状态转移矩阵计算方法及其离散化转换（含举例）

1. 何为状态转移矩阵

一般地，对于一个线性定常系统，可以写成如下的柯西标准型形式
$$\{\begin{array}{l}\dot{x}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)\\ y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)\end{array}$$其中$x(t),u(t),y(t)$分别为系统状态和、系统输入控制量和输出量，为向量。该方程组的解为
$$x(t)=e^{At}{x}_0=\left(I+At+\frac{A^2{t}^2}{2!}+\cdots \right)x_0=\Phi (t)x_0\text{\hspace{1em}(1)}$$其中$I$为单位矩阵。
式(1)中的$\Phi (t)$即为状态转移矩阵。

2. 状态转移矩阵计算举例

从式(1)可以看出，状态转移矩阵$\Phi (t)=e^{At}$虽然具有指数形式，但由于$A$是矩阵，因而其计算并不是简单地将$A$中所有元素变为$e$的指数就行的。相反，其计算需要具有式(1)的形式：
$$\Phi (t)=e^{At}=I+At+\frac{A^2{t}^2}{2!}+\frac{A^3{t}^3}{3!}+\cdots +\frac{A^i{t}^i}{i!}+\cdots \text{\hspace{1em}(2)}$$以下列传递函数为例，进行状态转移矩阵的计算。
例：$$W(s)=\frac{s+1}{s^2+12s+32}$$可以写出其对应的状态空间形式：$$A=\left[\begin{array}{cc}-12& -32\\ 1& 0\end{array}\right],$$$$B=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],$$$$C=\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right],$$$$D=0,$$则
$$A^2=\left[\begin{array}{cc}112& 384\\ -12& -32\end{array}\right],A^3=\left[\begin{array}{cc}-960& -3584\\ 112& 384\end{array}\right],\cdots$$代入式(2)有
$$\begin{array}{rl}\Phi (t)& =e^{At}=I+At+\frac{A^2{t}^2}{2!}+\frac{A^3{t}^3}{3!}+\cdots +\frac{A^i{t}^i}{i!}+\cdots \\ & =\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}-12& -32\\ 1& 0\end{array}\right]t+\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}112& 384\\ -12& -32\end{array}\right]t^2+\frac{1}{6}\left[\begin{array}{cc}-960& -3584\\ 112& 384\end{array}\right]t^3+\cdots \\ & =\left[\begin{array}{cc}1-12t+56t^2-160t^3+\cdots & -32t+192t^2-\frac{1792}{3}{t}^3+\cdots \\ t-6t^2+\frac{56}{3}{t}^3+\cdots & 1-16t^2+64t^3+\cdots \end{array}\right]\end{array}$$

3. 离散系统的状态方程

对于离散系统
$$\{\begin{array}{l}x(k+1)=A_d(k)x(k)+B_d(k)u(k)\\ y(k)=C_d(k)x(k)+D_d(k)u(k)\end{array}$$其中$k$指量化后的第$k$时刻，即：若离散化的每个时间单位为$T_0$，则$x(k+1)$即指在$(k+1)T_0$时刻下的状态量。
在离散化的系统下，矩阵$A_d,B_d,C_d,D_d$与原连续系统下的$A,B,C,D$具有如下转换关系：
$$A_d=\Phi \left(T_0\right)=e^{A{T}_0},B_d={\int }_0^{T_0}\Phi (q)Bdq,C_d=C,D_d=D\text{\hspace{1em}(3)}$$

