人工智能及其应用(蔡自兴)期末复习

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人工智能及其应用(蔡自兴)期末复习

本文是基于郑州大学人工智能课程制作的复习笔记,教学内容基本很陈旧,应该很久都不会更新。
⭐️ 都是我们的复习重点,需要进行关注
人工智能太恶心了,内容太多了!
注:我只是按照我们的课件来进行复习,不要盲目相信我的主观观点!!! 每年教的老师是不一样的,课件也是不一样的!!! 我们当年的老师是 tz、wzc

😋 更多复习科目请查看: 2020级郑州大学物联网工程期末记录 😋

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相关资料:

人工智能期末复习

人工智能复习题

人工智能模拟卷

人工智能期末练习题

1 ⭐️绪论

人工智能:人工智能就是用人工的方法在机器(计算机)上实现的智能,或称机器智能、计算机智能。

人工智能发展的三个阶段:

  • 计算
  • 感知
  • 认知

⭐️人工智能发展时期:

  • 孕育期 ( 1956年前):亚里士多德,莱布尼茨,图灵,莫克,麦克洛奇和皮兹,维纳

  • 形成期 ( 1956-1970年):1956年第一次人工智能研讨会(达特茅斯会议),

  • 暗淡期 ( 1966-1974年):过高预言

  • 知识应用期 ( 1970-1988年):专家系统的出现

  • 集成发展期 ( 1986年至今):AI技术进一步研究

⭐️人工智能学派:

  • 符号主义(功能模拟方法):逻辑主义,以物理符号系统为原理,代表:纽厄尔,肖,西蒙,尼尔逊
  • 连接主义(结构模拟方法):仿生学派,神经网络之间连接机制为原理,代表:卡洛克,皮茨,霍普菲尔德,鲁梅尔哈特
  • 行为主义(行为模拟方法):控制论学派,类似于控制机器人,代表:布鲁克斯

人工智能应用:问题求解和博弈,逻辑推理和定理证明,计算智能,分布式人工智能和真体,自动程序设计,专家系统,机器学习,自然语言理解,机器人学,模式识别,机器视觉,神经网络,智能控制

人工智能系统分类:专家系统,模糊系统,神经网络系统,学习系统,仿生系统,群智能系统,多真体系统,混合智能系统

目标:

  • 近期目标:建造智能计算机代替人类的部分智力劳动
  • 远期目标:揭示人类智能的根本机理,用智能机器去模拟、延伸和扩展人类的智能

研究的基本内容:认知建模,知识表示,知识推理,知识应用,机器感知,机器思维,机器学习,机器行为,智能系统构建

2 知识表示

2.1 ⭐️状态空间表示

概念理解:状态,算符

状态表示(知道初始状态和目标状态),状态表示图的画法

相关问题:

  • 野人传教士渡河问题

( a , b , c ) (a, b, c) (a,b,c)表示(左岸传教士人数,左岸野人数,左岸船数)

  • 梵塔问题

状态: ( S A , S B ) (S_A, S_B) (SA,SB) S A S_A SA表示 A A A所在杆号, S B S_B SB表示 B B B所在杆号, S A , S B ∈ { 1 , 2 , 3 } S_A,S_B \in \{1, 2, 3\} SA,SB{1,2,3},全部状态为:
( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) (1,1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3) (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)
初始状态: ( 1 , 1 ) (1,1) (1,1),目标状态: ( 3 , 3 ) (3,3) (3,3)

状态空间图:

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  • 八数码问题

2.2 ⭐️归约表示(与或图)

需要理解:归约表示思路,与或图表示

  • 梵塔问题(四阶为例)

假设用向量 ( D 4 , D 3 , D 2 , D 1 ) (D_4, D_{3},D_2, D_1) (D4,D3,D2,D1)表示从大到小的圆盘所在的柱子号,则

初始状态: ( 1 , 1 , 1 , 1 ) (1, 1, 1, 1) (1,1,1,1)

目标状态: ( 3 , 3 , 3 , 3 ) (3, 3, 3, 3) (3,3,3,3)

问题归约为子问题:

  1. 移动3,2,1号圆盘至2号柱子
  2. 移动4号圆盘至3号柱子
  3. 移动3,2,1号圆盘至3号柱子

归约图表示:

