许多问题可以用沿图的边前进所形成的通路来建模。
例如，判定能否在两个计算机之间用中间连接传递消息的问题，就可以用图模型来研究。利用图模型中的通路可以解决投递邮件、收取垃圾以及计算机网络诊断等有效规划路线的问题。
1. 通路
通路（path）是边的序列，它从图的一个顶点开始沿着图中的边行经图中相邻的顶点。
1.1 通路
通路的定义：设 n 是非负整数且G是无向图。在G中从 u 到 v 的长度为 n 的通路是G的n条边e1, e2, …, en 的序列，其中存在 x0 = u, x1, x2, …, xn = v 的顶点序列，使得对于i= 1, 2,…, n, ei 以 xi-1 和 xi 作为端点。当这个图是简单图时，就用顶点序列 x0 , x1 , …, xn 表示这条通路（因为列出这些顶点就唯一地确定了通路）。
注意：长度为 0 的通路由单个顶点组成。
1.2 回路
回路(circuit）的定义：若一条通路在相同的顶点开始和结束，即 u=v 且长度大于0，则它是一条回路。（相同的顶点开始和结束且长度大于0的通路 👉 回路 / 圈）
把通路或是回路说成是经过顶点x1, …, xn-1 或遍历边 e1, e2, …, en 。
若通路或回路不重复地包含相同的边，则它是简单的。
1.3 其他术语
关于上面的概念，有许多不同的术语：有时使用路径（walk）而不是通路（path）,这时使用顶点和边相互交替的序列来表示 v0, e1, v1, e2, v2,……, vn-1, en, vn
当使用 “路径（walk）” 这个术语时，就会使用 闭合路径（closed walk） 而不是 “回路” 表示起始和终止于同一顶点的路径~
使用 路线trail 表示没有重复边的路径。
通路path 常用来表示没有重复顶点的路线。
各种术语比较混乱，需要考虑上下文才能弄清楚。
2. 无向图的连通性
2.1 无向图的连通与不连通
定义：若无向图中每一对不同的顶点之间都有通路，则该图称为连通的。
不连通的无向图称为不连通的。当从图中删除顶点或边，或两者时，得到了不连通的子图。就称将图变成不连通的。
连通性满足等价关系！！！
例题：
图二中，G1是连通的，G2是不连通的。
例如： G2在顶点 a 和 d 之间没有通路。
2.2 定理
在连通无向图的每一对不同的顶点之间都存在简单通路
（简单通路：是通路 且 不重复地包含相同的边）
2.3 连通分支
图G的连通分支是G的连通子图，且该子图不是图G的另一个连通子图的真子图。
💙连通子图 指的是图H的一个子图H1，且该子图H1是连通的
图G的连通分支是G的一个极大连通子图。图G的连通分支数记作W(G)。
不连通的图G具有2个或2个以上不相交的连通子图，并且G是这些连通子图的并。
例题：
图三中H的连通分支是什么？
🔴解：图三中，图H是三个不相交的连通子图H1、H2、H3的并(∪) 。这三个子图就是H的连通分支
3. 图是如何连通的
3.1 割点（= 关节点）
点割集定义： 设无向图G =（V, E）为连通图，若有点集 V1 ⊂ V，使图G删除了 V1 的所有结点后，所得的子图是不连通图，而删除了 V1 的任何真子集后，所得到的子图仍是连通图，则称 V1 是G的一个点割集。
割点定义： 若某一个结点构成一个点割集，则称该结点为割点（关节点）。
3.2 割边（= 桥）
边割集定义： 设无向图 G =（V, E）为连通图，若有边集 E1⊂E，使图G删除了E1的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了E1的任一真子集后，所得到的子图仍是连通图，则称E1是G的一个边割集。
割边定义： 若某一个边构成一个边割集，则称该边为割边 (桥)。
3.3 不可分割图
不可分割图定义： 不含割点的连通图称为不可分割图。
不可分割图比有割点的连通图具有更好的连通性
3.4 𝑘(𝐺)
除完全图以外，每一个连通图都有一个点割集！
我们定义非完全图的点连通度为点割集中最小的顶点数，记作：𝑘(𝐺)
-
即：至少在连通图中删去𝑘(𝐺)个点使其不连通！
-
另外，
𝑘(𝐺)越大，我们认为G的连通性越好。不连通的图和K
1
(只有一个顶点的完全图)，有 𝑘(𝐺) = 0；含有点割集的连通图和K 2 , 𝑘(𝐺) = 2
3.5 𝑘连通的
若𝑘(𝐺) ≥ m，我们称图为m连通的（或是：m顶点-连通的）
3.6 𝑘(𝐺) ≤ λ(𝐺) ≤ δ(𝐺)
-
δ(G)=min {deg(v) | v ϵ V }，
- 连通度 𝑘(𝐺) 是为了产生一个不连通图需要删去的点的最少数目。于是一个不连通图的连通度等于0. 例如， 𝑘(K𝑝)=p-1。
定义 λ(𝐺)=𝑚𝑖𝑛{ |E1| | E1是G的边割集} 为G的边连通度。边连通度是为了产生一个不连通图需要删去的边的最少数目文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-470122.html
定理：对于任何一个图G，有 𝑘(𝐺) ≤ λ(𝐺) ≤ δ(𝐺)文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-470122.html
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