离散数学 | 图论 | 欧拉图 | 哈密顿图 | 割点 | 桥(欧拉图和哈密顿图有没有割点和桥?)

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本文主要解决以下几个问题:

1.欧拉图能不能有割点,能不能有桥?

2.哈密顿图能不能有割点,能不能有桥?

首先我们要明白几个定义

割点的定义就是在一个图G中,它本来是连通的,去掉一个点v以后这个图G就不连通了,那么点v就被叫做割点

的定义就是在一个图G中,它本来也是连通的,去掉一条边x以后这个图就不连通了,那么边x就被称为

欧拉图是拥有欧拉闭迹的图。

所谓欧拉闭迹,包含两层概念:“”和“”。

我们先来说什么是,所谓“迹”,就是用一笔可以从一个顶点出发,一直沿着边走,走到另一个顶点停止。在走的过程中,可以有重复的点,但是不能有重复的边。也就是说一个点可以经过两次以上,但是一个边只能走一次。

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 如图:从1走到5,最后再回到1,这就是一条迹。

我们再来说什么是“”,所谓闭,就是闭合的意思,也就是说这条迹最后要回到起点,形成一条闭合回路。上图所示的迹也是一条闭迹。

我们可以看到上面画的这个图拥有一套欧拉闭迹,那么他就是一个欧拉图。

如果这个图去掉点3,他就变成不连通的了,那么点3就是一个割点,显然欧拉图是可以有割点的,有割点的图也可以是欧拉图。

那么欧拉图能不能有桥呢?

我们先来试着想一想,欧拉图必须要从一个点出发走回去,边不能重复。那么如果有桥的话,对于两个划分以后的子图,我们为了从一个顶点出发,最后再回到这个顶点,不得不从这个桥走两遍,这显然违背了欧拉图的定义。

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 如果需要严谨证明的话,我们可以先由欧拉图得到,在图上任意去掉一条边x,图依然是连通的。如果去掉桥的话,恰恰与欧拉图的定义相违背,自然就证明了欧拉图中不能有桥了。

说完了欧拉图,我们来看哈密顿图。

哈密顿图是具有哈密顿圈的图,哈密顿圈是对于图G而言,它有一个圈,这个圈包含了图G的所有顶点

换言之,如果一个图G,它具有一个能包含所有顶点的圈,那么它具有哈密顿圈,图G也就是哈密顿图了。

显然哈密顿图是有圈的图,有圈的图不论去掉哪个顶点依然是连通的,所以哈密顿图没有割点。有圈的图不论去掉哪条边也依然是连通的,所以哈密顿图也没有桥

换言之,有割点的图一定不是哈密顿图,有桥的图一定不是哈密顿图。

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