引入:曲边梯形面积
a和b中两点插入n个点,a=x0<x1<x2...xn=b,产生n-1个小片段x1-x0, x2-x1......
取n个区间内某点的函数值,y0,y1,y2...yn
产生多个小长方形面积,s=x*y
取为x1-x0到xn-xn-1的最大值
曲边梯形面积=长方形的面积求和和当趋近于0时,又叫从a到b的f(x)定积分
定积分:
定义:在有界函数在[a,b]插入任意分点,分成任意区间,在区间内任意一点的函数值
a为下限,b为上限,从下限到上限定积分
只和f(x),[a,b]有关,与积分变量无关
可积的条件:只有连续,或者有界有限个间断点
几何意义:在区间ab函数图像与x轴的形成的面积
定积分的正负:
f(x)大于0,定积分结果大于0
小于0,结果小于0
有正有负, 结果未知
理解:
对一个表达式就极限,结果为一个常数。
注意:1.积分上下限就是积分变量的范围
2.与积分变量无关的变量的数可以往外提
定积分近似计算:
1.用矩形的面积来近似:关键就是矩形的高度即某点的函数值
2.用梯形近似:无数个梯形面积求和
3.抛物线方法:取高度y1,y2,y3.....模拟出一个抛物线的方程,再用积分求出抛物线和x轴形成的阴影面积(这不就是用抛物线直接拟合原曲线吗,再对抛物线求定积分吗?)
定积分性质:
性质1,2
(1)直线的空间为0
性质3
和不定积分性质相同
性质4
与b,c大小无关,a<b,a<c,画图理解
函数是y=1,围成的面积就是(b-a)*1
推论1
f(x)围成的面积大于g(x)
推论2
左项围成的面积正负抵消,使得总使得左项小于等于右项
M,m为某个函数值的y值,就是以b-a的底,不同函数值为高的长方形和实际面积比较
定积分中值定理:
以b-a为底的长方形,面积等于曲线梯形,由上一个定理可知,曲线的面积在m*(a-b)和M*(a-b)之间,必然存在一点的*(a-b)刚好等于面积
此时为平均值
微积分的基本公式:
从T1到T2的行驶的距离(速度是变化的)
积分上限函数:固定下限,上限是变的
对积分上限函数求导:
就是定积分式子,定积分的导数是被积的函数。
理解:把f(x)看成速度,x看成时间,路程对时间求导就是瞬时速度,就是f(x)
积分下限函数求导:将它变成上限是x的函数乘-1
定积分复合函数求导:
上限是符号函数:
上下限都是复合函数:
先把上限代进去,对上限求导,再把下限代进去对下限求导
牛顿-布莱公式:
F(x)是f(x)原函数即F'(x)是f(x)。
x的范围[a,b]
从不定积分角度来看,就是在时间a到b中,某个函数的导数是速度,
这个函数就是以时间为自变量,行走的路程为应变量F(x)
由时间a到b的路程就等于F(b)-F(a)
作用:求定积分可以用不定积分,先代上限,再代下限
定积分换元法:
1.引入换元函数
2.上下限也改变
3.考虑奇偶性
周期函数:
反常积分:
无穷限的反常积分:
上,下,上下限取无穷
依然用牛顿原则,把a代成无穷
无界函数的反常积分:
趋于无穷的点:瑕点
有瑕点的函数叫无界函数
b为瑕点,函数在的右侧有定义
总结:实际上就是改一种形式
计算出来的结果可能为无穷
瑕积分的欺骗性:
忽略原函数的瑕点,只看上下限
如果有瑕点要注上下限分开
瑕积分换元:单调函数
伽马函数:
定义:
1.
2.
定积分应用:
元素法:举了几个列子
平面图形面积:
理解:把f(x)为一条线,许多条线密密麻麻凑成图形(更准确说是宽趋近于0),上面公式表示x从a到b的面积求和
1.x型区域:以x自变量
2.y型区域:以y为自变量
1.面积是不变的,以谁为自变量都可以
2.两函数有交点会有抵消要,分开求
3.减出来是负的也无所谓,取绝对值就行
实际上:应为四条线,两条圈定图型,两条限定范围
极坐标求面积:
p为弧线长,a为半径
大体和求平面图型一个思路。
取一小部分近似看成扇形,半径为p
求旋转体体积:
体积等于可以分为高趋近于0的许多给薄面(积分存在某个东西可以突破线性相关的原则)
求出很多个横截面的面积求和,横截面面积随着高变化而不断变化
1.绕x轴旋转,绕y轴旋转
定积分求弧长:
用弧上两点的连线来表示:
取极小的x加和极小的y
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极坐标:
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定积分:物理应用……
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