运用自回归滑动平均模型、灰色预测模型、BP神经网络三种模型分别预测全球平均气温，并进行预测精度对比（附代码、数据）

        大家好，我是带我去滑雪，每天教你一个小技巧！全球变暖是近十年来，人们关注度最高的话题。2022年夏天，蔓延全球40℃以上的极端天气不断刷新人们对于高温的认知，人们再也不会像从前那样认为全球变暖离我们遥不可及。在此背景下，基于1880年-2022年全球平均气温时间序列数据，分别构建出ARIMA(3,1,2)自回归模型、灰色预测模型、BP神经网络三种模型，并分别对2050、2100年全球平均温度进行了预测，并将三种预测模型的预测效果进行了对比，文中所用数据和代码均可在文末获取。

目录

 1   模型介绍

1.1  自回归滑动平均模型

 1.2  灰色预测模型

1.3 BP神经网络模型

 2  结果分析

2.1  数据可视化

 2.2  自回归移动平均模型及预测

2.2.1 全球平均温度变化趋势分析

2.2.2  一阶差分

 2.2.3  判断ARIMA自相关模型参数

 2.2.4  利用ARIMA自相关模型进行预测

 2.3  GM(1,1)模型预测

2.3.1 GM(1,1)模型建立与检验

2.3.2 GM(1,1)模型预测结果分析

 2.4 BP神经网络模型预测

2.4.1 BP神经网络训练

 3 三种模型预测比较

 1   模型介绍

1.1  自回归滑动平均模型

        差分运算可以提取确定性的信息，一些非平稳序列差分后会显示出平稳序列的性质，此时这个序列也被称为差分平稳序列，可用ARIMA模型进行拟合。具有如下结构的模型被称为求和自回归移动平均模型，简记为ARIIMA（p,d,q）模型：

 1.2  灰色预测模型

       灰色预测模型（GM）的主要特点是模型使用的不是原始数据序列，而是生产的数据序列。其核心体系是灰色模型，即对原始数据作累加生成得到近似的规律，建立有规律的生成数列的回归方程，并应用该方程对研究对象动态发展趋势进行预测。再进行建模型。本文选取灰色预测模型中的GM(1,1)，GM(1,1)灰色预测模型以时间序列数据为基础，它表示模型是一阶微分方程，并且只含有一个变量。

     通过GM(1,1)模型就可指定时区内的预测值，根据实际问题需要，给出相应的预测。

1.3 BP神经网络模型

       BP神经网络是一种多层前馈神经网络，该网络的主要特点是信号向前传递，误差反向传播。在向前传递中输入信号从输入层经隐含层逐层处理，直至输出层，每一层的神经元状态只影响下一层的神经元状态。如果输出层得不到期望输出，则再反向传播，根据预测误差调整网络权重和阈值，从而使BP神经网络预测输出不断逼近期望输出。BP神经网络的拓扑结构如图1所示。

 2  结果分析

2.1  数据可视化

       利用1880-2022年全球平均气温数据，通过R画出了全球平均气温逐年数据序列图和近十年全球平均气温变化图，分别如图2、图3所示。

        通过图2和3可以看出，全球平均气温从总体上呈现递增趋势，特别是1960年到2022年，其增长幅度与1960年以前相比更大。2022年3月的全球平均气温达到14.91℃，结合最近十年的全球平均气温变化，我们可以得出2022年3月全球气温的升高导致了比以往10年期间观察到的全球平均气温具有更大的增长。

 2.2  自回归移动平均模型及预测

2.2.1 全球平均温度变化趋势分析

      通过图2可以看出，该时间序列数据具有递增趋势，表现为不平稳。

2.2.2  一阶差分

     将全球平均气温数据进行一阶差分，差分后的序列趋于平稳，其结果见图4所示。

 2.2.3  判断ARIMA自相关模型参数

       一阶差分后序列的自相关系数与偏自相关系数见图5，结合图像特征，尝试用ARIMA(0,1,1)、ARIMA(2,1,1)、ARIMA(3,1,2)模型进行拟合。通过AIC准则和BIC准则对三个模型进行评估，最终选取ARIMA(3,1,2)模型进行预测。