4. 离散系统的状态方程计算举例

仍以如下连续系统传递函数为例：
$$W(s)=\frac{s+1}{s^2+12s+32}$$设量化时间单位为$T_0=0.01s$。连续系统下的矩阵$A,B,C,D$为$$A=\left[\begin{array}{cc}-12& -32\\ 1& 0\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right],D=0,$$则 A d = Φ ( T 0 ) = e A T 0 = I + A T 0 + A 2 T 0 2 2 ! + A 3 T 0 3 3 ! + ⋯ = [ 1 0 0 1 ] + [ − 12 − 32 1 0 ] T 0 + 1 2 [ 112 384 − 12 − 32 ] T 0 2 + 1 6 [ − 960 − 3584 112 384 ] T 0 3 + ⋯ = [ 1 − 12 T 0 + 56 T 0 2 − 160 T 0 3 + ⋯ − 32 T 0 + 192 T 0 2 − 1792 2 T 0 3 + ⋯ T 0 − 6 T 0 2 + 56 3 T 0 3 + ⋯ 1 − 16 T 0 2 + 64 T 0 3 + ⋯ ] ∣ T 0 = 0.01 ≈ [ 0.8854 − 0.3014 0.0094 0.9985 ] \begin{aligned} A_d &= \Phi \left( T_0 \right) = e^{A T_0} \\ &= I + AT_0 + \frac{A^2 T_0^2}{2!} + \frac{A^3 T_0^3}{3!} + \cdots \\ &= \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} -12 & -32 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] T_0 + \frac{1}{2} \left[ \begin{matrix} 112 & 384 \\ -12 & -32 \end{matrix} \right] T_0^2 + \frac{1}{6} \left[ \begin{matrix} -960 & -3584 \\ 112 & 384 \end{matrix} \right] T_0^3 + \cdots \\ &= \left[ \begin{matrix} 1-12T_0 + 56T_0^2 - 160T_0^3 + \cdots & -32T_0 + 192T_0^2 - \frac{1792}{2} T_0^3 + \cdots \\ T_0 - 6T_0^2 + \frac{56}{3} T_0^3 + \cdots & 1 - 16T_0^2 + 64T_0^3 + \cdots \end{matrix} \right] \Bigg\rvert _{T_0 = 0.01} \\ &\approx \left[ \begin{matrix} 0.8854 & -0.3014 \\ 0.0094 & 0.9985 \end{matrix} \right] \end{aligned} Ad​​=Φ(T0​)=eAT0​=I+AT0​+2!A2T02​​+3!A3T03​​+⋯=[10​01​]+[−121​−320​]T0​+21​[112−12​384−32​]T02​+61​[−960112​−3584384​]T03​+⋯=[1−12T0​+56T02​−160T03​+⋯T0​−6T02​+356​T03​+⋯​−32T0​+192T02​−21792​T03​+⋯1−16T02​+64T03​+⋯​] ​T0​=0.01​≈[0.88540.0094​−0.30140.9985​]​同时 B d = ∫ 0 T 0 Φ ( q ) B d q = ∫ 0 T 0 e A q B d q = ∫ 0 T 0 ( I + A q + A 2 q 2 2 ! + A 3 q 3 3 ! + ⋯   ) B d q = ∫ 0 T 0 B d q + ∫ 0 T 0 A B q d q + 1 2 ∫ 0 T 0 A 2 B q 2 d q + 1 6 ∫ 0 T 0 A 3 B q 3 d q + ⋯ = ∫ 0 T 0 B d q + ∫ 0 T 0 A B q d q + 1 2 ∫ 0 T 0 A 2 B q 2 d q + 1 6 ∫ 0 T 0 A 3 B q 3 d q + ⋯ = B q ∣ 0 T 0 + A B ⋅ 1 2 q 2 ∣ 0 T 0 + 1 2 A 2 B ⋅ 1 3 q 3 ∣ 0 T 0 + 1 6 A 3 B ⋅ 1 4 q 4 ∣ 0 T 0 + ⋯ = B T 0 + 1 2 A B T 0 2 + 1 6 A 2 B T 0 3 + 1 24 A 3 B T 0 4 + ⋯ (4) \begin{aligned} B_d &= \int _0 ^{T_0} \Phi (q) B dq = \int _0 ^{T_0} e^{Aq} B dq \\ &= \int _0 ^{T_0} \left( I + Aq + \frac{A^2 q^2}{2!} + \frac{A^3 q^3}{3!