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2.3 谓词逻辑表示

概念理解:谓词,项,谓词公式,原子公式,合式公式

合式公式性质:

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自然语言转换成谓词:

  • 人都会死
    ( ∀ x ) ( m a n ( x ) → d i e ( x ) ) (\forall x) (man(x) \to die(x)) (x)(man(x)die(x))

  • 有的人聪明
    ( ∃ x ) ( m a n ( x ) → c l e v e r ( x ) ) (\exist x) (man(x) \to clever(x)) (x)(man(x)clever(x))

谓词推理:

下面的例子使用了 P ∨ Q ¬ P ∨ Q    ⟹    Q ∨ Q = Q P \lor Q \hspace{1em} \neg P \lor Q \implies Q \lor Q = Q PQ¬PQQQ=Q 消解推理规则
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2.4 语义网络表示

常用语义联系:

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推理机制:匹配和继承

2.5 框架表示

结构:

  • 节点
  • 槽:每个槽可有多个侧面,每个侧面可有多个值

推理机制:

  • 匹配
  • 填槽(查询,默认,继承,附加过程计算)

大学教师的框架:

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2.6 ⭐️知识表示方法的联系

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3 搜索推理

3.1 ⭐️盲目搜索(无信息搜索)

本小节没有加以整理,请看课件

  • ⭐️深度优先搜素
  • ⭐️宽(广)度优先搜索
  • 等代价搜索(UCS):就是Dijkstra算法
  • 有界深搜:就是限制深度的深搜
  • 迭代加深算法(IDS)

知道OPEN表和CLOSED表的作用

3.2 ⭐️启发式搜索(有信息搜索)

按选择范围不同分为:全局择优搜索(A,A*)和局部择优搜素
f ( x ) = g ( x ) + h ( x ) f(x) = g(x) + h(x) f(x)=g(x)+h(x)
h ( x ) h(x) h(x):启发函数

搜索算法:

  • A算法: h ( x ) h(x) h(x)不做限制

  • A*算法: h ( x ) h(x) h(x)有限制

3.3 ⭐️消解原理(归结原理)

就是对几个子句推导出新的子句(几个公理推导出新的结论)

  • ⭐️如何求子句集(将谓词演算公式化成子句集)P97

子句集特征:没有蕴涵词( → \rightarrow )、等值词( ↔ , ≡ \leftrightarrow, \equiv ,), ¬ \neg ¬作用原子谓词,没有全称和存在量词,合取范式,元素之间变元不同,集合形式

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  • ⭐️消解推理规则

P ¬ P ∨ Q    ⟹    Q P ∨ Q ¬ P ∨ Q    ⟹    Q ∨ Q = Q ¬ P P    ⟹    N I L ¬ P ∨ R ( P → R ) ¬ Q ∨ R ( Q → R )    ⟹    ¬ P ∨ Q ( P → Q ) P \hspace{1em} \neg P \lor Q \implies Q \\ P \lor Q \hspace{1em} \neg P \lor Q \implies Q \lor Q = Q \\ \neg P \hspace{1em} P \implies NIL \\ \neg P \lor R(P \to R) \hspace{1em} \neg Q \lor R(Q \to R) \implies \neg P \lor Q(P \to Q) P¬PQQPQ¬PQQQ=Q¬PPNIL¬PR(PR)¬QR(QR)¬PQ(PQ)

  • 消解反演

消解通过反演来证明。将目标公式否定添加到命题公式集中,从中推导出一个空子句。(类似于反证法,否定结论,并将其作为条件,推导出一个空结论,即不可能满足的结论)

反演树的画法与理解

  • 置换与合一的概念

置换: σ = { f ( a ) / x , f ( y ) / z } \sigma = \{f(a) / x , f(y) / z\} σ={f(a)/x,f(y)/z} 代表用 f ( a ) f(a) f(a)代替掉 x x x,用 f ( y ) f(y) f(y)代替掉 z z z

合一:寻找一个置换,使两个表达式一致的过程。

3.4 规则演绎

  • 产生式系统

产生式规则一般形式:

