sin x和cos x的若干次方的定积分
∫ 0 π 2 sin n x = ∫ 0 π 2 cos n x = { n − 1 n × n − 3 n − 2 × ⋯ × 1 2 × π 2 n 为偶数 n − 1 n × n − 3 n − 2 × ⋯ × 1 2 × 1 n 为奇数 \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nx= \begin{cases} \dfrac{n-1}{n}\times \dfrac{n-3}{n-2}\times \cdots\times \dfrac 12\times \dfrac{\pi}{2}\qquad n为偶数\\ \qquad \\ \dfrac{n-1}{n}\times \dfrac{n-3}{n-2}\times \cdots\times \dfrac 12\times 1\qquad n为奇数 \end{cases} ∫02πsinnx=∫02πcosnx=⎩ ⎨ ⎧nn−1×n−2n−3×⋯×21×2πn为偶数nn−1×n−2n−3×⋯×21×1n为奇数
证明：
\qquad 根据 sin x \sin x sinx和 cos x \cos x cosx在 [ 0 , π 2 ] [0,\dfrac{\pi}{2}] [0,2π]上的对称性可得 ∫ 0 π 2 sin n x d x = ∫ 0 π 2 cos n x d x \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n xdx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n xdx ∫02πsinnxdx=∫02πcosnxdx
\qquad 令 I n = ∫ 0 π 2 sin n x = ∫ 0 π 2 cos x d x I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos xdx In=∫02πsinnx=∫02πcosxdx，则
I n = ∫ 0 π 2 sin x ⋅ sin n − 1 x d x = ∫ 0 π 2 sin n − 1 x d ( − cos x ) = − cos x ⋅ sin n − 1 x ∣ 0 π 2 − ∫ 0 π 2 ( − cos x ) d ( sin n − 1 x ) I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\cdot \sin^{n-1}xdx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-1}xd(-\cos x)=-\cos x\cdot \sin^{n-1}x\bigg\vert_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{\frac{\pi}{2}}(-\cos x)d(\sin^{n-1}x) In=∫02πsinx⋅sinn−1xdx=∫02πsinn−1xd(−cosx)=−cosx⋅sinn−1x 02π−∫02π(−cosx)d(sinn−1x)
= ( n − 1 ) ∫ 0 π 2 cos 2 x ⋅ sin n − 2 x d x = ( n − 1 ) ( ∫ 0 π 2 sin n − 2 x d x − ∫ 0 π 2 sin n x d x ) = ( n − 1 ) I n − 2 − ( n − 1 ) I n =(n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2x\cdot \sin^{n-2}xdx=(n-1)(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}xdx-\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n xdx)=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n =(n−1)∫02πcos2x⋅sinn−2xdx=(n−1)(∫02πsinn−2xdx−∫02πsinnxdx)=(n−1)In−2−(n−1)In文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-473740.html
\qquad 等式两边同时加 ( n − 1 ) I n (n-1)I_n (n−1)In得 n I n = ( n − 1 ) I n − 2 nI_n=(n-1)I_{n-2} nIn=(n−1)In−2，即 I n = n − 1 n I n − 2 I_n=\dfrac{n-1}{n}I_{n-2} In=nn−1In−2。由数学归纳法即可得证。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-473740.html
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