【Matlab】一、解常微分方程ODE-Toy模板网

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求解常微分方程 ODE

在matlab中，我们可以求解常微分方程的解析解，和数值解，一般使用dsolve来求解常微分方程的解析解，使用类似于ode45的求解器来求解常微分方程的数值解。

（1）求解解析解

求解解析解，例如求解该方程的解析解
$\frac{dy}{dx}=3x^2 + 1$
只需要在命令行中输入

dsolve('Dy=3*x^2+1', 'x')

或者是加上初始条件，求该方程在该初始条件下的解
$\frac{dy}{dx}=3x^2, y|_{x=0}=2$
在命令行输入

dsolve("Dy = 3*x^2", "y(0)=2", "x")

例如求一个常微分方程组
$\left\{ \begin{array}{lr} \dot{x}=y, \\ \ddot{y}-\dot{y}=0, \quad x|_{t=0}=1; \dot{y}|_{t=0}=1 \end{array} \right.$
在命令行输入

[x, y] = dsolve('Dx=y, D2y-Dy=0', 'x(0)=2, y(0)=2, Dy(0)=1')

（2）求解数值解

求数值解，有一些非线性的常微分方程是不能求出解析解的，我们一般求取其在一段区间内的数值解，采用迭代的方式来求解数值解，ode是matlab专门用于解微分方程的功能函数，具体的说明如下：

ode45是解决问题的首选，如果长时间没有结果，那么则采用ode15s试试。下面介绍ode45的函数格式

%函数格式  
%[T,Y] = ode45(‘odefun’,tspan,y0)
%[T,Y] = ode45(‘odefun’,tspan,y0,options)
%[T,Y,TE,YE,IE] = ode45(‘odefun’,tspan,y0,options)
%sol = ode45(‘odefun’,[t0 tf],y0...)
%其中: odefun是函数句柄,可以是函数文件名,匿名函数句柄或内联函数名；
%          tspan 是求解区间 [t0 tf]，或者一系列散点[t0,t1,...,tf]；
%          y0 是初始值向量
%          T 返回列向量的时间点
%          Y 返回对应T的求解列向量
%          options 是求解参数设置,可以用odeset在计算前设定误差,输出参数,事件等
%          TE 事件发生时间
%          YE 事件发生时之答案
%          IE 事件函数消失时之指针i

首先得将微分方程标准化，类似于选择状态变量写状态空间表达式，对于一般的微分方程

$\left\{ \begin{array}{lr} F(y,\dot{y},\ddot{y},\dots,y^{(n-1)},t)=0 \\ y(t_0)=c_0, \dot{y}(t)=c_1, \dots, y^{(n-1)}(t_0)=c_{n-1} \end{array} \right.$

首先选择选择一组微分作为状态变量

$\bold x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\x_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y \\ \dot{y} \\ \ddot{y} \\ \vdots \\y^{(n-1)} \end{bmatrix}$

然后将待求解的微分方程 $F(y,\dot{y},\ddot{y},\dots,y^{(n-1)},y^n,t)=0$ ，写成 $y^{n}=G(y,\dot{y},\ddot{y} \dots,y^{n-1}, t)=G(x_1,x_2,x_3 \dots,x_{n},t)$ 的形式，然后写出 $\dot{\bold x}$

$\bold{\dot{x}} = \begin{bmatrix} \dot{x_1} \\ \dot{x_2} \\ \dot{x_3} \\ \vdots \\ \dot{x_n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dot{y} \\ \ddot{y} \\ \vdots \\ y^{(n-1)} \\ y^{(n)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ \vdots \\ G(x_1,x_2,x_3 \dots,x_{n},t) \end{bmatrix}$

上述步骤便是我们需要在odefun中完成的，举一个示例：在时间区间 $t = [3.9, 4]$ ，求解微分方程

$y''=-ty+e^ty'+3sin2t, y|_{t=3}=8, y'|_{t=3}=2$
那么即
$\bold{\dot{x}} = \begin{bmatrix} \bold{x}[1] \\ -t*\bold{x}[1]+e^t*\bold{x}[2]+3sin2t \end{bmatrix}$ 文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-469859.html

%在odefun.m脚本文件中完成以下内容
function dxdt = odefun(t, x)
	dxdt = zeros(2, 1);  %初始化为 2 x 1的零矩阵
	dxdt(1) = x(2);
	dxdt(2) = -t*x(1)+exp(t)*x(2)+3*sin(2*t);
end

%在main.m脚本文件中完成以下内容
tspan = [3.9, 4];
y0 = [8, 2];
[t, y] = ode45('odefun', tspan, y0);	%x的第一列为y，第二列为y’。如果遇到变量不是列向量形式的，可以考虑利用reshape函数做矩阵变换。
plot(t, y(:,1), '-o', t, y(:,2), '-*');
legend('y', "y'");
xlabel('t');