二次型及其矩阵表示形式
二次型:含有n个变量的二次齐次多项式
二次型矩阵:xTAx,其中A为实对称矩阵
任给一个实二次型,就唯一确定一个实对称矩阵;反之,任给一个实对称矩阵,也可以唯一确认一个实二次型,因此,实二次型与实对称矩阵之间存在一一对应关系,称实对称矩阵A为二次型f的矩阵,二次型f称为实对称矩阵A的二次型,实对称阵的秩也称为二次型f的秩
二次型的标准型
只含平方项的二次型称为二次型的标准型
其矩阵形式为yTAy
其中A=
(
λ
1
λ
2
λ
3
)
\begin{pmatrix} \lambda1 & & \\ & \lambda2& \\ & & \lambda3 \end{pmatrix}
⎝⎛λ1λ2λ3⎠⎞y=
(
y
1
y
2
y
3
)
\begin{pmatrix} y1 \\ y2 \\ y3 \end{pmatrix}
⎝⎛y1y2y3⎠⎞
化二次型为标准型的方法
如果变换矩阵C是可逆矩阵,则称线性变换x=Cy是可逆线性变换.
对于一个二次型我们研究的主要问题是:寻求可逆线性变换x=Cy,化二次型为标准型即求 x=Cy使得
y
=
x
T
A
x
=
(
C
y
)
T
A
(
C
y
)
=
y
T
(
C
T
A
C
)
y
=
y
T
A
y
y=x^{T}Ax=(Cy)^{T}A(Cy)=y^{T}(C^{T}AC)y=y^{T}Ay
y=xTAx=(Cy)TA(Cy)=yT(CTAC)y=yTAy
也就是寻求一个可逆矩阵C使得CTAC=A,其中A为对角矩阵
正交变换法化二次型为标准型
(1)将二次型表示为矩阵形式f=xTAx(A为实对称矩阵)
(2)求出A的特征值
λ
1.....
λ
n
\lambda1.....\lambda n
λ1.....λn
(3)求出A的特征向量
(4)将特征向量正交化并单位化
(5)标准型:
f
=
λ
1
y
1
2
.
.
.
.
.
+
λ
n
y
n
2
f=\lambda 1y_{1}^{2}.....+\lambda ny_{n}^{2}
f=λ1y12.....+λnyn2
(6)交换矩阵P为A的可逆变化矩阵
配方法把二次型化成标准型
把标准矩阵化为规范型
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矩阵正定性
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