 2.2.4  利用ARIMA自相关模型进行预测

       利用ARIMA(3,1,2)模型预测分别预测2050年、2100年的全球平均温度分别为15.12℃、15.51℃，达不到20℃。各自的预测图像见图6、图7。

 数据可视化代码

setwd("D:/Desktop")

#1880开始

data<-read.csv("shuju.csv",header=TRUE,sep=',',fileEncoding='utf-8')

wendu<-ts(data$Average,start = 1880,frequency = 1)

plot(wendu,type="p",pch=8,xlim=c(1880,2022),xlab ="Time/year", ylab ="Global Mean Temperature/℃")

lines(wendu,col=5,lwd=2)

#2012开始

data<-read.csv("12.csv",header=TRUE,sep=',',fileEncoding='utf-8')

wendu<-ts(data$Average,start = 2012,frequency = 1)

plot(wendu,type="p",pch=8,xlim = c(2012,2022),xlab ="Time/year", ylab ="Global Mean Temperature/℃")

lines(wendu,col=4,lwd=2)

ARIMA时间序列模型代码

install.packages("fUnitRoots")

install.packages("tseries")

install.packages("forecast")

library(forecast)

library(tseries)

library(fUnitRoots)

mydata=read.csv("C:/Users/hasee/Desktop/data.txt")

sjxlmydata=ts(mydata,start=1881,end = 2022,frequency = 1)

sjxlmydata

plot.ts(sjxlmydata,xlab = "Time(year)",col="blue",ylab = "Global average temperature(℃)",

        main="Global annual mean temperature time series")

length(sjxlmydata)

unitrootTest(sjxlmydata)

dsjxlmydata=diff(sjxlmydata)

dsjxlmydata

plot.ts(dsjxlmydata,xlab = "Time(year)",col="blue",ylab = "The global average temperature after one difference(℃)",

        at=c(1880,1900,1920,1940,1960,1980,2000,2020,2022),main="Differential time series of global annual mean temperature")

axis(side = 2,at=c(-0.2,-0.1,0,0.1,0.2))

Acf(dsjxlmydata,col="purple",lwd=2,,xlab = "Lag period",ylab = "Range of fluctuation",main="ACF")

Pacf(dsjxlmydata,,col="purple",lwd=2,,xlab = "Lag period",ylab = "Range of fluctuation",main="PACF")

unitrootTest(dsjxlmydata)

library(forecast)

fit=auto.arima(sjxlmydata)

fit

qqnorm(fit$residuals)

qqline(fit$residuals)

forecast(fit,28)

plot(forecast(fit,28),col="red",at=c(1880,1900,1920,1940,1960,1980,2000,2020,2022,2050),lwd=2,xlab = "Time(year)",

     main="ARIMA(3,1,2)is used to forecast

     the global average temperature in 2050",ylab = "Global average temperature(℃)",shadecols="oldstyle",axis=(40))

axis(side = 2,at=c(0,5,10,15,20))

plot(forecast(fit,100),col="red",at=c(1880,920,960,2000,2040,2060,2100),lwd=2,xlab = "Time(year)",

     ,main="ARIMA(3,1,2)is used to forecast

     the global average temperature in 2100",ylab = "Global average temperature(℃)",shadecols="oldstyle",axis=(40))

axis(side = 2,at=c(0,5,10,15,20))

plot(forecast(fit,652),col="red",at=c(1880,1980,2080,2200,2300,2400,2500,2600,2674),lwd=2,xlab = "Time(year)",

     main="

Arima (3,1,2) model is used to predict when the

     global average temperature will reach 20 °C",ylab = "Global average temperature(℃)",shadecols="oldstyle",axis=(40))

axis(side = 2,at=c(0,3,6,9,12,15,18,20))

abline(v=2672,h=20,lty=2,col="purple")

library(forecast)

library(tseries)

library(fUnitRoots)

mydata=read.csv("C:/Users/hasee/Desktop/data1.txt")

sjxlmydata=ts(mydata,start=2023,end=2267,frequency = 1)

sjxlmydata

plot.ts(sjxlmydata,xlab="Time(year)",col="blue",ylab="Global average temperature(℃)",lwd=2,at=c(2023,2050,2100,2150,2200,2268),main="BP neural network predictive value")

axis(side=2,at=c(0,3,6,9,12,15,18,20))

abline(v=2268,h=20,lty=2,col="purple")

