信号与系统复习笔记-Toy模板网

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信号与系统复习笔记——线性时不变系统

线性时不变系统

推导CT-LTI卷积积分

假设输入函数为 $x (t)$ ，输出为 $y (t)$ ，考虑对应变换 $T\{x(t)\}=y(t)$ ，通过冲激函数可将 $x (t)$ 表示为：

$\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\delta(t - \tau) d\tau = x(t) \ast \delta(t)$

对两边同时做变换 $T$ 得到：

$T\{x(t)\} = T\{\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\delta(t - \tau) d\tau \}$

利用LTI的 线性性质 可以得到：

$\int_{-\infty}^{+\infty} T\{x(\tau)\delta(t - \tau) \} d\tau$

$\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)T\{\delta(t - \tau)\} d\tau$

利用LTI的 时不变性 可以得到：

$\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau = x(t) \ast h(t)$

这里记 $h (t)$ 为系统的 零状态 状态下的单位冲激函数的响应。

推导DT-LTI卷积积分

同理CT-LTI卷积积分可得：

$\sum_{k = -\infty} ^{+\infty} x[k] h[n-k] = x[n] \ast h[n]$

LTI系统的性质

性质	公式
交换律	$\ast h(t) = h(t) \ast x(t)$
分配律	$\ast [h_1(t) + h_2(t)] = x(t) \ast h_1(t) + x(t) \ast h_2(t)$
结合律	$\ast [h_1(t) \ast h_2(t)] = [x(t) \ast h_1(t)] \ast h_2(t)$
记忆性	若对于所有的 $\neq 0$ 有 $h (t) = 0$ 那么系统是无记忆的
可逆性	若存在 $h_1(t)$ 使得 $\ast h_1(t) = \delta(t)$ 那么系统是可逆的
因果性	若对于所有的 $t < 0$ 有 $h (t) = 0$ 那么系统是因果的
稳定性	若单位冲激响应是绝对可积（和）的 $\int_{-\infty}^{+\infty} \|h(t)\| dt \lt \infty$ 那么系统是稳定的
阶跃响应	$\int_{-\infty}^{t} h(t) dt$

求解CT线性常系数微分方程

一类极为重要的LTI系统可以用关于输入和输出的线性常系数微分方程表示，即具有如下N阶线性常系数微分方程的形式：

$\sum_{k=0}^{N} a_k \frac{d^k y(t)}{dt^k} = \sum_{k=0}^{M} b_k \frac{d^k x(t)}{dt^k}$

N阶指的是 $y (t)$ 的最高阶导数。

系统在 $t = 0$ 时刻输入为 $x (t)$ 的 全响应 的形式为：

$y(t) = y_{zi}(t) + y_{zs}(t)$

首先求解系统的 零输入响应 $y_{zi}(t)$ ，即方程：

$\sum_{k=0}^{N} a_k \frac{d^k y(t)}{dt^k} = 0$

这是线性齐次常系数微分方程，对于一个二阶线性齐次常系数微分方程 $y^{''} (t) + p y^{'} (t) + q y (t) = 0$ 来说，其特征方程为：

$r^2 + pr+q = 0$

特征方程有两个解（可能为复数）为 $r_1$ 和 $r_2$ ，则有：

$y_{zi} = (C_1 e^{r_1x} + C_2 e^{r_2x}) u(t)$

其中 $C_1$ 和 $C_2$ 由系统在 $t = - 0$ 时刻的初始条件构成。

对于一个一阶线性齐次常系数微分方程 $y^{'} (t) + p y (t) = 0$ 来说，其特征方程为：

$r + p = 0$

则 $r_1 = -p$ ，则有：

$y_{zi} = C_1 e^{r_1x} = (C_1 e^{-px}) u(t)$

其中 $C_1$ 由系统在 $t = - 0$ 时刻的初始条件构成。

接下来求解零状态响应，可以使用卷积积分求解，首先我们求解系统在零状态响应的单位冲激响应 $h (t)$ ，可以使用Delta函数匹配法。

Delta函数匹配法的精髓在于，系统只在 $t = 0$ 的时候有一个冲激输入，在 $t > 0$ 的时候没有输入，此时可以看做是零输入响应，求得 $h(+0),h'(+0),h''(+0),\ldots$ 的初始条件是简单的，因此我们可以先求初始条件，最后带入零输入响应，求得系统的冲激响应。

求得冲激响应 $h (t)$ 之后，可以通过 $y_{zs} = x(t) \ast h(t)$ 求得零状态响应。

例题：求解系统 $y^{''} (t) + y^{'} (t) + y (t) = x^{'} (t) + x (t)$ 在初始条件下，求其在 $t\ge0$ 零输入响应和零状态下的单位冲激响应，以及在输入 $x(t),t\ge0$ 下的全响应。

零输入的系统方程为 $y^{''} (t) + y^{'} (t) + y (t) = 0$ ，特征方程为 $r^2 + r + 1 = 0$ ，两个特征解为 $-\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}j$ 。

则系统的零输入响应方程为：

$y_{zi}(t) = (C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x})u(t)$

使用Delta函数匹配法求解其零状态下的单位冲激在 $\le t \le +0$ 下的冲激响应表达式，我们仅考虑在该处的间断函数，因为不间断函例如 $r (t) = t u (t)$ 在该点函数值为零，因为 $\delta'(t) + \delta(t)$ 因此 $h^{''} (t)$ 有最高项 $\delta'(t)$ ，我们假设：