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第一课：行列式的计算

行列式分为2阶、3阶、4阶……n阶(行列式中行列数相等)等，通过对行列式进行相关的变换我们可以得到一个数字。

求行列式的性质：

性质1：某行（列）加上或减去领一行（列）的几倍，行列式不变

性质2：某行（列）乘k，等于k乘此行列式

性质3：互换两行（列），行列式变号

行：r、列：c

其中**2阶的计算方法为：
$\left|\begin{matrix} 1 & 2\\ 2 & 3 \end{matrix}\right|$
计算方法为对角线相乘求差**，即
$1 * 3 - 2 * 2 = - 1$

对于**多阶(n>=3)**，责需要经过对行列式进行变换后再进行计算，例如：
$\left|\begin{matrix} 1 & 2& 3\\ 2 & 3& 4\\ 4 & 5& 7\\ \end{matrix}\right|$
线代--猴博士爱讲课

具体的计算过程如下：

性质1：某行（列）加上或减去领一行（列）的几倍，行列式不变

求三阶行列式的小技巧：

第一行不动

第一行的作用就是使得后面行的首位变为0

第二行的作用就是使得后面行的第二位变为0

…

第n-1行的作用就是使得后面行的第n-1位变为0

扩展一个4阶的行列式算一下(利用求n阶行列式的小技巧)

性质2：某行（列）乘k，等于k乘此行列式
$\left|\begin{matrix} 1 & 2& 3& 4\\ 2 & 3& 4& 5\\ 4 & 5& 7& 8\\ 8 & 9& 10& 12 \end{matrix}\right|=-1，求 \left|\begin{matrix} 2 & 4& 6& 8\\ 2 & 3& 4& 5\\ 4 & 5& 7& 8\\ 8 & 9& 10& 12 \end{matrix}\right|$

观察发现，第一行{2,4,6,8}是{1,2,3,4}的2倍，即
$\left|\begin{matrix} 2 & 4& 6& 8\\ 2 & 3& 4& 5\\ 4 & 5& 7& 8\\ 8 & 9& 10& 12 \end{matrix}\right| =2* \left|\begin{matrix} 1 & 2& 3& 4\\ 2 & 3& 4& 5\\ 4 & 5& 7& 8\\ 8 & 9& 10& 12 \end{matrix}\right|=2*(-1)=-2$

$\left|\begin{matrix} 2 & 4& 6& 8\\ 2 & 3& 4& 5\\ 12 & 15& 21& 24\\ 8 & 9& 10& 12 \end{matrix}\right| =2*3* \left|\begin{matrix} 1 & 2& 3& 4\\ 2 & 3& 4& 5\\ 4 & 5& 7& 8\\ 8 & 9& 10& 12 \end{matrix}\right|=2*3*(-1)=-6$

性质3：互换两行（列），行列式变号
$\left|\begin{matrix} 2 & 3& 4& 5\\ 1 & 2& 3& 4\\ 4 & 5& 7& 8\\ 8 & 9& 10& 12 \end{matrix}\right|=（R1<->R2）= -1* \left|\begin{matrix} 1 & 2& 3& 4\\ 2 & 3& 4& 5\\ 4 & 5& 7& 8\\ 8 & 9& 10& 12 \end{matrix}\right| =-1*（-1）=1$

$\left|\begin{matrix} 0 & 0& 0& 3\\ 0 & 0& 3& 2\\ 1 & 2& 3& 4\\ 0 & 5& 2& 4 \end{matrix}\right| =（R1<->R4）= -1* \left|\begin{matrix} 0 & 5& 2& 4\\ 0 & 0& 3& 2\\ 1 & 2& 3& 4\\ 0 & 0& 0& 3 \end{matrix}\right| =（R2<->R3）= -1*（-1） \left|\begin{matrix} 0 & 5& 2& 4\\ 1 & 2& 3& 4\\ 0 & 0& 3& 2\\ 0 & 0& 0& 3 \end{matrix}\right| =（R1<->R2）= -1*（-1）*（-1） \left|\begin{matrix} 1 & 2& 3& 4\\ 0 & 5& 2& 4\\ 0 & 0& 3& 2\\ 0 & 0& 0& 3 \end{matrix}\right| =−1∗(−1)∗(−1)∗1∗5∗3∗3=−45$

