利用正交变换判断二次曲面类型

利用正交变换判断二次曲面类型

• 正交变换是欧式空间保持向量内积不变的线性变换。不仅保持向量的长度不变，而且还保持向量
  的夹角不变。二维或三维空间中的旋转变换、关于某一条直线或平面的对称变换都是正交变换．投影变换、平移变换不是正交变换．

• 正交变它从实内积空间 $V$ 映射到 $V$自 身，保持变换前后内积不变．它应用在几何学上就是保持变换前后图形的不变性，这是正交变换的优势，从而达到了判断二次曲面类型、辨明二次曲面形状的目的．

任意一个实二次型

$$f\left(x_1,x_2,\cdots x_n\right)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j=X^{T}AX,\left(a_{ij}=a_{ji}\right)$$

都可以经过正交的线性替换变成平方和 ${\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2$ ，其中 ${\lambda }_i(i=1，2，\dots ，n)$ 就是矩阵$A$的特征多项式全部的根．(高代第八，九章)

前置结论：

• Q1. 方程

  $$x_1^2-2x_2^2-2x_3^2-4x_1{x}_2+4x_1{x}_3+8x_2{x}_3=1$$

  表示何种二次曲面?

解: 首先利用正交的线性替换将实二次型

$$f\left(x_1,x_2,x_3\right)=x_1^2-2x_2^2-2x_3^2-4x_1{x}_2+4x_1{x}_3+8x_2{x}_3$$

化为标准形

A = ( 1 − 2 2 − 2 − 2 4 2 4 − 2 ) , X = ( x 1 x 2 x 3 ) A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 4 \\ 2 & 4 & -2 \end{array}\right), X=\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right) A= ​1−22​−2−24​24−2​ ​,X= ​x1​x2​x3​​ ​

$A$ 的特征多项式为

f ( λ ) = ∣ λ I − A ∣ = ∣ λ − 1 2 − 2 2 λ + 2 − 4 − 2 − 4 λ + 2 ∣ = ( λ + 7 ) ( λ − 2 ) 2 , f(\lambda)=|\lambda I-A|=\left|\begin{array}{ccc} \lambda-1 & 2 & -2 \\ 2 & \lambda+2 & -4 \\ -2 & -4 & \lambda+2 \end{array}\right|=(\lambda+7)(\lambda-2)^{2}, f(λ)=∣λI−A∣= ​λ−12−2​2λ+2−4​−2−4λ+2​ ​=(λ+7)(λ−2)2,

$A$ 的特征值为 ${\lambda }_1={\lambda }_2=2,{\lambda }_3=-7.$
可求得对应的 ${\lambda }_1={\lambda }_2=2$ 特征向量分别为 $p_1=(-2,1,0{)}^T,p_2=(2,0,1{)}^T$, 将其正交化

$${\alpha }_1=p_1=(-2,1,0{)}^T,{\alpha }_2=p_2-\frac{\left(p_1,{\alpha }_1\right)}{\left({\alpha }_1,{\alpha }_1\right)}{\alpha }_1={\left(\frac{2}{3},\frac{4}{5},1\right)}^T\text{ ， }$$

再单位化得

$$q_1={\left(-\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}},0\right)}^T,q_2={\left(\frac{2}{3\sqrt{5}},\frac{4}{3\sqrt{5}},\frac{5}{3\sqrt{5}}\right)}^T,$$

又对应 ${\lambda }_3=-7$ 的特征向量为 $p_3=(-1,-2,2{)}^T$ ， 单位化得 $q_3={\left(-\frac{1}{3},-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)}^T$ ， 故正交变换

( x 1 x 2 x 3 ) = ( − 2 5 2 3 5 − 1 3 1 5 4 3 5 − 2 3 0 5 3 5 2 3 ) ( y 1 y 2 y 3 ) \left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} \frac{-2}{\sqrt{5}} & \frac{2}{3 \sqrt{5}} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{4}{3 \sqrt{5}} & -\frac{2}{3} \\ 0 & \frac{5}{3 \sqrt{5}} & \frac{2}{3} \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}\right) ​x1​x2​x3​​ ​= ​5 ​−2​5 ​1​0​35 ​2​35 ​4​35 ​5​​−31​−32​32​​ ​ ​y1​y2​y3​​ ​

将实二次型 $f\left(x_1,x_2,x_3\right)$ 化为标准形

$$f=2y_1^2+2y_2^2-7y_3^2,$$

可知方程 $f\left(x_1,x_2,x_3\right)=x_1^2-2x_2^2-2x_3^2-4x_1{x}_2+4x_1{x}_3+8x_2{x}_3=1$ 表示的曲面为单叶双曲面.

• Q2.
  判断二次曲面 $$2x^2+2y^2+3z^2+4xy+2xz+2yz-4z+6y-2z+3=0$$ 的形状.
  分析: 可先通过正交变换再通过平移变换, 将二次曲面方程化成标准形式的方程.

解:

A = ( 2 2 1 2 2 1 1 1 3 ) , B = ( − 4 6 − 2 ) , X = ( x y z ) A=\left(\begin{array}{lll} 2 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{c} -4 \\ 6 \\ -2 \end{array}\right), X=\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) A= ​221​221​113​ ​,B= ​−46−2​ ​,X= ​xyz​ ​

则二次曲面方程为 $X^{T}AX+B^{T}X+3=0.$
$A$ 的特征值为 $\lambda =2,5,0$, 对应的单位特征向量为
( 1 6 1 6 − 2 6 ) , ( 1 3 1 3 1 3 ) , ( − 1 2 1 2 0 ) , \left(\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{-2}{\sqrt{6}} \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} \frac{-1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{array}\right), ​6 ​1​6 ​1​6 ​−2​​ ​, ​3 ​1​3 ​1​3 ​1​​ ​, ​2 ​−1​2 ​1​0​ ​,

则经正交变换 $X=CY$ , 即
( x y z ) = ( 1 6 1 3 − 1 2 1 6 1 3 1 2 − 2 6 1 3 0 ) Y , \left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{-1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{-2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 \end{array}\right) Y, ​xyz​ ​= ​6 ​1​6 ​1​6 ​−2​​3 ​1​3 ​1​3 ​1​​2 ​−1​2 ​1​0​ ​Y,

二次曲面方程化为

$Y^T(C^{T}AC)Y+BCY+3=0,$

即

$$2x^2+5y^2+\sqrt{6}{x}^{\prime }+5\sqrt{2}{z}^{\prime }+3=0,$$

配方,得
$$2{\left(x^{\prime }+\frac{\sqrt{6}}{4}\right)}^2+5y^2=-5\sqrt{2}\left(z^{\prime }+\frac{9\sqrt{2}}{40}\right),$$

再经平移变换

$$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime \prime }=x^{\prime }+\frac{\sqrt{6}}{4}\\ y^{\prime \prime }=y^{\prime }\\ z^{\prime \prime }=z^{\prime }+\frac{9\sqrt{2}}{40}\end{array}$$

二次曲面方程化为 $2x^{\prime \prime 2}+5y^{\prime \prime 2}=-5\sqrt{2}{z}^{\prime \prime }$ , 是椭圆抛物面.文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-475217.html

到了这里，关于利用正交变换判断二次曲面类型的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！