【C++刷题】【动态规划篇】(一)

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一、1137. 第 N 个泰波那契数(easy)

1. 题目链接:1137.第N个泰波那契数

2. 题目描述:

泰波那契序列 Tn 定义如下:
T0 = 0, T1 = 1, T2 = 1, 且在 n >= 0 的条件下 Tn+3 = Tn + Tn+1 + Tn+2
给你整数 n,请返回第 n 个泰波那契数 Tn 的值。

3. C++算法代码:

class Solution {
public:
    int tribonacci(int n) {
        //1.状态表示 dp[i] 表⽰:第i个泰波那契数的值。
        //2.状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3]
        //3.初始化 dp[0] = 0,dp[1] = dp[2] = 1
        //4.填表顺序  左->右
        //5.返回值 dp[n]
        
		//未优化版本,时间空间均是O(n)
        if(n==0) return 0;
        if(n==1||n==2) return 1;
        vector<int>dp(n+1);
        dp[0]=0,dp[1]=dp[2]=1;
        for(int i=3;i<=n;++i)
        {
            dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]+dp[i-3];
        }
        return dp[n];
    }

};

滚动数组优化后的C++代码:

class Solution {
public:
    int tribonacci(int n) {
        //1.状态表示 dp[i]表示:第i个泰波那契数的值。
        //2.状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3]
        //3.初始化 dp[0] = 0,dp[1] = dp[2] = 1
        //4.填表顺序  左->右
        //5.返回值 dp[n]
       
		//空间复杂度优化为O(1)
        if(n==0) return 0;
        if(n==1||n==2) return 1;
        
        int a,b,c,d;
        a=0,b=c=1;
        for(int i=3;i<=n;++i)
        {
            d=a+b+c;
            a=b,b=c,c=d;
        }
        return d;

    }

};

二、三步问题(easy)

1. 题目链接:面试题 08.01. 三步问题

2. 题目描述:

三步问题。有个小孩正在上楼梯,楼梯有n阶台阶,小孩一次可以上1阶、2阶或3阶。实现一种方法,计算小孩有多少种上楼梯的方式。结果可能很大,你需要对结果模1000000007。

3. C++算法代码:

class Solution {
public:
    const int A=1e9+7;

    int waysToStep(int n) {
        //1. dp[i] 表⽰:到达i位置时,⼀共有多少种⽅法
        //2.  dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3] 
        //3. dp[1] = 1, dp[2] = 2, dp[3] = 4 
        //4. 左->右
        //5. dp[n]
        if(n==1) return 1;
        if(n==2) return 2;
        if(n==3) return 4;
        vector<int>dp(n+1);
        dp[1]=1,dp[2]=2,dp[3]=4;
        for(int i=4;i<=n;++i)
        {
            dp[i]=((dp[i-1]+dp[i-2])%A+dp[i-3])%A;
        }
        return dp[n];

    }
};

三、使用最小花费爬楼梯(easy)

1. 题目链接:746.使⽤最⼩花费爬楼梯

2. 题目描述:

给你一个整数数组 cost ,其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用,即可选择向上爬一个或者两个台阶。
你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。
请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

3. C++算法代码:

class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
        //1. dp【i】 表示走到i层阶梯需要花费的钱
        //2. 动态规划:dp[i]=min(dp[i+1]+cost[i],dp[i+2]+cost[i])
        
        //正向算
        // int n=cost.size();
        // vector<int>dp(n+1);
        // // dp[0]=dp[1]=0;
        // for(int i=2;i<=n;++i)
        // {
        //     dp[i]=min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]);
        // }
        // return dp[n];

        //逆向算
        int n=cost.size();
        vector<int>dp(n);
        dp[n-1]=cost[n-1],dp[n-2]=cost[n-2];
        for(int i=n-3;i>=0;--i)
        {
            dp[i]=min(dp[i+1]+cost[i],dp[i+2]+cost[i]);
        }
        return min(dp[0],dp[1]);
    }
};

四、解码方法(medium)

1. 题目链接:91.解码方法

2. 题目描述:

一条包含字母 A-Z 的消息通过以下映射进行了 编码 :

‘A’ -> “1”
‘B’ -> “2”

‘Z’ -> “26”
要 解码 已编码的消息,所有数字必须基于上述映射的方法,反向映射回字母(可能有多种方法)。例如,“11106” 可以映射为:

“AAJF” ,将消息分组为 (1 1 10 6) “KJF” ,将消息分组为 (11 10 6) 注意,消息不能分组为 (1 11
06) ,因为 “06” 不能映射为 “F” ,这是由于 “6” 和 “06” 在映射中并不等价。