第二课：行列式的计算与应用

1/7 对称的N行N列计算

$\left|\begin{matrix} x & a& ...& a\\ a & x& ...& a\\ ： & ：& ...& ：\\ a & a& ...& x\\ \end{matrix}\right| =（x-a）^{（n-1）}[x+(n-1)a]$

例1：请计算如下行列式的值
$\left|\begin{matrix} 2 & 3& 3& 3\\ 3 & 2& 3& 3\\ 3 & 3& 2& 3\\ 3 & 3& 3& 2\\ \end{matrix}\right|$
即x=2 a=3 n=4,代入以上公式可得

=(2−3)⁽⁴⁻¹⁾[2+(4−1)*3]=-11

公式的由来：

就是把后面几行的数对应加到第一行上,可以把和提公因子x+(n−1)a，第一行就全为1,利用第一行消去下面几行的数,最后结果就是公因子乘以(x−a)⁽ⁿ⁻¹⁾

2/7 指数递增行列式求解

范德蒙行列式:依次欺负低年级

$\left|\begin{matrix} 1 & 1& ...& 1\\ X1 & X2& ...& Xn\\ (X1)^2 & (X2)^2& ...& (Xn)^2\\ ： & ：& ...& ：\\ (X1)^(n-1） & (X2)^(n-1）& ...& (Xn)^(n-1）\\ \end{matrix}\right|$

=(x_n−x_n−1)(x_n−x_n−2)(x_n−x_n−3)⋯⋯(x_n−x₁)∗

(x_n−1−x_n−2)(x_n−1−x_n−3)⋯⋯(x_n−1−x₁)∗

⋯⋯∗(x₂−x₁)

=
$\prod_{1《j < i《n}(xi-xj)$
例2：请计算如下行列式的值
$\left|\begin{matrix} 1 & 1& 1& 1\\ 3 & 4& 5& 6\\ 3^2 & 4^2& 5^2& 6^2\\ 3^3 & 4^3& 5^3& 6^3\\ \end{matrix}\right|$
即x1=3 x2=4 x3=5 x4=6 n=4，代入以上公式可得

=(x₄−x₃)(x₄−x₂)(x₄−x₁)∗(x₃−x₂)(x₃−x₁)∗(x₂−x₁)=12

3/7 特殊行列式计算

①两行（列）相同或者成比例时，行列式为0

②某行（列）为两项相加相减时，行列式可拆解成两个行列式相加减

【转置相等,互换变号,成比例为零】

例3：请计算如下行列式的值
$\left|\begin{matrix} a1 & b1& c1\\ a2 & b2& c2\\ a3 & b3& c3\\ \end{matrix}\right| =1, 试求 \left|\begin{matrix} a1+c1 & b1& a1+b1\\ a2+c2 & b2& a2+b2\\ a3+c3 & b3& a3+b3\\ \end{matrix}\right|$

$\left|\begin{matrix} a1+c1 & b1& a1+b1\\ a2+c2 & b2& a2+b2\\ a3+c3 & b3& a3+b3\\ \end{matrix}\right| =\left|\begin{matrix} a1& b1& a1+b1\\ a2 & b2& a2+b2\\ a3& b3& a3+b3\\ \end{matrix}\right| + \left|\begin{matrix} c1 & b1& a1+b1\\ c2 & b2& a2+b2\\ c3 & b3& a3+b3\\ \end{matrix}\right|$

$=\left|\begin{matrix} a1& b1& a1\\ a2 & b2& a2\\ a3& b3& a3\\ \end{matrix}\right| + \left|\begin{matrix} a1& b1& b1\\ a2 & b2& b2\\ a3& b3& b3\\ \end{matrix}\right| + \left|\begin{matrix} c1 & b1& a1\\ c2 & b2& a2\\ c3 & b3& a3\\ \end{matrix}\right| + \left|\begin{matrix} c1 & b1& b1\\ c2 & b2& b2\\ c3 & b3& b3\\ \end{matrix}\right|$

