目录
动态规划
动态规划思维(基础)
状态表示(最重要)
状态转移方程(最难)
初始化(细节)
填表顺序(细节)
返回值(结果)
解码方法⭐⭐
【题目解析】
【算法原理】
C++ 算法代码
复杂度分析
【空间优化 - 滚动数组】
C++ 算法代码
复杂度分析
【DP边界、初始化技巧】
C++ 算法代码
【空间优化 - 滚动数组】
C++ 算法代码
不同路径⭐⭐
【题目解析】
【算法原理】
C++ 算法代码
复杂度分析
【DP边界、初始化】
C++ 算法代码
【空间优化 - 滚动数组】
C++ 算法代码
复杂度分析
不同路径Ⅱ⭐⭐
【算法原理】
C++ 算法代码
复杂度分析
【DP边界、初始化】
【空间优化 - 滚动数组】
C++ 算法代码
复杂度分析
礼物的最大价值⭐⭐
【算法原理】
C++ 算法代码
复杂度分析
【DP边界、初始化】
【空间优化 - 滚动数组】
C++ 算法代码
复杂度分析
下降路径最小和⭐⭐
【算法原理】
C++ 算法代码
复杂度分析
【空间优化 - 滚动数组】
C++ 算法代码
复杂度分析
最小路径和⭐⭐
【算法原理】
C++ 算法代码
复杂度分析
【DP边界、初始化】
【空间优化 - 滚动数组】
C++ 算法代码
复杂度分析
动态规划
动态规划思维(基础)
动态规划一般会先定义一个dp表,dp表一般为一维数组 / 二位数组。如:一维数组,会先创建一个一维数组(dp表),接下来就是想办法将这个dp填满,而填满之后里面的某一个值就是最终结果。
状态表示(最重要)
#问:是什么?
- 就是dp[i]所代表的含义。
#问:怎么来?
- 题目要求。
- 经验 + 题目要求。
- 分析问题的过程中,发现重复子问题。
状态转移方程(最难)
#问:是什么?
- dp[i] = ?。
初始化(细节)
#问:有什么作用?
- 保证填表的时候不越界。
dp表是根据状态转移方程进行的,而状态转移方程是通过已有状态推出未知状态。
填表顺序(细节)
#问:有什么作用?
- 为了填写当前状态的时候,所需要的状态已经计算过了。
返回值(结果)
题目要求 + 状态表示。
解码方法⭐⭐
91. 解码方法 - 力扣(LeetCode)
【题目解析】
dp[i] 表示:字符串中 [0,i] 区间上,⼀共有多少种编码方法。
【算法原理】
#:状态表示:
#:状态转移方程:
- 让 i 位置上的数单独解码成一个字母,成功:dp[i] += dp[i - 1],失败:dp[i] += 0
- 让 i 位置上的数与 i - 1 位置上的数结合,解码成一个字母,成功:dp[i] += dp[i - 2],失败:dp[i] += 0
#:初始化:
从我们的递推公式可以看出, dp[i] 在 i = 0 以及 i = 1 的时候是没有办法进行推导的,因为 dp[-2] 或 dp[-1] 不是⼀个有效的数据。 因此我们需要在填表之前,将 0, 1 位置的值初始化。
#:填表顺序:
毫⽆疑问是「从左往右」 。
#:返回值:
应该返回 dp[n - 1] 的值,表示在 [0, n - 1] 区间上的编码方法。
C++ 算法代码
使用⼀维数组:
class Solution {
public:
int numDecodings(string s) {
// 处理边界情况
if(s[0] == '0' || s.empty()) return 0;
if(s.size() == 1) return 1;
// 1、创建dp表
vector<int> dp(s.size(), 0);
// 2、初始化
dp[0] = 1;
if(s[1] == '0' && s.substr(0, 2) > "26") dp[1] = 0;
else if(s[1] == '0' && s.substr(0, 2) <= "26") dp[1] = 1;
else if(s.substr(0, 2) > "26") dp[1] = 1;
else dp[1] = 2;
// 3、填表
for(int i = 2; i < s.size(); i++)
{
if(s[i] != '0')
dp[i] += dp[i - 1];
// 计算两位组成是否合格
if(s[i - 1] != '0' && s.substr(i - 1, 2) <= "26")
dp[i] += dp[i - 2];
}
// 4、返回值
return dp[s.size() - 1];
}
};
复杂度分析
- 时间复杂度:O(n),一层for循环。
- 空间复杂度:O(n)。
【空间优化 - 滚动数组】
通过上述图可以发现。
dp[i]是只与前两个元素相关,所以我们可以将代码写为如下:
C++ 算法代码
class Solution {
public:
int numDecodings(string s) {
// 处理边界情况
if(s[0] == '0' || s.empty()) return 0;
if(s.size() == 1) return 1;
// 1、创建dp表
vector<int> dp(2, 0);
// 2、初始化
dp[0] = 1;
if(s[1] == '0' && s.substr(0, 2) > "26") dp[1] = 0;
else if(s[1] == '0' && s.substr(0, 2) <= "26") dp[1] = 1;
else if(s.substr(0, 2) > "26") dp[1] = 1;
else dp[1] = 2;
// 3、填表
for(int i = 2; i < s.size(); i++)
{
int tmp = 0;
if(s[i] != '0')
tmp += dp[1];
// 计算两位组成是否合格
if(s[i - 1] != '0' && s.substr(i - 1, 2) <= "26")
tmp += dp[0];
dp[0] = dp[1], dp[1] = tmp;
}
// 4、返回值
return dp[1];
}
};
复杂度分析
- 时间复杂度:O(n),一层for循环。
- 空间复杂度:O(1)。
【DP边界、初始化技巧】
在上述的代码中可以发现,代码的初始化写的好长,并且尤其是对于dp[1]的初始化和后续的dp[i]填表的相似度非常的高。那岂不是将初始化dp[1]部分放到填表的环节里更好!