给你一个只含数字的 非空 字符串 s ,请计算并返回 解码 方法的 总数 。

题目数据保证答案肯定是一个 32 位 的整数。

3. C++算法代码:

class Solution {
public:
    int numDecodings(string s) {
	//dp[i] 表⽰:字符串中[0,i]区间上,⼀共有多少种编码⽅法
	//当s[i]上的数在[1, 9]区间上时  dp[i] += dp[i - 1]
	//当s[i - 1]与s[i]上的数结合后,在[10, 26] 之间的时候:
	//dp[i] +=dp[i - 2] 
	
        //不带辅助数组

    //    int n=s.size();
    //    vector<int>dp(n);
    //    dp[0]=s[0]!='0';
    //    if(n==1)return dp[0];
    //    if(s[0]!='0'&&s[1]!='0') dp[1]+=1;
    //    int t=(s[0]-'0')*10+s[1]-'0';
    //    if(t>=10&&t<=26) dp[1]+=1;
    //    for(int i=2;i<n;++i)
    //    {
    //        if(s[i]!='0') dp[i]=dp[i-1];
    //        int t=(s[i-1]-'0')*10+s[i]-'0';
    //        if(t>=10&&t<=26) dp[i]+=dp[i-2]; 
    //    }
    //    return dp[n-1];

        //带辅助数组

        int n=s.size();
        vector<int>dp(n+1);
        dp[0]=1;
        if(s[0]!='0') dp[1]+=1;
        for(int i=2;i<=n;++i)
        {
            if(s[i-1]-'0') dp[i]+=dp[i-1];
            int t=(s[i-2]-'0')*10+s[i-1]-'0';
            if(t>=10&&t<=26) dp[i]+=dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
};

五、不同路径(medium)

1. 题目链接:62. 不同路径

2. 题目描述:

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 (起始点在下图中标记为 “Start” )。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角(在下图中标记为 “Finish” )。
问总共有多少条不同的路径?

【C++刷题】【动态规划篇】(一)

3. C++算法代码:

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        //dp[i][j]表⽰:⾛到[i, j] 位置处,⼀共有多少种⽅式。
        // dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];

        vector<vector<int>>dp(m,vector<int>(n,1));
        for(int i=1;i<m;++i)
        {
            for(int j=1;j<n;++j)
            {
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
};

六、不同路径II(medium)

1. 题目链接:63. 不同路径 II

2. 题目描述:

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 (起始点在下图中标记为 “Start” )。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角(在下图中标记为 “Finish”)。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径?
网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

【C++刷题】【动态规划篇】(一)

3. C++算法代码:

class Solution {
public:
    int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
        //dp[i][j] 表⽰:⾛到 [i, j] 位置处,⼀共有多少种⽅式。
        //不遇到障碍物 dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j];
        //遇到障碍物之间变为dp[i][j]=0
        int m=obstacleGrid.size();
        int n=obstacleGrid[0].size();
        vector<vector<int>>dp(m+1,vector<int>(n+1));
        dp[0][1]=1;
        for(int i=1;i<=m;++i)
        {
            for(int j=1;j<=n;++j)
            {
                if(obstacleGrid[i-1][j-1]==0)
                {
                   dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j];
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

七、礼物的最大价值(medium)

1. 题目链接:剑指 Offer 47. 礼物的最大价值

2. 题目描述:

在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物,每个礼物都有一定的价值(价值大于 0)。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物,并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值,请计算你最多能拿到多少价值的礼物?

3. C++算法代码:

class Solution {
public:
    int maxValue(vector<vector<int>>& grid) {
        //dp[i][j] 表⽰:⾛到 [i, j] 位置处,此时的最⼤价值
        // dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i-1][j-1];
        
        int m=grid.size();
        int n=grid[0].size();
        vector<vector<int>>dp(m+1,vector<int>(n+1));
        for(int i=1;i<=m;++i)
        {
            for(int j=1;j<=n;++j)
            {
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i-1][j-1];
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

八、下降路径最小和(hard)

1. 题目链接:931. 下降路径最小和

2. 题目描述:

给你一个 n x n 的 方形 整数数组 matrix ,请你找出并返回通过 matrix 的下降路径 的 最小和 。
下降路径 可以从第一行中的任何元素开始,并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列(即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素)。具体来说,位置 (row, col) 的下一个元素应当是 (row + 1, col - 1)、(row + 1, col) 或者 (row + 1, col + 1) 。

【C++刷题】【动态规划篇】(一)