$\left|\begin{matrix} c1 & b1& a1\\ c2 & b2& a2\\ c3 & b3& a3\\ \end{matrix}\right| +0 =-1* \left|\begin{matrix} a1 & b1& c1\\ a2 & b2& c2\\ a3 & b3& c3\\ \end{matrix}\right| =-1*1 =-1$

4/7 求余子式、代数余子式

四阶行列式同理：最后算的是剔除了一行一列之后的三阶行列式

$\left|\begin{matrix} 1 & 2& 3\\ 5 & 6& 7\\ 9 & 10& 11\\ \end{matrix}\right| 中a_{23}的余子式， a_{12}的代数余子式$

①余子式M：

$M_{23}= \left|\begin{matrix} 1 & 2\\ 9 & 10 \end{matrix}\right| =-8$
②代数余子式A：
$A_{12}= (-1)^{1+2}*M_{12}= -1* \left|\begin{matrix} 5 & 7\\ 9 & 11 \end{matrix}\right| =8$

5/7 任意行/列计算行列式

行列式展开定理：

①D=a_i1A_i1+a_i2A_i2+⋯⋯+a_inA_in(第i行)

等于它的任意一行的所有元素与它们各自对应的代数余子式的乘积之和

D=a_1jA_1j+a_2jA_2j+⋯⋯+a_njA_nj(第j列)

等于它的任意一列的所有元素与它们各自对应的代数余子式的乘积之和

$\left|\begin{matrix} 1 & 2& 3\\ 5 & 6& 7\\ 9 & 10& 11\\ \end{matrix}\right| =a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13} 【按第一行展开】$

$a_{11}*(-1)^{1+1}*M_{11}+a_{12}*(-1)^{1+2}*M_{12}+a_{13}*(-1)^{1+3}*M_{13}$

$=a_{11}*(-1)^{1+1}* \left|\begin{matrix} 5 & 7\\ 9 & 11\\ \end{matrix}\right| +a_{12}*(-1)^{1+2}* \left|\begin{matrix} 1 & 3\\ 9 & 11\\ \end{matrix}\right| +a_{13}*(-1)^{1+3}* \left|\begin{matrix} 5 & 6\\ 9 & 10\\ \end{matrix}\right|$

$= 1$

$\left|\begin{matrix} 1 & 2& 3\\ 5 & 6& 7\\ 9 & 10& 11\\ \end{matrix}\right| =a_{12}A_{12}+a_{22}A_{22}+a_{32}A_{32} 【按第二列展开】$

6/7 多个A或M相加减

$\left|\begin{matrix} 1 & 2& 3& 4\\ 5 & 6& 7& 8\\ 9 & 10& 11& 12\\ 13 & 14& 15& 16\\ \end{matrix}\right|, 试求 ①3A_{11}+4A_{12}+5A_{13}+6A_{14}$

$②3A_{11}+4A_{21}+5A_{31}+6A_{41} ③3M_{11}+4M_{21}+5M_{31}+6M_{41}$

对于A，直接找到对应的位置，将系数与对应的项进行替换即可：

$①3A_{11}+4A_{12}+5A_{13}+6A_{14}= \left|\begin{matrix} 3 & 4& 5& 6\\ 5 & 6& 7& 8\\ 9 & 10& 11& 12\\ 13 & 14& 15& 16\\ \end{matrix}\right|$

$②3A_{11}+4A_{21}+5A_{31}+6A_{41}= \left|\begin{matrix} 3 & 2& 3& 4\\ 4 & 6& 7& 8\\ 5 & 10& 11& 12\\ 6 & 14& 15& 16\\ \end{matrix}\right|$

对于M，则先通过M与A的对应关系，即
$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$

$③3M_{11}+4M_{21}+5M_{31}+6M_{41}$

$A_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=M_{11} \\ A_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-M_{21}\\ A_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=M_{31}\\ A_{41}=(-1)^{4+1}M_{41}=-M_{41}\\ ∴ 原式=3M_{11}+4M_{21}+5M_{31}+6M_{41}= 3A_{11}-4A_{21}+5A_{31}-6A_{41}= \left|\begin{matrix} 3 & 2& 3& 4\\ -4 & 6& 7& 8\\ 5 & 10& 11& 12\\ -6 & 14& 15& 16\\ \end{matrix}\right|$