 2.3  GM(1,1)模型预测

2.3.1 GM(1,1)模型建立与检验

        利用Python进行编程，实现GM(1,1)模型，模型的各种检验指标的计算结果见表1。经过验证，该模型的精度较高，可以进行预测。

表1 GM(1,1)模型检验表

2.3.2 GM(1,1)模型预测结果分析

    通过建立的GM(1,1)模型分别预测得到2050年和2100年全球平均气温为15.90℃、17.50℃，具体结果见代码模块。

灰色预测模型代码

import matplotlib.pyplot as plt

import pandas as pd

import numpy as np

def GM11(x,n):

    x1 = x.cumsum()#一次累加 

    z1 = (x1[:len(x1) - 1] + x1[1:])/2.0#紧邻均值 

    z1 = z1.reshape((len(z1),1)) 

    B = np.append(-z1,np.ones_like(z1),axis=1) 

    Y = x[1:].reshape((len(x) - 1,1))

    #a为发展系数 b为灰色作用量

    [[a],[b]] = np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(B.T, B)), B.T), Y)#计算待估参数 

    result = (x[0]-b/a)*np.exp(-a*(n-1))-(x[0]-b/a)*np.exp(-a*(n-2))  #预测方程

    S1_2 = x.var()#原序列方差

    e = list()#残差序列

    for index in range(1,x.shape[0]+1):

        predict = (x[0]-b/a)*np.exp(-a*(index-1))-(x[0]-b/a)*np.exp(-a*(index-2))

        e.append(x[index-1]-predict)

        print(predict)    #预测值

    S2_2 = np.array(e).var()#残差方差

    C = S2_2/S1_2#后验差比

    if C<=0.35:

        assess = '后验差比<=0.35，模型精度等级为好'

    elif C<=0.5:

        assess = '后验差比<=0.5，模型精度等级为合格'

    elif C<=0.65:

        assess = '后验差比<=0.65，模型精度等级为勉强'

    else:

        assess = '后验差比>0.65，模型精度等级为不合格'

    #预测数据

    predict = list()

    for index in range(x.shape[0]+1,x.shape[0]+n+1):

        predict.append((x[0]-b/a)*np.exp(-a*(index-1))-(x[0]-b/a)*np.exp(-a*(index-2)))

        #print((x[0]-b/a)*np.exp(-a*(index-1)))

        #print((x[0]-b/a)*np.exp(-a*(index-2)))

    predict = np.array(predict)

    return {

            'a':{'value':a,'desc':'发展系数'},

            'b':{'value':b,'desc':'灰色作用量'},

            'predict':{'value':result,'desc':'第%d个预测值'%n},

            'C':{'value':C,'desc':assess},

            'predict':{'value':predict,'desc':'往后预测%d个的序列'%(n)},

            }

if __name__ == "__main__":

    data = np.array([14.6,14.68,14.73,14.8,14.75,14.96,14.98,14.9,14.85,14.91])

    x = data[0:5]#数据

    y = data[0:]#预测数据

    result = GM11(x,38)

    predict = result['predict']['value']

    predict = np.round(predict,1)

    print('真实值:',y)

    print('预测值:',predict)

    print(result)

plt.plot( data, color='r', linestyle="-", marker='*', label='True')

plt.plot(predict, color='b', linestyle="--", marker='.', label="Predict")

plt.legend(loc='upper right')

plt.xlabel('xlabel')

plt.ylabel('ylabel')

plt.title('Prediction by Grey Model (GM(1,1))')

plt.show()

#利用GM(1,1)模型预测2050年全球平均温度结果：

（14.670223149836602

14.69807920745643

14.725988158610562

14.753950103731768

14.78196514345018

真实值: [14.6  14.68 14.73 14.8  14.75 14.96 14.98 14.9  14.85 14.91]

