数据结构——树的概念、二叉树的概念-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了数据结构——树的概念、二叉树的概念。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

引言

现在是北京时间的2023年6月7号15点28分，刚考完了一课期末考试，回到宿舍就立马准备发布这篇博客。距离完成本周复习指标还差两篇博客。加油！

1.树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。树大致可以分成两个部分构成，即根和子树。根节点就是树最特殊的节点，它没有前驱结点。除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。因此树是可以递归定义的。

数据结构——树的概念、二叉树的概念
注意： 子树之间不能有交集，否则就不是树形结构，就变成图形结构了。

1.1.树的其他相关概念

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节点的度： 个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6
叶节点或终端节点： 度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
非终端节点或分支节点： 度不为0的节点；如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
双亲节点或父节点（重要）： 若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点（重要）： 一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点： 具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点
树的度： 一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6。大家常听见的二叉树也就是度为2的树
节点的层次： 从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度（重要）： 树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4
堂兄弟节点： 双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先（了解）： 从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙（了解）： 以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林： 由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；比如并查集这种数据结构就是由森林构成。

2.树的代码实现的结构

前面已经介绍了树的基本概念，下面我们来看看树要怎么用代码来实现呢？

//这样结构定义树可以吗？
struct TreeNode
{
	struct TreeNode* child1;
	struct TreeNode* child2;
	struct TreeNode* child3;
	//...
	int data;
};

答案是不行的，因为它没有用树的度来明确规定最多应该定义几个孩子。所以这样的结构是错误的。下面我在给大家看一个结构。假设树的度为N，且看下面的代码。

#define N 5
//假设N为5
struct TreeNode
{
	struct TreeNode* ChildrenArr[N];
	int data;
};

下面介绍一种很牛的表示结构，左兄弟右孩子表示法。即用该树结点只有两个指向，分别指向第一个孩子和下一个兄弟结点。这种表示法可以构造出所有的树形结构。
数据结构——树的概念、二叉树的概念


typedef int DataType;
struct TreeNode
{
	struct TreeNode* _firstChild1; // 第一个孩子结点
	struct TreeNode* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
	DataType _data; // 结点中的数据域
};

这种表示方法可以节省存储空间，同时也提高了树形结构的遍历效率，因为可以直接定位到每个节点的左孩子和右兄弟。

2.1.树形结构的应用

通常操作系统的磁盘文件结构就是一个经典的树形结构。这里我以Linux系统为例。
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为什么要用树形的结构来当磁盘文件的系统呢?Linux系统的磁盘文件结构采用树形结构，为用户提供了清晰、简单、方便、高效的文件管理方式。

3.二叉树的概念

二叉树其实就是度为二的树。通常有以下几种情况构成。
数据结构——树的概念、二叉树的概念

二叉树度为0的结点永远比度为2的多一个。下面我就简单举两个简单场景来验证这一结论。
数据结构——树的概念、二叉树的概念

3.1.特殊二叉树的概念

3.1.1.完全二叉树

对于一棵深度为k的二叉树，若它的所有节点都在第1到第k层，且所有叶子结点都在第k层或者第k-1层且在第k层的顺序必须从左到右连续，那么这棵二叉树就是一棵完全二叉树。满二叉树是特殊的完全二叉树。
数据结构——树的概念、二叉树的概念
那么高度为h的完全二叉树要怎么求出结点个数范围呢？

同理反推可得，完全二叉树的高度范围log以2为底的（Sn）的对数+1 或者 log以二为底的（Sn+1）的对数。

3.1.2.满二叉树

一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是
说，如果一个二叉树的层数为h，且结点总数是2的h次方-1，则它就是满二叉树。
数据结构——树的概念、二叉树的概念
为什么满二叉树的结点总数是2的h次方－1呢？下面且看我的分析。

可以看到其实满二叉树的总结点是一个等差公式，当然其实直接记结论是满二叉树的总结点个数为2的h次方-1就好。同理反推可得满二叉树的高度等于 h = log以二为底的（Sn+1）的对数。

3.2.二叉树试题讲解

3.2.1.试题一

数据结构——树的概念、二叉树的概念
本题主要考核的是对于二叉树的基本性质的了解，即二叉树中度为0的结点个数永远比度为2的结点个数多一个，本题选B。

3.2.2.试题二

数据结构——树的概念、二叉树的概念
本题其实关键为完全二叉树。这里就得根据完全二叉树度为1 的结点只有可能是1个或者0个，再根据这一条件在加上二叉树度为0永远比度为2的多一个结点。可以推断出度为1的结点为1个，即叶子结点n0=2n / 2 = n。本题选A。
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3.2.3.试题三

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本题依旧是考验对完全二叉树概念的了解的。首先我们需要知道完全二叉树的结点为：Sn=n0+n0-1+n1。根据Sn=767，又因为n0和n1必须是整数，所以n1 = 0。故2n0 = 768，n0等于384。本题选B。

4.二叉树的存储结构

二叉树的存储结构分为两种，链式结构二叉树和顺序结构二叉树。其底层实现对应的是链表和顺序表。

4.1.顺序结构存储

顺序结构二叉树其实就是用数组来进行对数据的管理。一般只适合完全二叉树使用，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆后面我会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。
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用数组的方式存储二叉树是带有局限性性的，因为只适合完全二叉树的存储。