I F A 1 , A 2 , . . . , A n T H E N B IF \hspace{1em} A_1,A_2,...,A_n \hspace{1em} THEN \hspace{1em} B IFA1,A2,...,AnTHENB

逻辑蕴含式是产生式的一种特殊形式。

产生式系统的组成:

  • 总数据库
  • 产生式规则(规则库)
  • 控制策略(推理机)

产生式系统的推理:正向推理,逆向推理,双向推理。

3.5 不确定性推理

三种不确定性程度:

  • 知识不确定性
  • 证据不确定性
  • 结论不确定性

不确定性表示度量:

  • 静态强度:知识的不确定性程度表示,(LS,LN)为知识的不确定性表示。
  • 动态强度:证据的不确定性程度表示

3.5.1 ⭐️概率推理

条件概率公式:
P ( A ∣ B ) = P ( A B ) P ( B ) P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} P(AB)=P(B)P(AB)

全概率公式:( A i A_i Ai构成一个完备事件组,互相独立,其总和为全集)
P ( B ) = ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i ) P(B) = \sum \limits_{i = 1}^n P(A_i)P(B|A_i) P(B)=i=1nP(Ai)P(BAi)

贝叶斯公式:(先验概率 P ( H ) P(H) P(H),条件概率 P ( H ∣ E ) P(H|E) P(HE)
P ( H ∣ E ) = P ( H ) P ( E ∣ H ) P ( E ) P ( B i ∣ A ) = P ( B i ) P ( A ∣ B i ) ∑ i P ( B i ) P ( A ∣ B i ) P ( H i ∣ E 1 E 2 ⋯ E m ) = P ( E 1 ∣ H i ) P ( E 2 ∣ H i ) ⋯ P ( E m ∣ H i ) P ( H i ) ∑ j = 1 n P ( E 1 ∣ H j ) P ( E 2 ∣ H j ) ⋯ P ( E m ∣ H j ) P ( H j ) P(H|E) = \frac{P(H)P(E|H)}{P(E)} \\ P(B_i | A) = \frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum_i P(B_i) P(A|B_i)} \\ P(H_i | E_1E_2 \cdots E_m) = \frac{P(E_1|H_i)P(E_2|H_i) \cdots P(E_m|H_i)P(H_i)}{\sum \limits_{j = 1}^n P(E_1|H_j)P(E_2|H_j) \cdots P(E_m|H_j)P(H_j)} P(HE)=P(E)P(H)P(EH)P(BiA)=iP(Bi)P(ABi)P(Bi)P(ABi)P(HiE1E2Em)=j=1nP(E1Hj)P(E2Hj)P(EmHj)P(Hj)P(E1Hi)P(E2Hi)P(EmHi)P(Hi)

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3.5.2 ⭐️ 主观贝叶斯(?我们是没有考,但是你们就不一定了)

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相关公式:
O ( X ) = P ( X ) 1 − P ( X ) O ( H ∣ E ) = L S ⋅ O ( H ) O ( H ∣ ¬ E ) = L N ⋅ O ( H ) O ( H ∣ S 1 , S 2 , ⋯   , S n ) = O ( H ∣ S 1 ) O ( H ) ⋅ O ( H ∣ S 2 ) O ( H ) ⋯ O ( H ∣ S n ) O ( H ) ⋅ O ( H ) O(X) = \frac{P(X)}{1 - P(X)} \\ O(H|E) = LS \cdot O(H) \\ O(H| \neg E) = LN \cdot O(H) \\ O(H|S_1, S_2, \cdots, S_n) = \frac{O(H|S_1)}{O(H)} \cdot \frac{O(H|S_2)}{O(H)} \cdots \frac{O(H|S_n)}{O(H)} \cdot O(H) O(X)=1P(X)P(X)O(HE)=LSO(H)O(H∣¬E)=LNO(H)O(HS1,S2,,Sn)=O(H)O(HS1)O(H)O(HS2)O(H)O(HSn)O(H)