7/7 给一方程组，判读其解的情况

克拉默法则

请判断下列方程组是否有唯一解
$X_1+2X_2+3X_3 = 0\\ 4X_1+5X_2+6X_3 = 0\\ 7X_1+8X_2+9X_3 = 0\\ 【齐次】\\ D= \left|\begin{matrix} 1 & 2& 3\\ 4 & 5& 6\\ 7 & 8 &9\\ \end{matrix}\right| \\$

$X_1+2X_2+3X_3 = 1\\ 4X_1+5X_2+6X_3 = 2\\ 7X_1+8X_2+9X_3 = 3\\ 【非齐次】\\ D= \left|\begin{matrix} 1 & 2& 3\\ 4 & 5& 6\\ 7 & 8 &9\\ \end{matrix}\right|$

方程组	D≠0	D=0
其次	只有一组零解	有零解与非零解
非其次	只有一组非零解	有多个解或无解

齐次方程组必有零解，当D≠0时只有一组解；

无论是齐次还是非其次，当D≠0时都只有一组解

第三四课矩阵的运算

1/3矩阵加减

$\left[\begin{matrix} 1 & 3\\ 2 & 4\\ 5 & 6 \\ \end{matrix}\right], B= \left[\begin{matrix} 7 & 8\\ 9 & 10\\ 11 & 12 \\ \end{matrix}\right] ,试求2A+3B$

$\left[\begin{matrix} 1*2 & 3*2\\ 2*2 & 4*2\\ 5*2 & 6*2 \\ \end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} 2 & 6\\ 4 & 8\\ 10 & 12 \\ \end{matrix}\right]\\ 3B= \left[\begin{matrix} 7*3 & 8*3\\ 9*3 & 10*3\\ 11*3 & 12*3 \\ \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} 21 & 24\\ 27 & 30\\ 33 & 36 \\ \end{matrix}\right]\\ 2A+3B= \left[\begin{matrix} 2+21 & 6+24\\ 4+27& 8+30\\ 10+33 & 12+36 \\ \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} 23 & 30\\ 31 & 38\\ 43& 48\\ \end{matrix}\right]$

2/3矩阵相乘

例一：
$\left[\begin{matrix} 1 & 3\\ 2 & 4\\ 5 & 6 \\ \end{matrix}\right], B= \left[\begin{matrix} 7 & 8& 9\\ 10&11 & 12 \\ \end{matrix}\right] ,试求A*B$

方法：前行乘后列

[前面的列数必须等于后面的行数,才可以相乘]

$\left[\begin{matrix} 1 & 3\\ 2 & 4\\ 5 & 6 \\ \end{matrix}\right]* \left[\begin{matrix} 7 & 8& 9\\ 10&11 & 12 \\ \end{matrix}\right]$

$=\left[\begin{matrix} 1×7+3×10 & 1×8+3×11& 1×9+3×12\\ 2×7+4×10&2×8+4×11 & 2×9+4×12 \\ 5×7＋6×10&5×8+6×11 & 5×9+6×12 \\ \end{matrix}\right]\\= \left[\begin{matrix} 37 & 41& 45\\ 54 & 60& 66\\ 95 & 106 & 117\\ \end{matrix}\right]$

例二：
$\left[\begin{matrix} 1 &0&1\\ 0 & 2 &0\\ 1 & 0 &1\\ \end{matrix}\right], B= \left[\begin{matrix} 1 & 2 &3\\ 4 & 5 &6\\ 7 & 8 &9\\ \end{matrix}\right] ,试求A^2B-2AB$

这个时候还像例一那样去进行矩阵的乘法运算就显得十分繁琐，这个时候可以利用
$A^2B-2AB=（A^2-2A）B=(A-2E)AB$
【注意：一般情况下AB≠BA】

需要记住的六种情况

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3/3矩阵取绝对值

这里需要注意的是：这里提到的求矩阵的绝对值其实是**求矩阵对应的行列式**

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1/7涉及到转置的题目

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2/7 证明矩阵可逆

有可逆矩阵的条件：

例一：
$\left[\begin{matrix} 1 & 2&3\\ 0 & 4 &5\\ 0 & 0 &6\\ \end{matrix}\right], 试判断A是否可逆$