} + \cdots \right) B dq \\ &= \int _0 ^{T_0} B dq + \int _0 ^{T_0} AB q dq + \frac{1}{2} \int _0 ^{T_0} A^2 B q^2 dq + \frac{1}{6} \int _0 ^{T_0} A^3 B q^3 dq + \cdots \\ &= \int _0 ^{T_0} B dq + \int _0 ^{T_0} AB q dq + \frac{1}{2} \int _0 ^{T_0} A^2 B q^2 dq + \frac{1}{6} \int _0 ^{T_0} A^3 B q^3 dq + \cdots \\ &= B q \Big\rvert_0^{T_0} + AB \cdot \frac{1}{2} q^2 \bigg\rvert_0^{T_0} + \frac{1}{2} A^2B \cdot \frac{1}{3} q^3 \bigg\rvert_0^{T_0} + \frac{1}{6} A^3B \cdot \frac{1}{4} q^4 \bigg\rvert_0^{T_0} + \cdots \\ &= B T_0 + \frac{1}{2} AB T_0^2 + \frac{1}{6} A^2 B T_0^3+ \frac{1}{24} A^3 B T_0^4 + \cdots \tag{4} \end{aligned} Bd​​=∫0T0​​Φ(q)Bdq=∫0T0​​eAqBdq=∫0T0​​(I+Aq+2!A2q2​+3!A3q3​+⋯)Bdq=∫0T0​​Bdq+∫0T0​​ABqdq+21​∫0T0​​A2Bq2dq+61​∫0T0​​A3Bq3dq+⋯=∫0T0​​Bdq+∫0T0​​ABqdq+21​∫0T0​​A2Bq2dq+61​∫0T0​​A3Bq3dq+⋯=Bq ​0T0​​+AB⋅21​q2 ​0T0​​+21​A2B⋅31​q3 ​0T0​​+61​A3B⋅41​q4 ​0T0​​+⋯=BT0​+21​ABT02​+61​A2BT03​+241​A3BT04​+⋯​(4)下面计算$AB,A^{2}B,A^{3}B$。由于$$A=\left[\begin{array}{cc}-12& -32\\ 1& 0\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$$故$$AB=\left[\begin{array}{c}-12\\ 1\end{array}\right],A^{2}B=\left[\begin{array}{c}112\\ -12\end{array}\right],A^{3}B=\left[\begin{array}{c}-960\\ 112\end{array}\right]$$则式(4)为
B d = B T 0 + 1 2 A B T 0 2 + 1 6 A 2 B T 0 3 + 1 24 A 3 B T 0 4 + ⋯ = [ 1 0 ] T 0 + 1 2 [ − 12 1 ] T 0 2 + 1 6 [ 112 − 12 ] T 0 3 + 1 24 [ − 960 112 ] T 0 4 ∣ T 0 = 0.01 = [ 0.00942 4.8047 × 1 0 − 5 ] \begin{aligned} B_d &= B T_0 + \frac{1}{2} AB T_0^2 + \frac{1}{6} A^2 B T_0^3+ \frac{1}{24} A^3 B T_0^4 + \cdots \\ &= \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right] T_0 + \frac{1}{2} \left[ \begin{matrix} -12 \\ 1 \end{matrix} \right] T_0^2 + \frac{1}{6} \left[ \begin{matrix} 112 \\ -12 \end{matrix} \right] T_0^3 + \frac{1}{24} \left[ \begin{matrix} -960 \\ 112 \end{matrix} \right] T_0^4 \Bigg\rvert_{T_0 = 0.01} \\ &= \left[ \begin{matrix} 0.00942 \\ 4.8047\times 10^{-5} \end{matrix} \right] \end{aligned} Bd​​=BT0​+21​ABT02​+61​A2BT03​+241​A3BT04​+⋯=[10​]T0​+21​[−121​]T02​+61​[112−12​]T03​+241​[−960112​]T04​ ​T0​=0.01​=[0.009424.8047×10−5​]​进一步地，$$C_d=C=\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right],D_d=D=0$$文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-472358.html

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