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EH公式:
P ( H ∣ S ) = { P ( H ∣ ¬ E ) + P ( H ) − P ( H ∣ ¬ E ) P ( E ) × P ( E ∣ S ) 0 ≤ P ( E ∣ S ) < P ( E ) P ( H ) + P ( H ∣ E ) − P ( H ) 1 − P ( E ) × ( P ( E ∣ S ) − P ( E ) ) P ( E ) ≤ P ( E ∣ S ) ≤ 1 ( 1 ) P(H|S) = \begin{cases} P(H| \neg E) + \frac{P(H) - P(H|\neg E)}{P(E)} \times P(E|S) & 0 \le P(E|S) \lt P(E) \\ P(H) + \frac{P(H|E) - P(H)}{1 - P(E)} \times (P(E|S) - P(E)) & P(E) \le P(E|S) \le 1 \end{cases} \hspace{2em} (1) P(HS)={P(H∣¬E)+P(E)P(H)P(H∣¬E)×P(ES)P(H)+1P(E)P(HE)P(H)×(P(ES)P(E))0P(ES)<P(E)P(E)P(ES)1(1)

CP公式:
P ( H ∣ S ) = { P ( H ∣ ¬ E ) + ( P ( H ) − P ( H ∣ ¬ E ) ) × ( 1 5 C ( E ∣ S ) + 1 ) C ( E ∣ S ) ≤ 0 P ( H ) + ( P ( H ∣ E ) − P ( H ) ) × 1 5 C ( E ∣ S ) C ( E ∣ S ) > 0 ( 2 ) P(H|S) = \begin{cases} P(H| \neg E) + (P(H) - P(H|\neg E)) \times (\frac{1}{5}C(E|S) + 1) & C(E|S) \le 0 \\ P(H) + (P(H|E) - P(H)) \times \frac{1}{5}C(E|S) & C(E|S) \gt 0 \end{cases} \hspace{2em} (2) P(HS)={P(H∣¬E)+(P(H)P(H∣¬E))×(51C(ES)+1)P(H)+(P(HE)P(H))×51C(ES)C(ES)0C(ES)>0(2)

根据第一张图得到 P ( E ∣ S ) P(E|S) P(ES) C ( E ∣ S ) C(E|S) C(ES)的关系,记为式 ( 3 ) (3) (3)

根据第二张图得到 P ( H ∣ S ) P(H|S) P(HS) P ( E ∣ S ) P(E|S) P(ES)的关系,即为式 ( 1 ) (1) (1)

将式 ( 3 ) (3) (3)代入到式 ( 1 ) (1) (1)中,得到CP公式

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3.5.3 ⭐️可信度方法

可信度表示知识或证据的不确定性,范围 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [1,1]

知识的不确定性表示:

if  E  then  H   (CF(H, E)) 

CF(H,E):是该条知识的可信度,称为可信度因子或规则强度,它指出当前提条件 E 所对应的证据为真时,它对结论为真的支持程度。

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推理结论CF值计算:
C F ( H ) = C F ( H , E ) × m a x { 0 , C F ( E ) } CF(H) = CF(H, E) \times max\{0, CF(E) \} CF(H)=CF(H,E)×max{0,CF(E)}
重复结论CF值计算:
i f E 1 t h e n H ( C F ( H , E 1 ) ) i f E 2 t h e n H ( C F ( H , E 2 ) ) 则 C F 1 , 2 ( H ) = { C F 1 ( H ) + C F 2 ( H ) − C F 1 ( H ) × C F 2 ( H ) C F 1 ( H ) ≥ 0 , C F 2 ( H ) ≥ 0 C F 1 ( H ) + C F 2 ( H ) + C F 1 ( H ) × C F 2 ( H ) C F 1 ( H ) < 0 , C F 2 ( H ) < 0 C F 1 ( H ) + C F 2 ( H ) 1 − m i n { ∣ C F 1 ( H ) ∣ , ∣ C F 2 ( H ) ∣ } C F 1 ( H ) , C F 2 ( H ) 异号 if \hspace{1em} E_1 \hspace{1em} then \hspace{1em} H \hspace{1em} (CF(H,E_1)) \\ if \hspace{1em} E_2 \hspace{1em} then \hspace{1em} H \hspace{1em} (CF(H,E_2)) \\ \text{则} CF_{1,2}(H) = \begin{cases} CF_1(H) + CF_2(H) - CF_1(H) \times CF_2(H) & CF_1(H) \ge 0, CF_2(H) \ge 0 \\ CF_1(H) + CF_2(H) + CF_1(H) \times CF_2(H) & CF_1(H) \lt 0, CF_2(H) \lt 0 \\ \frac{CF_1(H) + CF_2(H)}{1 - min\{ |CF_1(H)|, |CF_2(H)|\}} & CF_1(H),CF_2(H) \text{异号} \end{cases} ifE1thenH(CF(H,E1))ifE2thenH(CF(H,E2))CF1,2(H)= CF1(H)+CF2(H)CF1(H)×CF2(H)CF1(H)+CF2(H)+CF1(H)×CF2(H)1min{CF1(H),CF2(H)}CF1(H)+CF2(H)CF1(H)0,CF2(H)0CF1(H)<0,CF2(H)<0CF1(H),CF2(H)异号
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4 计算智能