预测值: [14.8 14.8 14.9 14.9 14.9 15.  15.  15.  15.  15.1 15.1 15.1 15.2 15.2

 15.2 15.2 15.3 15.3 15.3 15.4 15.4 15.4 15.4 15.5 15.5 15.5 15.6 15.6

 15.6 15.6 15.7 15.7 15.7 15.8 15.8 15.8 15.9 15.9]

{'a': {'value': -0.0018970157440081903, 'desc': '发展系数'}, 'b': {'value': 14.656445941555171, 'desc': '灰色作用量'}, 'predict': {'value': array([14.81003338, 14.83815491, 14.86632984, 14.89455827, 14.9228403 ,

       14.95117603, 14.97956556, 15.008009  , 15.03650646, 15.06505802,

       15.09366379, 15.12232389, 15.1510384 , 15.17980744, 15.2086311 ,

       15.2375095 , 15.26644273, 15.2954309 , 15.32447411, 15.35357247,

       15.38272608, 15.41193505, 15.44119949, 15.47051948, 15.49989516,

       15.52932661, 15.55881395, 15.58835728, 15.6179567 , 15.64761233,

       15.67732427, 15.70709263, 15.73691751, 15.76679903, 15.79673728,

       15.82673238, 15.85678444, 15.88689356]), 'desc': '往后预测38个的序列'}, 'C': {'value': 0.32196000409798153, 'desc': '后验差比<=0.35，模型精度等级为好'}}）

#利用GM(1,1)模型预测2100年全球平均温度结果：

14.670223149836602

14.69807920745643

14.725988158610562

14.753950103731768

14.78196514345018

真实值: [14.6  14.68 14.73 14.8  14.75 14.96 14.98 14.9  14.85 14.91]

预测值: [14.8 14.8 14.9 14.9 14.9 15.  15.  15.  15.  15.1 15.1 15.1 15.2 15.2

 15.2 15.2 15.3 15.3 15.3 15.4 15.4 15.4 15.4 15.5 15.5 15.5 15.6 15.6

 15.6 15.6 15.7 15.7 15.7 15.8 15.8 15.8 15.9 15.9 15.9 15.9 16.  16.

 16.  16.1 16.1 16.1 16.2 16.2 16.2 16.3 16.3 16.3 16.3 16.4 16.4 16.4

 16.5 16.5 16.5 16.6 16.6 16.6 16.7 16.7 16.7 16.8 16.8 16.8 16.8 16.9

 16.9 16.9 17.  17.  17.  17.1 17.1 17.1 17.2 17.2 17.2 17.3 17.3 17.3

 17.4 17.4 17.4 17.5]

{'a': {'value': -0.0018970157440081903, 'desc': '发展系数'}, 'b': {'value': 14.656445941555171, 'desc': '灰色作用量'}, 'predict': {'value': array([14.81003338, 14.83815491, 14.86632984, 14.89455827, 14.9228403 ,

       14.95117603, 14.97956556, 15.008009  , 15.03650646, 15.06505802,

       15.09366379, 15.12232389, 15.1510384 , 15.17980744, 15.2086311 ,

       15.2375095 , 15.26644273, 15.2954309 , 15.32447411, 15.35357247,

       15.38272608, 15.41193505, 15.44119949, 15.47051948, 15.49989516,

       15.52932661, 15.55881395, 15.58835728, 15.6179567 , 15.64761233,

       15.67732427, 15.70709263, 15.73691751, 15.76679903, 15.79673728,

       15.82673238, 15.85678444, 15.88689356, 15.91705985, 15.94728342,

       15.97756438, 16.00790284, 16.0382989 , 16.06875268, 16.09926429,

       16.12983384, 16.16046143, 16.19114717, 16.22189119, 16.25269358,

       16.28355445, 16.31447393, 16.34545212, 16.37648913, 16.40758507,

       16.43874006, 16.46995421, 16.50122762, 16.53256042, 16.56395271,

       16.59540462, 16.62691624, 16.6584877 , 16.6901191 , 16.72181057,

       16.75356222, 16.78537415, 16.81724649, 16.84917936, 16.88117285,

       16.91322709, 16.9453422 , 16.9775183 , 17.00975548, 17.04205388,

       17.07441361, 17.10683478, 17.13931752, 17.17186193, 17.20446814,

       17.23713627, 17.26986642, 17.30265872, 17.33551329, 17.36843025,

       17.4014097 , 17.43445178, 17.4675566 ]), 'desc': '往后预测88个的序列'}, 'C': {'value': 0.32196000409798153, 'desc': '后验差比<=0.35，模型精度等级为好'}}

