题目描述
经过重重笔试面试的考验,小明成功进入 Macrohard 公司工作。
今天小明的任务是填满这么一张表:
表有 n 行 n 列,行和列的编号都从 1 算起。
其中第 ii 行第 jj 个元素的值是 gcd(i,j) 的平方,gcd 表示最大公约数,以下是这个表的前四行的前四列:
1 1 1 1 1 4 1 4 1 1 9 1 1 4 1 16
小明突然冒出一个奇怪的想法,他想知道这张表中所有元素的和。 由于表过于庞大,他希望借助计算机的力量。
输入格式
一行一个正整数 n 意义见题。
输出格式
一行一个数,表示所有元素的和。由于答案比较大,请输出模1000000007(即109+7)后的结果。
输入输出样例
输入 #1复制
4输出 #1复制
48说明/提示
对于 30\%30% 的数据,n\le 1000n≤1000。
存在 10\%10% 的数据,n = 10^5n=105。
对于 60\%60% 的数据,n\le 10^6n≤106。
对于 100\%100% 的数据,n\le 10^7n≤107。
解题思路:要求∑∑gcd(i,j)²,
枚举最大公约数d,∑d∑∑(gcd(i,j)²==d)
把d替换成d²,∑d²∑∑(gcd(i,j)==d)
又(i/gcd(i,j))*(j/gcd(i,j))=1,上式化为
第三个求和可以用欧拉函数表示,即文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-477746.html
接下来线性筛法求欧拉函数然后前缀和即可。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-477746.html
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int N=1e7+5; int presum[N]; vector<int>prime; bool vis[N]; int phi[N]; void get_phi(int n) { phi[1]=1; for(int i=2;i<=n;i++) { if(!vis[i]) { phi[i]=i-1; prime.emplace_back(i); } for(int j=0;j<prime.size()&&i*prime[j]<=n;j++) { vis[i*prime[j]]=true; if(i%prime[j]==0) { phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break; } else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1); } } } int main( ) { ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); int n;cin>>n; int mod=1e9+7; get_phi(n); for(int i=1;i<=n;i++) { presum[i]=presum[i-1]+phi[i];presum[i]%=mod; } ll ans=0; for(ll i=1;i<=n;i++) { ans=(ans+((i*i%mod)*(presum[n/i]*2-1))%mod)%mod; } cout<<ans; return 0; }
到了这里,关于[蓝桥杯 2018 国 B] 矩阵求和的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!