4.1 神经计算

神经网络三要素:

  • 神经元

    • 为一个简单的线性阈值单元(阈值逻辑单元TLU),简单的单层前馈网络,叫感知器
    • 多个输入通过 f ( ∑ i = 1 n w i x i − θ ) f(\sum \limits_{i = 1}^n w_i x_i - \theta) f(i=1nwixiθ)输出, f f f称为变换函数, θ \theta θ称为阈值或偏差。
  • 网络拓扑结构

    • 递归(反馈)网络(多个神经元之间组成一个互连神经网络)
    • 前馈(多层)网络(神经元之间不存在互连)(代表:BP网络(梯度下降法))
  • 学习算法

    • 有师学习算法

    • 无师学习算法(无需知道期望输出)

      • 聚类算法
    • 强化学习算法

      • 遗传算法

感知器逻辑推理:

  • 可以解决AND, OR, NOT问题
  • 不可解决线性不可分问题,例如XOR问题
  • 但XOR可以使用多层感知器网络(前馈网络)和递归网络实现

4.2 模糊计算

4.2.1 表示

A = { ( x , μ A ( x ) ) ∣ x ∈ U } A = \{ (x, \mu_A(x)) |x \in U \} A={(x,μA(x))xU}

μ A ( x ) \mu_A(x) μA(x) x x x A A A的隶属度, μ A ( x ) ∈ [ 0 , 1 ] \mu_A(x) \in [0, 1] μA(x)[0,1]

表示:

  • X X X为离散域
    F = ∑ i = 1 n μ F ( x ) / x A = 0 / 1 + 0.1 / 2 + 0.5 / 3 + 0.8 / 4 + 1 / 5 或 F = { μ F ( u 1 ) , μ F ( u 2 ) , ⋯   , μ F ( u n ) } A = { 0 , 0.1 , 0.5 , 0.8 , 1 } F = \sum \limits_{i = 1}^n \mu _F(x) / x \hspace{1em} A = 0/1 + 0.1/2 + 0.5/3 + 0.8 / 4 + 1/5 \\ \text{或} \\ F = \{\mu_F(u_1), \mu_F(u_2), \cdots, \mu_F(u_n) \} \hspace{1em} A = \{0, 0.1, 0.5, 0.8, 1 \} F=i=1nμF(x)/xA=0/1+0.1/2+0.5/3+0.8/4+1/5F={μF(u1),μF(u2),,μF(un)}A={0,0.1,0.5,0.8,1}

  • X X X 为连续域
    F = ∫ X μ F ( x ) / x F = \int_X \mu_F(x) / x F=XμF(x)/x

4.2.2 模糊运算

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4.2.3 原理(求解过程)

  • 模糊化
  • 模糊计算:模糊统计法,对比排序法,专家评判法
  • 模糊判决(解模糊):重心法,最大隶属度法,系统加权平均法,隶属度限幅元素平均法

4.3 ⭐️遗传算法

  • 是一种模仿生物遗传学和自然选择机理的优化搜索算法,是进化计算的一种重要的形式。有选择算子,交叉算子,变异算子。
  • 流程
    • 初始化群体,群体中的每一个个体都是染色体,由二进制串组成,所以算法中会牵扯到编码和解码操作
    • 计算所有个体的适应度(适应度函数由用户自定义,保证适应度大的个体质量更好)
    • 选择:选择方法一般有赌轮选择和联赛选择。赌轮选择:每个个体有一个选择的概率,可以定为个体的适应度除以群体总的适应度,产生随机数选择一个个体。联赛选择:随机选择m个个体,选择适应度最大的个体。选择之后要进行解码操作。
    • 以某一概率进行交叉。(交叉分为一点交叉和两点交叉)
    • 以某一概率进行突变
    • 直至满足某种停止条件,否则一直进行适应度计算往下的操作
    • 输出适应度最优的染色体作为最优解

