背景
最近在总结电磁场计算公式的时候发现，关于磁偶极子受力的计算公式，在不同文献中的说明有点出入，在此特地写一篇博客澄清一下。
受力推导
通过磁偶极子在外磁场中的磁势能求梯度得出其受力：
F
=
−
∇
(
U
)
=
−
∇
(
−
m
⋅
B
)
=
m
×
(
∇
×
B
)
+
(
m
⋅
∇
)
B
\begin{align*} F &= -\nabla(U) \\ &= -\nabla(-m \cdot B) \\ &= m \times (\nabla \times B) + (m \cdot \nabla)B \end{align*}
F=−∇(U)=−∇(−m⋅B)=m×(∇×B)+(m⋅∇)B
在计算的区域内（磁偶极子所在的微小空间）内可认为无外电流，即
∇
×
B
=
0
\nabla \times B=0
∇×B=0，故有：
F
=
(
m
⋅
∇
)
B
(1)
F=(m \cdot \nabla)B \tag{1}
F=(m⋅∇)B(1)
以上是标准的计算公式，很多教材中也是这样写的。而有的文献中直接描述为 F F F等于磁矩 m m m与磁场梯度 ∇ B \nabla B ∇B相乘—— F = m ⋅ ∇ B F=m \cdot \nabla B F=m⋅∇B，这是不对的。
矢量展开
式(1)右侧是磁矩
m
m
m右点乘梯度算子
∇
\nabla
∇，再对磁感应强度
B
B
B求梯度，展开为:
F
=
(
m
x
⋅
∂
∂
x
+
m
y
⋅
∂
∂
y
+
m
z
⋅
∂
∂
z
)
B
=
[
m
x
∂
B
x
∂
x
+
m
y
∂
B
x
∂
y
+
m
z
∂
B
x
∂
z
m
x
∂
B
y
∂
x
+
m
y
∂
B
y
∂
y
+
m
z
∂
B
y
∂
z
m
x
∂
B
z
∂
x
+
m
y
∂
B
z
∂
y
+
m
z
∂
B
z
∂
z
]
=
[
∂
B
x
∂
x
∂
B
x
∂
y
∂
B
x
∂
z
∂
B
y
∂
x
∂
B
y
∂
y
∂
B
y
∂
z
∂
B
z
∂
x
∂
B
z
∂
y
∂
B
z
∂
z
]
[
m
x
m
y
m
z
]
=
J
(
B
)
m
\begin{align*} F &=(m_x \cdot \frac{ \partial}{ \partial x } + m_y \cdot \frac{ \partial}{ \partial y } +m_z \cdot \frac{ \partial}{ \partial z } )B \\ &= \begin{bmatrix} m_x \frac{ \partial B_x }{ \partial x } + m_y \frac{ \partial B_x }{ \partial y } + m_z \frac{ \partial B_x }{ \partial z } \\ m_x \frac{ \partial B_y }{ \partial x } + m_y \frac{ \partial B_y }{ \partial y } + m_z \frac{ \partial B_y }{ \partial z } \\ m_x \frac{ \partial B_z }{ \partial x } + m_y \frac{ \partial B_z }{ \partial y } + m_z \frac{ \partial B_z }{ \partial z } \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} \frac{ \partial B_x }{ \partial x } & \frac{ \partial B_x }{ \partial y } &\frac{ \partial B_x }{ \partial z } \\ \frac{ \partial B_y }{ \partial x } & \frac{ \partial B_y }{ \partial y } & \frac{ \partial B_y }{ \partial z } \\ \frac{ \partial B_z }{ \partial x } & \frac{ \partial B_z }{ \partial y } & \frac{ \partial B_z }{ \partial z } \end{bmatrix} \begin{bmatrix} m_x \\ m_y \\ m_z \end{bmatrix} \\ &= J(B) m \end{align*}
F=(mx⋅∂x∂+my⋅∂y∂+mz⋅∂z∂)B=
mx∂x∂Bx+my∂y∂Bx+mz∂z∂Bxmx∂x∂By+my∂y∂By+mz∂z∂Bymx∂x∂Bz+my∂y∂Bz+mz∂z∂Bz
=
∂x∂Bx∂x∂By∂x∂Bz∂y∂Bx∂y∂By∂y∂Bz∂z∂Bx∂z∂By∂z∂Bz
mxmymz
=J(B)m
上式中，
J
(
B
)
J(B)
J(B)为磁场的雅可比矩阵，仔细观察，它与磁场的梯度区别如下，根据向量的梯度的定义(数值计算之 梯度向量和梯度矩阵，雅可比矩阵，海森矩阵)，有：
∇
B
=
[
∂
B
x
∂
x
∂
B
y
∂
x
∂
B
z
∂
x
∂
B
x
∂
y
∂
B
y
∂
y
∂
B
z
∂
y
∂
B
x
∂
z
∂
B
y
∂
z
∂
B
z
∂
z
]
\nabla B= \begin{bmatrix} \frac{ \partial B_x }{ \partial x } & \frac{ \partial B_y }{ \partial x } &\frac{ \partial B_z }{ \partial x } \\ \frac{ \partial B_x }{ \partial y } & \frac{ \partial B_y }{ \partial y } & \frac{ \partial B_z }{ \partial y } \\ \frac{ \partial B_x }{ \partial z } & \frac{ \partial B_y }{ \partial z } & \frac{ \partial B_z }{ \partial z } \end{bmatrix}
∇B=
∂x∂Bx∂y∂Bx∂z∂Bx∂x∂By∂y∂By∂z∂By∂x∂Bz∂y∂Bz∂z∂Bz
即有：
∇
B
⊤
=
J
(
B
)
{\nabla B}^\top=J(B)
∇B⊤=J(B)文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-472915.html
结论
根据以上推导，拟清楚了B的雅可比矩阵和梯度矩阵之间的区别，就可以把磁偶极子的受力写成如下简洁的表达式：
F
=
(
m
⋅
∇
)
B
=
J
(
B
)
m
=
∇
B
⊤
m
=
∇
B
⋅
m
F=(m \cdot \nabla)B=J(B)m={\nabla B}^\top m={\nabla B} \cdot m
F=(m⋅∇)B=J(B)m=∇B⊤m=∇B⋅m文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-472915.html
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