3. C++算法代码:

class Solution {
public:
    int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix) {
        //dp[i][j] 表⽰:到达[i, j] 位置时,所有下降路径中的最⼩和
        // dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j +1])) + matrix[i][j]
        //最⼩值

        int n=matrix.size();

        vector<vector<int>>dp(n+1,vector<int>(n+2,INT_MAX));    //多加一行多加两列
        for(int i=0;i<n+2;++i)
        {
            dp[0][i]=0; //第一行初始化为0
        }

        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            for(int j=1;j<=n;++j)
            {
                dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1],min(dp[i-1][j],dp[i-1][j+1]))+matrix[i-1][j-1];
            }
        }
        int ret=INT_MAX;
        for(int i=0;i<=n;++i)
        {
            ret=min(ret,dp[n][i]);
        }
        return ret;
    }
};

九、最小路径和

1. 题目链接:64. 最小路径和

2. 题目描述:

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ,请找出一条从左上角到右下角的路径,使得路径上的数字总和为最小。
说明:每次只能向下或者向右移动一步。

【C++刷题】【动态规划篇】(一)

3. C++算法代码:

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        //dp[i][j] 表⽰:到达 [i, j] 位置处,最⼩路径和是多少
        //dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j]
        
        int m=grid.size();
        int n=grid[0].size();
        vector<vector<int>>dp(m+1,vector<int>(n+1,INT_MAX));
        dp[0][1]=dp[1][0]=0;
        for(int i=1;i<=m;++i)
        {
            for(int j=1;j<=n;++j)
            {
                dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i-1][j-1];
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

十、地下城游戏

1. 题目链接:174. 地下城游戏

2. 题目描述:

恶魔们抓住了公主并将她关在了地下城 dungeon 的 右下角 。地下城是由 m x n 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士最初被安置在 左上角 的房间里,他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。
骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下,他会立即死亡。
有些房间由恶魔守卫,因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数(若房间里的值为负整数,则表示骑士将损失健康点数);其他房间要么是空的(房间里的值为 0),要么包含增加骑士健康点数的魔法球(若房间里的值为正整数,则表示骑士将增加健康点数)。
为了尽快解救公主,骑士决定每次只 向右 或 向下 移动一步。
返回确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。
注意:任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁,也可能增加骑士的健康点数,包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。

【C++刷题】【动态规划篇】(一)

3. C++算法代码:

class Solution {
public:
    int calculateMinimumHP(vector<vector<int>>& dungeon) {
        //本题较为特殊  反向考虑
        //dp[i][j] 表⽰:从 [i, j] 位置出发,到达终点时所需的最低初始健康点数
        //状态转移方程
        //dp[i][j]=min(dp[i+1][j],dp[i][j+1])-dungeon[i][j];
        //同时需要考虑dp[i][j]不能小于0,如果得到的dp[i][j]=min(dp[i+1][j],dp[i][j+1])-dungeon[i][j];
        //其中dungeon[i][j]很大,是一个很大的血包,如果一个负血量的人仍能从这走到终点
        //不符合实际情况,最差要有一滴血
        //所以dp[i][j]=max(1,dp[i][j]); 把负数该为1

        int m=dungeon.size();
        int n=dungeon[0].size();

        vector<vector<int>>dp(m+1,vector<int>(n+1,INT_MAX));
        dp[m][n-1]=dp[m-1][n]=1;
        for(int i=m-1;i>=0;i--)
        {
            for(int j=n-1;j>=0;j--)
            {
                dp[i][j]=min(dp[i+1][j],dp[i][j+1])-dungeon[i][j];
                dp[i][j]=max(1,dp[i][j]);
            }
        }
        return dp[0][0];
    }
};

总结

到这里就暂时结束了,如果有问题可以私信我。

动态规划做题过程总结
//1.状态表示
//2.状态转移方程
//3.初始化
//4.填表顺序
//5.返回值
动态规划需要多做题,积累经验!!!文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-475261.html

到了这里,关于【C++刷题】【动态规划篇】(一)的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!

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    Problem: 1137. 第 N 个泰波那契数 首先我们来解读一下本题的意思🔍 相信读者在看到【泰波那契数】的时候,不禁会联想到【斐波那契数】,它们呢是一对孪生兄弟,这个 泰波那契数 相当于是 斐波那契数 的加强版 我们首先可以来看到这个递推公式 Tn+3 = Tn + Tn+1 + Tn+2 ,读者可

    2024年02月08日
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  • 动态规划-斐波那契数

    斐波那契数是一个很好的熟悉和理解动态规划的例子,通过斐波那契数可以更好的理解动态规划的精髓,动态规划是后面的计算是如何借助于前面的计算结果来加快计算速度的。 斐波那契数和斐波那契数列其实可以看成是一道题,只不过两题的限制性条件稍微有差别 斐波那

    2024年02月14日
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