4.4 ⭐️粒群优化算法(? 什么东西,我们是没考,这个重点感觉就是烟雾弹)

迭代公式

速度更新公式:
v ( t + 1 ) = w v ( t ) + c 1 r a n d ( ) ( p i − x ( t ) ) + c 2 r a n d ( ) ( p g − x ( t ) ) v(t + 1) = wv(t) + c_1rand() (p_i - x(t)) + c_2rand()(p_g - x(t)) v(t+1)=wv(t)+c1rand()(pix(t))+c2rand()(pgx(t))

w w w :惯性权重, c 1 , c 2 c_1,c_2 c1,c2 :加速常数, p i p_i pi :个体极值, p g p_g pg :全局极值

位置更新公式: x ( t + 1 ) = x ( t ) + v ( t + 1 ) x(t + 1) = x(t) + v(t + 1) x(t+1)=x(t)+v(t+1)

5 机器学习

5.1 归纳学习

分为:

  • 有师学习(示例学习)
  • 无师学习(观察发现学习)

5.2 神经网络学习

BP算法:反向传播算法

学习过程:正向传播 + 反向传播

5.3 深度学习

定义:将神经-中枢-大脑的工作原理设计成一个不断迭代、不断抽象的过程,以便得到最优数据特征表示的机器学习算法

卷积神经网络:

  • 神经元之间非全连接
  • 同一层神经元之间采用权值共享的方式

优点:

  • 采用非线性处理单元组成的多层结构
  • 分为有监督学习和无监督学习
  • 学习无标签数据优势明显

常用模型:

  • 自动编码器:无监督学习
  • 受限玻尔兹曼机:学习概率分布的一个随机生成神经网络,限定模型必须为二分图
  • 深度信念网络:靠近可视层部分使用贝叶斯信念网络
  • 卷积神经网络:多个卷积层和全连接层组成

5.4 ⭐️决策树

可参考:https://wyqz.top/p/808139430.html#toc-heading-34

信息熵:
E n t ( X ) = − ∑ p i l o g 2 p i i = 1, 2,  … , n Ent(X) = - \sum p_i log_2 p_i \hspace{2em} \text{i = 1, 2, …, n} Ent(X)=pilog2pii = 1, 2, , n
信息增益: 表示特征 X X X使得类 Y Y Y的不确定性减少的程度(熵值减少),即当前划分对信息熵所造成的变化。

信息增益越大,表示特征a来划分所减少的熵最大,即提升最大,应当作为根节点。
G a i n ( S , A ) = E n t ( S ) − ∑ v ∈ v a l u e s ( A ) ∣ S v ∣ ∣ S ∣ E n t ( S v ) Gain(S, A) = Ent(S) - \sum \limits_{v \in values(A)} \frac{|S_v|}{|S|} Ent(S_v) Gain(S,A)=Ent(S)vvalues(A)SSvEnt(Sv)

基于信息增益的ID3算法的实例:

我们有14天的数据,4个特征条件:天气,温度,湿度,是否有风。最终结果是去玩不玩。

人工智能及其应用(蔡自兴)期末复习

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上面有四种划分方式,我们需要判断谁来当根节点,根据的主要就是信息增益这个指标。下面计算信息增益来判断根节点。

总的数据中,9天玩,5天不玩,熵值为:
− 9 14 l o g 2 9 14 − 5 14 l o g 2 5 14 = 0.940 -\frac{9}{14}log_2 \frac{9}{14} - \frac{5}{14}log_2 \frac{5}{14} = 0.940 149log2149145log2145=0.940
本例暂且以ent(a, b)代表以下含义:(只有两种结果的时候的熵值计算)

from math import log2
def ent(a, b):
    tot = a + b
    x, y = a / tot, b / tot
    return -(x * log2(x) + y * log2(y))

