有时候,你会遇到一个问题,该问题的描述如下:
你有一个已知体积的容器,设容器体积为,里面装有一定压力(初始压力)的气体,如空气或氢气等,设初始压力为,容器出口连接着一个阀门开关,开关后面接直径为的钢管,钢管出口为一个大气压。当阀门瞬间全开时,气体出口的瞬时流量值随时间变化到底是怎么样的呢?
该问题相当于已知气体管道直径,即已知管道横截面积,已知气体管道两端的气压差,同时知道进口气体总温为323K,求出口瞬时质量流量或瞬时体积流量随时间的变化关系和曲线,其中是气体密度,为出口气体流速,即为气体流过管道的横截面积。
1. 第一种方法:根据哈根泊谡叶方程
利用理想气体方程:(假设放气是等温过程,)和哈根泊谡叶关系式:,表示的是体积流量,单位为,是管子的半径,是流体的动力黏度,单位是,是管子的长度,压强的单位为。两个方程联立,
,考虑等温过程,有,也就是说,的变化仅与容器内压力的变化有关。进一步,根据,假设密度不变,有:,积分后得到:,有,利用该关系式,得到随时间的关系如下图所示,为一指数函数形式,而且可以通过积分,得到积分总流量为,根据,可见积分与差分得出的总流量非常接近。
若气体密度不是常数,则根据,有,进一步有:
,进一步积分,得到,得到的曲线如下图所示。
通过数值计算,时间小量取,得到的质量流量曲线如下图,积分得到总流过的质量为,与有差异,这是因为时间小量不够小导致的,当你取时,积分得到总流过的质量为,此时就已经与非常接近了。
以密度不变的解法为例,一开始的瞬时流量值非常离谱,可以去到,根据,可以知道出口流体平均速度,光速是,出口速度已经达到倍的光速,也超过空气声速,妥妥是一个超音速流,而且放气过程时间非常短,不超过。经过大量的资料查询,该结果似乎与实际测试不符。
附:关于哈根泊谡叶关系式的推导,见下图。
2. 第二种方法:根据气体动力学推算
为什么第一种方法就不符合实际呢?前人发现,收缩的出口在气流流速加速到马赫数1时,即时,气体流速达到上限。
假设排气过程与气体管道壁面的换热忽略不计,即壁面是绝热的,气体流体是一个准稳态问题,排气口相当于是收缩,没有扩张,根据气体动力学可知,出口气体流速只能加速到1马赫数,即。根据总静温关系式,得知。再根据马赫数定义式,这里是气体比热容比,定义为定压比热与定容比热之比,变换后有,,,比气体常数为:,得到氢气气体流速。
根据,,,,,,为一个大气压。在的壅塞流阶段,可解得。这阶段,理解为流速不变,变化导致的变化,瞬时质量流量也会随之变化,但体积流量不变。如下图所示,绿色曲线是瞬时流量,紫色曲线是体积流量,绿色部分面积是积分得到的总质量流量,通过积分得到壅塞流下的总质量流量为,换算成密度为的体积流量为。
后面非壅塞流状态下的亚声速流,原则上也是利用,,,,,这5个式子得到的关系,我用欧拉法获得解析解的近似值,得到后续的流量曲线,具体步骤是,知道压力初始条件,初始瞬时流量为,也就是等于壅塞流状态下最后一刻时间的流量,然后利用瞬时流量乘以时间小量,得到,再利用关系式,得到的变化量,然后计算马赫数、速度,温度等参数,不断进行迭代计算,当时结束迭代。如下图中绿色的质量流量曲线和紫色的体积流量曲线,通过积分面积算得亚声速流下总质量流量为,换算成密度为的体积流量为,因此放氢整个过程总质量流量为,与算出来的基本一致。整个过程的总体积流量为。
3. 第三种方法:绝热小孔自由放气模型
根据伯努利方程得到气体的能量方程,根据能量守恒定律,将上述方程应用于小孔,得到小孔上游和下游状态参数的关系:,容腔内气体近似保持静止,即小孔上游速度。根据焓值的定义,上式可变为,其中为气体的恒压热容,为上游热力学温度,为下游热力学温度。
由于气流流经小孔时,与管壁接触面小,流动快,可近似认为气体流动过程是绝热过程。将绝热方程式,,,是比热容比,是定压热容,是定容热容,以及将代入方程,可得,根据理想气体方程式,可得到以下关系:
,因此可进一步得到:
根据质量流量的定义,有,这里由于计算的是小孔的气体流速,因此密度,速度即为,为气体流过小孔管的横截面积。将绝热关系式,和代入质量流量定义式,首先有,,因此有,所以有,化简有:
,其中,气体常数,是气体的摩尔质量。如空气的气体常数。
,定义流量函数,则有:,将看成自变量,是因变量,研究 随的变化曲线,有以下图形关系:
通过对进行求导,令,,,
当,,进一步,选取,可以计算得到此时。将代入,可化简为:,。
根据《气动系统的基础与计算特性》一书所述,雷诺首先对上述 时,获得极值的物理现象,解释为:当马赫数等于1的状态时,气流处于声速,下游的气流信息不能向上传递,上游的气流状态不随下游压力的变化而变化,许多学者称该现象为壅塞状态。被称为临界压力比,小于此值时,流量达到饱和,也可称为声速流。因此有如下式子,其图形如下图红实线所示。
工程上,经常用来代替,曲线如下图的蓝色虚线所示,从图形上看,两者曲线基本吻合,且当时,,因此。两者曲线如下图所示,两者最大误差为3%。
这样得到小孔的一维等熵流动的质量流量的近似公式:
,。
由于,可得,当和恒定时,有:
,有
,时,移项得,积分得,
也就是说,壅塞状态下(声速流)质量流量曲线是指数形式下降的。亚声速流下的质量流量计算则比较复杂,根据状态方程的微分形式,并按绝热过程处理,有以下公式:
,其中将质量流量公式代入,使用差分形式,取时间微小量为,取,,取,,,并进行数值计算,得到的质量流量曲线初看真的很像一条直线,但细看还是有点往上凸的。数值计算结果表明,亚声速流时间约为0.0287s,气体从初始323K降低至最后的269.17K。
若按简化后公式,这里,所以有,根据此式计算质量流量,同样进行数值计算,亚声速流时间约为0.0361s,气体从初始323K降低至最后的257.32K。两者曲线偏差还不小。
下面是压力、温度、压力比、质量流量随时间的变化曲线,该图计算过程如下,先知道初始各状态,如初始压力,初始温度,初始压力比。用流量公式,计算当前时刻的质量流量,将乘以时间小量,得到,再用理想气体方程计算出,取当前时刻温度。由于这里当成是绝热放气过程,因此容器内气体温度也会变化,按公式的差分形式,将上述计算好的,当前温度,当前压力,代入后获得温度变化量,放气是对外界做功,因此气体温度下降。用当前压力减去,获得下一时刻压力;同理,获得下一刻温度。这样,壅塞(声速)状态下,各物理量的曲线就出来了。当压力比时,变为亚声速流,此式流量公式变为,按同样的数值计算方法,获得亚声速流下的各物理量随时间的变化曲线。
从曲线可以看出,压力曲线是类似指数型下降的,温度指数型下降,压力比有点类似S型曲线,质量流量在声速阶段是一下凹的曲线,亚声速是上凸的曲线,图中中间连接点不太连续的情况是因为数值计算中,受时间小量的限制,计算到临界压力比时,并不会恰好等于0.5283,压力变化会有个台阶,显得不是那么“连续”。
另外,整个放气过程时间为,对质量流量曲线进行积分,可以知道总流过的质量为,即,与算出来的还是一样。
当然,压力差也可以完全用绝热公式 计算,得到的曲线如下图,好像更丝滑一些,整个放气过程时间为,积分算出总流过的质量仍为,即。
这是《气动系统的基础特性与计算》一书中的“容腔充放气”的曲线图, 其中各物理量进行了无量纲化(无因次响应)。从图中可以看出,流量曲线和压力曲线跟上述推导和计算过程基本类似,唯一区别是,温度曲线它是会回升的,这是因为书本中考虑了放气过程与外界换热的过程,不是单纯的绝热条件。
具体更可靠的计算,请读者参考GB/T 14513.3-2020中的方法。
4、结束语
假如你能阅读到这里,说明你对该问题有着同样的困惑和思考,希望这篇文章对你有所帮助。当然,这也仅仅是我个人对书本和网上所能搜到资料进行整理、推导,并加上自己的理解,难免会有错漏之处,如果你认为该文章有错误的地方,欢迎各位大佬后台私信交流。文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-470811.html
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