*/
HC[i]=new char[n-start]; // 为第i个字符进行编码
strcpy(HC[i],&cd[start]); //为第i个字符编码分配空间
}
delete cd; //释放临时空间
}
int main(){
HuffmanTree HT;
HuffmanCode HC;
cout<<"各部门使用外线电话的频率为:"<<endl;
CreateHuffmanTree(HT,5);
CreateHuffmanCode(HT,HC,5);
cout << "各部门内线电话号码" << endl;
for (int i = 1; i <= 5; i++) {
cout << HC[i] << endl;
}
return 0;
}
3.结果截图
文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-469190.html
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