非线性和色散
1.线性非色散波
最简单的波的典型例子就是声波和电磁波，它们可以用下面的方程描述：
(
∂
2
∂
t
2
−
v
0
2
∂
2
∂
x
2
)
f
(
x
,
t
)
=
0
(1.1)
\ (\frac{\partial^2}{\partial t^2}-v_0^2\frac{\partial^2}{\partial x^2})f(x,t)=0 \,\tag{1.1}
(∂t2∂2−v02∂x2∂2)f(x,t)=0(1.1)
其中，
v
0
v_0
v0是表示波速的常数。由于这个方程可以形式地分解为
(
∂
∂
t
−
v
0
∂
∂
x
)
(
∂
∂
t
+
v
0
∂
∂
x
)
f
(
x
,
t
)
=
0
\ (\frac{\partial}{\partial t}-v_0\frac{\partial}{\partial x})(\frac{\partial}{\partial t}+v_0\frac{\partial}{\partial x})f(x,t)=0 \,
(∂t∂−v0∂x∂)(∂t∂+v0∂x∂)f(x,t)=0
让我们考虑一种更简单的情形
(
∂
∂
t
+
v
0
∂
∂
x
)
f
(
x
,
t
)
=
0
(1.2)
\ (\frac{\partial}{\partial t}+v_0\frac{\partial}{\partial x})f(x,t)=0 \,\tag{1.2}
(∂t∂+v0∂x∂)f(x,t)=0(1.2)
方程（1.2）的解是方程（1.1）的右行波解
f
(
x
,
t
)
=
f
(
x
−
v
0
t
)
\ f(x,t)=f(x-v_0t) \,
f(x,t)=f(x−v0t)
假设这个波是周期的，则有最基本的平面波解
f
(
x
,
t
)
=
e
x
p
[
i
]
(
ω
t
−
k
x
)
\ f(x,t)=exp[i](\omega t-kx) \,
f(x,t)=exp[i](ωt−kx)
上式中角频率
ω
\omega
ω和波数k的关系
ω
=
v
0
k
\omega=v_0k
ω=v0k称为色散关系，这里它是线性的，常数
v
0
v_0
v0表示波的相速度。
具有线性色散关系的波称为非色散波，这种波的特征是具有不同波数k的平面波叠加产生的初始脉冲波不改变形状。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-470250.html
2.线性色散波
作为最简单的例子，考虑波动方程
(
∂
∂
t
+
v
0
∂
∂
x
+
δ
∂
3
∂
x
3
)
f
(
x
,
t
)
=
0
(1.3)
\ (\frac{\partial}{\partial t}+v_0\frac{\partial}{\partial x}+\delta\frac{\partial^3}{\partial x^3})f(x,t)=0 \,\tag{1.3}
(∂t∂+v0∂x∂+δ∂x3∂3)f(x,t)=0(1.3)
假设它有平面波解
f
(
x
,
t
)
∝
e
x
p
[
i
(
ω
t
−
k
x
)
]
f(x,t)\propto exp[i(\omega t-kx)]
f(x,t)∝exp[i(ωt−kx)]
那么色散关系可以写为
ω
=
v
0
k
−
δ
k
3
\omega = v_0k-\delta k^3
ω=v0k−δk3文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-470250.html
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