DeepXDE学习笔记【1】——简单ODE方程求解
1、背景
物理信息神经网络(PINN)自从2017年被提出，其应用范围在近两年也被挖掘的越来越广泛，除了可以解决物理方面的问题，信号处理、工程评估等等方向也开始有所涉及，所谓“物理数据双驱动”的噱头还是蛮足的，所以也算是一个比较好写论文，出成果的方向。
DeepXDE 是一个基于 Python 库开发的 PINN 框架，主要用于利用神经网络方法求解各种微分方程问题，是快速搭建物理信息神经网络的利器。
考虑到当前网络上对DeepXDE的代码讲解教程过少，毕竟没有形成诸如CNN，GAN那些主流神经网络模型的生态，官方文档也不是很完善，因此，在本系列博客将主要讲解 DeepXDE的代码，后边会包含在科研和大数据竞赛中的一些应用案例。
第一篇就还是从最简单的ODE方程求解案例开始。
2、问题提出
设有常微分方程方程组：
d
y
1
d
t
=
y
2
,
d
y
2
d
t
=
−
y
1
,
其中
t
∈
[
0
,
10
]
,
\frac{dy_1}{dt} = y_2, \qquad \frac{dy_2}{dt} = - y_1, \qquad \text{其中} \quad t \in [0,10],
dtdy1=y2,dtdy2=−y1,其中t∈[0,10],
有初始边界条件：
y
1
(
0
)
=
0
,
y
2
(
0
)
=
1.
y_1(0) = 0, \quad y_2(0) = 1.
y1(0)=0,y2(0)=1.
很显然，该问题的解应为：
y
1
=
sin
(
t
)
,
y
2
=
cos
(
t
)
y_1 = \sin(t), \quad y_2 = \cos(t)
y1=sin(t),y2=cos(t)
下面使用DeepXDE来求解该问题。
3、代码部分
代码完整链接见DeepXDE官方github案例: https://github.com/lululxvi/deepxde/blob/master/examples/pinn_forward/ode_system.py
3.1 引入相关库
import deepxde as dde
import numpy as np
安装命令：pip install deepxde
3.2 定义时间域
geom = dde.geometry.TimeDomain(0, 10)
dde.geometry.TimeDomain(t0, t1)用于定义时间域的类，用于指定微分方程求解的时间范围。
此处指定了一个从 t 0 = 0 t_{0}=0 t0=0 到 t 1 = 10 t_{1}=10 t1=10 的时间区间。
3.3 ODE 方程组定义
def ode_system(t, y):
y1, y2 = y[:, 0:1], y[:, 1:] # y1 与 y2
dy1_dt = dde.gradients.jacobian(y, t, i=0) # 计算y1相对于t的偏导
dy2_dt = dde.gradients.jacobian(y, t, i=1) # 计算y2相对于t的偏导
return [dy1_dt - y2, dy2_dt + y1] # 微分方程组的右端项
dde.gradients.jacobian(y, t, i)用于 y 对 t 求导，参数 i 表示要对第几个分量进行操作。
3.4 边界条件判断
def boundary(t, on_initial):
return np.isclose(t[0], 0)
t: 时空点坐标
on_initial: 指示当前时空点是否位于初始时刻。np.isclose(a, b)用于判断 a, b两个浮点数是否相等。
该函数意义为，首先通过 t[0] 访问时空点的第一个分量，即空间坐标，然后使用 np.isclose() 函数检查该坐标是否等于 0。如果该坐标等于 0，则认为当前时空点处于时空边界上，并返回为 True ，表示边界条件得到满足；否则返回 False，表示边界条件未得到满足。
3.5 定义初值条件
ic1 = dde.icbc.IC(geom, lambda x: 0, boundary, component=0)
ic2 = dde.icbc.IC(geom, lambda x: 1, boundary, component=1)
dde.icbc.IC(geom,function,boundary,component)用于指定微分方程组在初始时刻的状态，参数：
geom：方程组的时空范围；
function：方程组在初始时刻状态的函数；
boundary：方程组在时空边界处的边界条件；
component：分量编号，表示对第几个分量进行初值条件的指定。
在边界时空点上， y1 分量的值为 0， y2 分量的值为 1。
3.6 定义对比函数
def func(x):
return np.hstack((np.sin(x), np.cos(x)))
为OED方程求解出的真值，用于测试模型性能。
3.7 代入求解器
data = dde.data.PDE(geom, ode_system, [ic1, ic2],
35, 2, solution=func, num_test=100)
dde.data.PDE(geom, eqn, ic, num_domain, num_boundary, solution, num_test)用PDE求解器解决OED问题，参数：
geom：时空范围；
eqn：方程组的数学表达式；
ic：初值条件，可以是一个 IC 对象或一个包含多个 IC 对象的列表；
num_domain：将时空范围分成多少个小块进行求解；
num_boundary：在时空范围的边界处采样多少个点作为边界条件；
solution：微分方程组的解析解，用于测试求解结果的准确性；
num_test：在测试求解结果准确性时采样多少个点。
3.8 定义网络结构
layer_size = [1] + [50] * 3 + [2]
activation = "tanh"
initializer = "Glorot uniform"
net = dde.nn.FNN(layer_size, activation, initializer)
dde.nn.FNN(layer_size, activation, initializer)使用前馈神经网络，参数：
layer_size：用list表示神经网络每层的神经元数量，包括输入层、隐藏层和输出层；
activation：神经网络的激活函数类型；
initializer：神经网络的权重初始化方式。
3.9 模型编译
model = dde.Model(data, net)
model.compile(optimizer = "adam", lr=0.001, metrics=["l2 relative error"])
自定义模型优化器，学习率，损失函数，以及评价方法。
3.9 开启训练
losshistory, train_state = model.train(iterations=20000)
自定义迭代次数。
在使用 DeepXDE 训练 PINN 模型时，输出结果一般包括以下几个部分：
Step：表示当前训练的步数；
Train loss：表示训练集上的损失值，是一个长度为 4 的列表，包括四个部分：总损失、PDE 部分的损失、初始条件部分的损失和边界条件部分的损失；
Test loss：表示测试集上的损失值，含义与训练集相同；
Test metric：表示测试集上的评估指标。
输出结果：
文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-475598.html
3.10 绘图展示性能
dde.saveplot(losshistory, train_state, issave=False, isplot=True)
损失函数及其性能评估得分变化图：
求解结果与预期结果对比图：
文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-475598.html
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