然后对4个特征逐个分析:

  • outlook

    • outlook = sunny时,熵值为0.971,取值为sunny的概率为 5 14 \frac{5}{14} 145
    • outlook = overcast时,熵值为0,取值为overcast的概率为 4 14 \frac{4}{14} 144
    • outlook = rainy时,熵值为0.971,取值为rainy的概率为 5 14 \frac{5}{14} 145

    熵值为:
    5 14 × 0.971 + 4 14 × 0 + 5 14 × 0.971 = 0.693 \frac{5}{14} \times 0.971 + \frac{4}{14} \times 0 + \frac{5}{14} \times 0.971 = 0.693 145×0.971+144×0+145×0.971=0.693
    信息增益:系统熵值从0.940下降到0.693,增益为0.247。

  • temperture

    • temperture = hot时,熵值为1.0(ent(2, 2)),取值为hot的概率为 4 14 \frac{4}{14} 144
    • temperture = mild时,熵值为0.918(ent(4, 2)),取值为mild的概率为 6 14 \frac{6}{14} 146
    • temperture = cool时,熵值为0.81(ent(3,1)),取值为cool的概率为 4 14 \frac{4}{14} 144

    熵值为:
    4 14 × 1.0 + 6 14 × 0.918 + 4 14 × 0.81 = 0.911 \frac{4}{14} \times 1.0 + \frac{6}{14} \times 0.918 + \frac{4}{14} \times 0.81 = 0.911 144×1.0+146×0.918+144×0.81=0.911
    信息增益: G a i n ( S , t e m p e r t u r e ) = 0.940 − 0.911 = 0.029 Gain(S, temperture) = 0.940 - 0.911 = 0.029 Gain(S,temperture)=0.9400.911=0.029

G a i n ( S , O u t l o o k ) = 0.247 G a i n ( S , H u m i d i t y ) = 0.151 G a i n ( S , W i n d ) = 0.048 G a i n ( S , T e m p e r a t u r e ) = 0.029 Gain(S,Outlook)=0.247 \\ Gain(S, Humidity)=0.151 \\ Gain(S, Wind)=0 .048 \\ Gain(S,Temperature)=0 .029 Gain(SOutlook)=0.247Gain(S,Humidity)=0.151Gain(S,Wind)=0.048Gain(S,Temperature)=0.029

计算出所有的信息增益之后,选择有最大的信息增益的特征作为根节点。

下面找Sunny分支的决策树划分:

总的熵值
− 2 5 × l o g 2 ( 2 5 ) − 3 5 l o g 2 ( 3 5 ) = 0.97 -\frac{2}{5} \times log_2(\frac{2}{5}) - \frac{3}{5}log_2(\frac{3}{5}) = 0.97 52×log2(52)53log2(53)=0.97
以剩下的三个特征进行分析:

  • temperture

    • temperture=hot,熵值为0,概率为 2 5 \frac{2}{5} 52
    • temperture=mild,熵值为1.0,概率为 2 5 \frac{2}{5} 52
    • temperture=cool,熵值为0,概率为 1 5 \frac{1}{5} 51

    熵值为 2 5 \frac{2}{5} 52

    信息增益: 0.97 − 0.4 = 0.57 0.97-0.4 = 0.57 0.970.4=0.57

  • humidity

    • high,熵值为0,概率为 3 5 \frac{3}{5} 53
    • normal,熵值为1,概率为 2 5 \frac{2}{5} 52

    熵值为 2 5 \frac{2}{5} 52

    信息增益: 0.97 − 0.4 = 0.57 0.97 - 0.4 = 0.57 0.970.4=0.57

  • windy

    • false,熵值为0.918,概率为 3 5 \frac{3}{5} 53
    • true,熵值为1,概率为 2 5 \frac{2}{5} 52

    熵值为 0.951 0.951 0.951

    信息增益: 0.97 − 0.95 = 0.02 0.97 - 0.95 = 0.02 0.970.95=0.02

故选择humidy或temperture划分

剩下的划分同理

最终决策树:

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