武忠祥老师每日一题||定积分基础训练(六)

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∫ 0 π 1 − sin ⁡ x   d x \int _{0}^{\pi}\sqrt{1-\sin x}\,{\rm d}x 0π1sinx dx

这个题关键在于如何处理根号。若根号内能写成完全平方的形式,是再好不过了。

1 − sin ⁡ x 1-\sin x 1sinx
= sin ⁡ 2 x 2 + cos ⁡ 2 x 2 − 2 sin ⁡ x 2 cos ⁡ x 2 =\sin^2{\frac{x}{2}}+\cos^2{\frac{x}{2}}-2\sin {\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}} =sin22x+cos22x2sin2xcos2x
= ( sin ⁡ x 2 − cos ⁡ x 2 ) 2 =(\sin{\frac{x}{2}}-\cos{\frac{x}{2}})^{2} =(sin2xcos2x)2


则原式
= ∫ 0 π ∣ sin ⁡ x 2 − cos ⁡ x 2 ∣   d x =\int_{0}^{\pi}\vert \sin{\frac{x}{2}}-\cos{\frac{x}{2}} \rvert\,{\rm d}x =0πsin2xcos2xdx
= ∫ 0 π 2 ( cos ⁡ x 2 − sin ⁡ x 2 )   d x + ∫ π 2 π ( sin ⁡ x 2 − cos ⁡ x 2 )   d x =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\cos {\frac{x}{2}}-\sin{\frac{x}{2}} )\,{\rm d}x+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}(\sin{\frac{x}{2}}-\cos{\frac{x}{2}})\,{\rm d}x =02π(cos2xsin2x)dx+2ππ(sin2xcos2x)dx


( 2 sin ⁡ x 2 ) ′ = cos ⁡ x 2 , ( − 2 cos ⁡ x 2 ) ′ = sin ⁡ x 2 (2\sin{\frac{x}{2}})^{'}=\cos{\frac{x}{2}},(-2\cos{\frac{x}{2}})^{'}=\sin{\frac{x}{2}} (2sin2x)=cos2x,(2cos2x)=sin2x


原式
= ( 2 sin ⁡ x 2 + 2 cos ⁡ x 2 ) ∣ 0 π 2 + ( − 2 cos ⁡ x 2 − 2 sin ⁡ x 2 ) ∣ π 2 π =(2\sin{\frac{x}{2}}+2\cos{\frac{x}{2}})|_{0}^{\frac{\pi}{2}}+(-2\cos\frac{x}{2}-2\sin{\frac{x}{2}})|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} =(2sin2x+2cos2x)02π+(2cos2x2sin2x)2ππ
= 2 2 − 2 − [ ( 0 + 2 ) − 2 2 ] =2\sqrt{2}-2-[(0+2)-2\sqrt{2}] =22 2[(0+2)22 ]
= 4 ( 2 − 1 ) =4(\sqrt{2}-1) =4(2 1)文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-473076.html

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