 2.4 BP神经网络模型预测

2.4.1 BP神经网络训练

       将全球平均气温数据进行数据预处理后得到138个样本，选取120个作为训练集，18个作为测试集进行BP神经网络训练。训练表现和训练结果分别见图8、图9，根据得到的结果，判断是否满足需求，一般是模型的MSE值越小，R值越接近1。结合图像可以看出，BP神经网络的训练结果较好，可以进行预测。

        利用BP神经网络进行预测，其预测结果见表2，从表中可以看出2050年全球平均温度的预测值为14.89℃，2100年全球平均温度的预测为15.55℃，二者均未达到20℃。

表2 BP神经网络预测值

BP神经网络模型代码

close all

clc

input=a;

output=b;

input_train = input(1:120,:)';

output_train =output(1:120,:)';

input_test = input(121:138)';

output_test =output(121:138,:)';

inputnum=2; % 输入层节点数量

hiddennum=5;% 隐含层节点数量

outputnum=1; % 输出层节点数量

 [inputn,inputps]=mapminmax(input_train);%归一化到[-1,1]之间，inputps用来作下一次同样的归一化

[outputn,outputps]=mapminmax(output_train);

net=newff(inputn,outputn,hiddennum,{'tansig','purelin'},'trainlm'); W1= net. iw{1, 1};

B1 = net.b{1};

W2 = net.lw{2,1};

B2 = net. b{2};

net.trainParam.epochs=1000;    % 训练次数，这里设置为1000次

net.trainParam.lr=0.01;         % 学习速率，这里设置为0.01

net.trainParam.goal=0.00001;    % 训练目标最小误差，这里设置为0.00001

net=train(net,inputn,outputn);

inputn_test=mapminmax('apply',input_test,inputps);

an=sim(net,inputn_test);

test_simu=mapminmax('reverse',an,outputps);

error=test_simu-output_test;

figure('units','normalized','position',[0.119 0.2 0.38 0.5])

plot(output_test,'bo-','markersize',10,'markerfacecolor','b')

hold on

plot(test_simu,'rs-','markersize',10,'markerfacecolor','r')

grid on%添加网格

legend('期望值','预测值','误差')

xlabel('数据组数')

ylabel('样本值')

title('BP神经网络测试集的预测值')

[c,l]=size(output_test);

MAE1=sum(abs(error))/l;

MSE1=error*error'/l;

RMSE1=MSE1^(1/2);

disp(['-----------------------误差计算--------------------------'])

disp(['隐含层节点数为',num2str(hiddennum),'时的误差结果如下：'])

disp(['平均绝对误差MAE为：',num2str(MAE1)])

disp(['均方误差MSE为：       ',num2str(MSE1)])

disp(['均方根误差RMSE为：  ',num2str(RMSE1)])

 3 三种模型预测比较

        ARIMA自回归预测模型的预测效果可以通过残差分布来确定，良好的ARIMA自回归预测模型的残差应满足均值为零的正态分布，即QQ-Plot图像近似为过原点的一条直线，则残差服从正态分布且均值为零。通过图11可以看出ARIMA(3,1,2)模型的预测效果较好，但在首尾两端仍有部分点未落在直线上。通过表3可以看出GM（1，1）模型的预测精度也较好，但由于灰色预测只用了原始数据的很小一部分数据进行预测，预测效果不如另外两个模型精准。通过图12，我们可以看出BP神经网络的误差直方图基本服从正态分布，预测效果较好。因此，经过对比，认为BP神经网络的预测效果最佳。 

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