$\left|\begin{matrix} 1 & 2&3\\ 0 & 4 &5\\ 0 & 0 &6\\ \end{matrix}\right|=24≠0\\ ∴A可逆$

例二：
$设方阵A满足A^2-A-2E=0,证明A可逆$

$A^2-A-2E=0-->A^2-A=2E-->A^2-AE=2E\\ -->A(A-E)=2E-->A[\frac{1}{2}(A-E)]=E\\ 令B=\frac{1}{2}(A-E)\\ 则A*B=E ∴A可逆$

3/7 求逆矩阵

$\left[\begin{matrix} 1 & 2 &3\\ 4 & 5 &6\\ 7 & 8 &9\\ \end{matrix}\right] ,试求A^{-1}$

求逆矩阵的过程：

【注意这里是左右两边的矩阵同步做行变换】

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先从上往下做使得下对角线全部变为零，再从下往上做使得上对角线全部变为零，就能得到单位矩阵

4/7利用A·A−1=E或A−1*A=E计算

为了在计算的过程中消除A

$\left[\begin{matrix} 1 & 2 &3\\ 2 & 3 &4\\ 4 & 5 &7\\ \end{matrix}\right], B= \left[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1\\ \end{matrix}\right], C= \left[\begin{matrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6\\ \end{matrix}\right], ,求矩阵X使其满足 AXB=C$

因为矩阵的运算没有除法，所以我们就利用A·A⁻¹=E或A⁻¹*A=E计算

$AXB=C可有\\A^{-1}AXB=A^{-1}C\\ EXB=A^{-1}C\\XB=A^{-1}C\\XBB^{-1}=A^{-1}CB^{-1}\\X=A^{-1}CB^{-1}\\ X= \left[\begin{matrix} -1 & -1 &1\\ -2 & 5 &-2\\ 2 & -3 &1\\ \end{matrix}\right]* \left[\begin{matrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6\\ \end{matrix}\right]* \left[\begin{matrix} -\frac{1}{3} & \frac{2}{3}\\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{3}\\ \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} -2& 1\\ \frac{8}{3} & -\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\ \end{matrix}\right]$

5/7利用A·A=|A|E或A·A=|A|E计算

作用：为了在计算的过程中消除A^*

$\left[\begin{matrix} 1 & 2 &3\\ 2 & 3 &4\\ 4 & 5 &7\\ \end{matrix}\right] ,且A^*X=A^{-1}+X ,求矩阵X$

当题目中出现A^*时，利用A·A^*=|A|E或A^*·A=|A|E将其变成A代入计算即可**【A^*–>A】**

伴随矩阵A^*:方阵的行列式的对应的代数余子式行列式的转置
$A^*= \left|\begin{matrix} A_{11} & A_{21} &A_{31}\\ A_{12}& A_{22} &A_{32}\\ A_{13} & A_{23} &A_{33}\\ \end{matrix}\right|$

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6/7求矩阵的秩

对矩阵进行行变换,使下行左端的0比上行多，直到下面行全为0为止—>【把矩阵化为阶梯型】

矩阵的秩等于==矩阵的秩等于最简型矩阵的非零行（非零子式的最高阶数）==

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7/7已知矩阵的秩,求矩阵里的未知数

$\left[\begin{matrix} 1 & 2 &3 & 4\\ 2 & U &6 &8\\ 3 & 6 &9 &P\\ \end{matrix}\right] ,且R(B)=1 ,求U,P的值$

$\left[\begin{matrix} 1 & 2 &3 & 4\\ 2 & U &6 &8\\ 3 & 6 &9 &P\\ \end{matrix}\right]--> \left[\begin{matrix} 1 & 2 &3 & 4\\ 0 & U-4 &0 &0\\ 0 & 0 &0 &P-12\\ \end{matrix}\right]\\ ,且R(B)=1 ,则可知U-4=0，P-12=0，解得U=4,P=12$

