高等数学(预备知识之反函数)-Toy模板网

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一.反三角函数

1.1反正弦函数

正弦函数 $y=\sin x$ $\quad$ ( $x\in[-\frac{π}{2},\frac{π}{2}]$ )的反函数叫反正弦函数
记作 $y=\arcsin x$ , ( $x\in[-1,1]$ , $y\in[-\frac{π}{2},\frac{π}{2}]$ )
或 $y=\sin$ ^-1 $x$

注意区分: $(\sin x)$ ^-1= $\frac{1}{\sin x}$ $\quad$ $\sin$ ^-1 $x$ = $\arcsin x$

高等数学(预备知识之反函数)

当 $x\in[-1,1]$ 时, $\quad$ $\arcsin(-x)=-\arcsin x$
当 $x\in[-\frac{π}{2},\frac{π}{2}]$ 时, $\quad$ $\arcsin(\sin x)=x$
当 $x\in[-1,1]$ 时, $\quad$ $\quad$ $\sin(\arcsin x)=x$

$\quad$
$\quad$

1.2反余弦函数

正弦函数 $y=\cos x$ $\quad$ ( $x\in[0,π]$ )的反函数叫反余弦函数
记作 $y=\arccos x$ , ( $x\in[-1,1]$ , $y\in[0,π]$ )
或 $y=\cos$ ^-1 $x$

高等数学(预备知识之反函数)
反余弦函数是严格单调递减, 有界的非奇非偶函数, 它的图像关于点(0, $\frac{π}{2}$ )中心对称, 所以 $y_1$ + $y_2$ = π

当 $x\in[-1,1]$ 时, $\quad$ $\cos$ ^-1(-x) $=π-\cos$ ^-1x
当 $x\in[0,π]$ 时, $\quad$ $\cos$ ^-1 $(\cos x)=x$
当 $x\in[-1,1]$ 时, $\quad$ $\cos$ ( $\cos$ ^-1 $x$ ) $= x$
当 $x\in[-1,1]$ 时, $\quad$ $\sin$ ( $\cos$ ^-1 $x$ ) = $\sqrt{1-x^2}$

最后一个公式的证明过程
令 y= $\cos$ ^-1 $x$ $\quad$ $x\in[0,π]$
$\sin$ ( $\cos$ ^-1 $x$ ) = $\sin y$ = $\sqrt{1-\cos^2y}$ = $\sqrt{1-x^2}$

$\quad$
$\quad$

1.3反正切函数

正切函数 $y=\tan x$ $\quad$ ( $x\in[-\frac{π}{2},\frac{π}{2}]$ )的反函数叫反正切函数
记作 $y=\arctan x$ , ( $x\in R$ , $y\in[-\frac{π}{2},\frac{π}{2}]$ )
或 $y=\tan$ ^-1 $x$

高等数学(预备知识之反函数)

当 $x\in(-\infty,\infty)$ 时, $\quad$ $\arctan(-x)=-\arctan x$
当 $x\in(-\frac{π}{2},\frac{π}{2})$ 时, $\quad$ $\arctan(\tan x)=x$
当 $x\in(-\infty,\infty)$ 时, $\quad$ $\tan(\arctan x)=x$

$\quad$
$\quad$

1.4反余切函数

余切函数 $y=\cot x$ $\quad$ ( $x\in[0,π]$ )的反函数叫反余切函数
记作 $y=\cot$ ^-1x, ( $x\in R$ , $y\in[0,π]$ )
高等数学(预备知识之反函数)

当 $x\in(-\infty,\infty)$ 时, $\quad$ $\cot$ ^-1(-x) = π- $\cot$ ^-1x
当 $x\in(0,π)$ 时, $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\cot$ ^-1( $\cot x$ ) = $x$
当 $x\in(-\infty,\infty)$ 时, $\quad$ $\cot$ ( $\cot$ ^-1 $x$ ) = $x$
当 $x\in(-\infty,0)$ $\cup$ (0, $\infty$ )时, $\quad$ $\tan(\cot$ ^-1 $x$ ) = $\frac{1}{x}$ , $\quad$ $\cot(\tan$ ^-1 $x$ ) = $\frac{1}{x}$
当 $x\in(-\infty,\infty)$ 时, $\quad$ $\tan$ ^-1 $x$ + $\cot$ ^-1 $x$ = $\frac{π}{2}$

补充
$\tan$ ^-1 $x$ + $\cot$ ^-1 $x$ = $\frac{π}{2}$
$\sin$ ^-1 $x$ + $\cos$ ^-1 $x$ = $\frac{π}{2}$

$\quad$
$\quad$

二.反函数

原函数 $\quad$ 对应 $\quad$ 反函数
y=f(x) $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ y=f^-1(x)
x $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ y
y $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ x
定义域 $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ 值域
值域 $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ 定义域

图像关于y=x轴对称,原函数与反函数单调性同增同减

求解反函数的方法
(1)把y当作常数, 将函数看作是一个方程, 求出变量x
(2)把x和y对调

$\quad$
$\quad$
例题1:

(1) $\arcsin(-1)$
$\because$ -1 $\in$ [-1,1]
$\sin(-\frac{π}{2})$ =-1
$\therefore$ $\arcsin(-1)$ = $-\frac{π}{2}$

(2) $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$
$\because$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\in$ [-1,1]
$\sin(-\frac{π}{3})$ = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\therefore$ $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ = $-\frac{π}{3}$

(3) $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$
$\because$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\in$ [-1,1]
$\cos(\frac{π}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\therefore$ $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$ = $\frac{π}{4}$

(4) $\arccos0$
$\because$ 0 $\in$ [-1,1]
$\cos(\frac{π}{2})=0$
$\therefore$ $\arccos(0)$ = $\frac{π}{2}$

(5) $\arctan\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\because$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\in$ $(-\infty,\infty)$
$\tan\frac{π}{6}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\therefore$ $\arctan\frac{\sqrt{3}}{3}$ = $\frac{π}{6}$

$\quad$
$\quad$
例题2:
(1) $\sin[\arcsin(-\frac{1}{2})]$
$-\frac{1}{2}$

(2) $\arccos(\cos\frac{11π}{6})$
$\cos\frac{11π}{6}$ = $\cos(-\frac{π}{6})$ = $\cos(\frac{π}{6})$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\therefore$ $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$ = $\frac{π}{6}$

$\quad$
$\quad$
例题3: 求下列函数的反函数
方法: 先求出自变量为y的方程, 再把x和y互换

(1) $y=\frac{x-1}{x+1}$
=> $y (x + 1) = x - 1$
=> $y x + y = x - 1$
=> $y x - x = - y - 1$
=> $x (y - 1) = - y - 1$
=> $x=\frac{-y-1}{y-1}$ 整理(上下同乘-1)
=> $x=\frac{1+y}{1-y}$
=> $y=\frac{1+x}{1-x}$

(2) $y = e$ ^2x
=> $\ln y=2x$
=> $x=\frac{\ln y}{2}$
=> $y=\frac{\ln x}{2}$

(3) $y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$
=> $e^y=x+\sqrt{x^2+1}$
=> $e^y-x=\sqrt{x^2+1}$
=> e^2y+ $x^2-2xe^y=x^2+1$
=> e^2y $2xe^y=1$
=> $e^y(e^y-2x)=1$
=> $e^y-2x=\frac{1}{e^y}$
=> $x=\frac{e^y-\frac{1}{e^y}}{2}$