第五课向量组与线性空间

1/4判断某向量是否可由某向量组线性表示

这些只有一行（列）的矩阵既可以称作为向量。

判断的标准：

若(a1，a2，…am)的秩与(a1，a2，…am,b)的秩相等，则b可由a，a2，…am线性表示

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2/4判断某个向量组是否线性相关

判断线性相关与无关：比较秩和向量个数

若R<向量个数，则线性相关;若R=向量个数，则线性无关

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3/4已知三维向量空间的一组基底,求某一向量在此基底下的坐标

n(n>3)维向量空间同理

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4/4求几个行向量的极大无关组

注意这里是求行向量的极大无关组，列向量不能这么求
（极大无关组 = 极大线性无关组）

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第一步：构建向量的矩阵
$\left[\begin{matrix} 0 & -4 &12 & 8\\ -1 & -3 &5 &1\\ 3 & 5 &-1 &4\\ 1 & 1 &1 &1\\ \end{matrix}\right]$
第二步：求所构建矩阵的秩
$R = 3$
第三步：对所构建矩阵的每一行进行编号，行的编号随着后面的行变换而进行变化（对凡是涉及到行变换的，题中的R1<->R4）

第四步：由第二步所得出的R，取变换后矩阵对应的前R行。

第六课解方程组

1/6判断方程组解的情况

判断方程组的解的情况：

齐次唯一解例题：

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非齐次无解例题：

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非齐次有解例题：

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2/6解方程组

解方程组：共有五步

①求增广矩阵的秩：

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②变换矩阵：

R=3，就变换前三行，前三列，为单位矩阵的形式

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③ 根据②得到的矩阵变回方程组：

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④设未知数：

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⑤整理成标准型，再用刚刚设的未知数替代题目原来的未知数：

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这里④中我们只设置了一个未知数K，则在⑤中为用k替代X4

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下面就是本题的解，k可取任意值：

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例题(非齐次)

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这里④中我们设置了三个未知数K1、K2、K3，则在⑤中为用K1替代X5、K2替代X4、K3替代X3

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例题(齐次)

如果是齐次方程组呢？
常数项都抹掉就完了、

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3/6 求方程组的通解、特解、基础解系

求方程组的通解、特解。基础解系：
要先解出方程组的解。
通解，含有所有的未知数，能代表所有情况的解

①求方程组的通解

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②求方程组的特解

特解就是**一组x1–xn的值**，代入原方程，可以满足：
也就是未知数随便取值：这是一个特解

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一般都令所有未知数=0,这样可以简化计算量

③求方程组的基础解系

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4/6 已知某方程组多个特解，求某齐次方程组的通解

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解题步骤共三步：

①设未知数：

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结果为：
$设有未知数k_1、k_2$

②找出n个线性无关的矩阵X₁，X₂，…X_n，使其替代x，满足要求通解的式子

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③求通解

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5/6 已知某方程组多个特解，求某非齐次方程组的通解

非齐次方程组的通解=对应齐次方程组的通解（①②③）+非齐次方程组的特解（④）

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解题步骤共四步：

①设未知数：

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结果为：
$设有未知数k_1、k_2$

②找出n个线性无关的矩阵X₁，X₂，…X_n，使其替代x，满足去掉参数项后的要求通解的式子

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③找出一个矩阵Y，使其满足要求通解的式子

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④求通解

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6/6 判断解集合中线性无关的解向量的个数

直接背公式：

①齐次

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②非齐次

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第七课方阵对角化及其应用

1/6 规范正交化

基础知识

①中括号

②双竖线||

纯带公式：最后的e就是结果

线代--猴博士爱讲课
$b_1=a_1\\ b_2=a_2-\frac{[b_1,a_2]}{[b_1,b_1]}b_1\\ b_3=a_3-\frac{[b_1,a_3]}{[b_1,b_1]}b_1-\frac{[b_2,a_3]}{[b_2,b_2]}b_2\\ ：\\ ：\\ b_n=a_n-\frac{[b_1,a_n]}{[b_1,b_1]}b_1-\frac{[b_2,a_n]}{[b_2,b_2]}b_2-....\frac{[b_{n-1},a_n]}{[b_{n-1},b_{n-1}]}b_{n-1}\\ e_1=\frac{b_1}{||b_1||} , e_2=\frac{b_2}{||b_2||}, e_n=\frac{b_n}{||b_n||}$