也就是在DP中经常会出现处理,边界复杂、繁琐的情况,而为了能更好的处理这种类似的情况,是由一个技巧的:就是将整个dp表统一向后移动一位,也就是多开一个位置。
虚拟位置的作用。
越过令人讨厌的dp[1],让其在填表里面去搞定。这个看似是很舒服的,但是我们需要注意两个注意事项:
- 虚拟节点里面的值,要保证后面的填表的值是正确的。
- 下标的映射关系。
分析上述,根据填表的规则,并且由于原dp[1]变为现在的dp[2],所以是dp[2] = dp[0] + dp[1]。而dp[1]完完全全就是我们初始化的,所以不会出错,于是就看dp[0]。而dp[0]是我们进行虚拟出来的,于是其的值是至关重要的。
一般情况下新增的虚拟位置都是0,但是此处不一样。此处如果dp[1] + dp[2]位置的值符合解码为字母,那么就需要加上dp[0]的值,所以证明是找到了一种解码方式,那么就是1,于是dp[0] = 1。
C++ 算法代码
class Solution {
public:
int numDecodings(string s) {
// 处理边界情况
if(s[0] == '0' || s.empty()) return 0;
if(s.size() == 1) return 1;
// 1、创建dp表
vector<int> dp(s.size() + 1, 0);
// 2、初始化
dp[0] = 1, dp[1] = 1;
// 3、填表
for(int i = 1; i < s.size(); i++)
{
if(s[i] != '0')
dp[i + 1] += dp[i];
// 计算两位组成是否合格
if(s[i - 1] != '0' && s.substr(i - 1, 2) <= "26")
dp[i + 1] += dp[i - 1];
}
// 4、返回值
return dp[s.size()];
}
};
【空间优化 - 滚动数组】
C++ 算法代码
class Solution {
public:
int numDecodings(string s) {
if(s[0] == '0' || s.empty()) return 0;
if(s.size() == 1) return 1;
// 1、创建dp表
vector<int> dp(2, 0);
// 2、初始化
dp[0] = 1, dp[1] = 1;
// 3、填表
for(int i = 1; i < s.size(); i++)
{
int tmp = 0;
if(s[i] != '0')
tmp += dp[1];
// 计算两位组成是否合格
if(s[i - 1] != '0' && s.substr(i - 1, 2) <= "26")
tmp += dp[0];
dp[0] = dp[1], dp[1] = tmp;
}
// 4、返回值
return dp[1];
}
};
不同路径⭐⭐
62. 不同路径 - 力扣(LeetCode)
【题目解析】
dp[i][j]表示:到达 [i, j] 位置的路径个数。
【算法原理】
#:状态表示:
- 从 [i, j] 位置出发,……;
- 从起始位置出发,到达 [i, j] 位置,……。
#:状态转移方程:
- 从 [ i, j ] 位置的上方( [ i - 1, j ] 的位置)向下走⼀步,转移到 [ i, j ] 位置
- 从 [ i, j ] 位置的左方( [ i, j - 1 ] 的位置)向右走⼀步,转移到 [ i, j ] 位置
#:初始化:
#:填表顺序:
根据「状态转移方程」的推导来看,填表的顺序就是「从上往下」填每⼀行,在填写每⼀行的时候「从左往右」。
#:返回值:
根据「状态表示」,我们要返回 dp[m - 1][n - 1] 的值。
C++ 算法代码
class Solution {
public:
int uniquePaths(int m, int n) {
// 处理边界情况
if(m == 1 && n == 1) return 1;
// 1、创建dp表
vector<vector<int>> dp(m, vector(n, 0));
// 2、初始化
for(auto& v : dp[0]) v = 1;
for(int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
// 3、填表
for(int i = 1; i < m; i++)
{
for(int j = 1; j < n; j++)
{
dp[i][j] += dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j];
}
}
// 4、返回值
return dp[m -1][n - 1];
}
};
复杂度分析
- 时间复杂度:O(n*m),两层for循环。
- 空间复杂度:O(n*m)。
【DP边界、初始化】
可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」,帮助我们初始化。使用这种技巧要注意两个点:
- 辅助结点里面的值要「保证后续填表是正确的」。
- 「下标的映射关系」。
在上述的代码中可以发现,代码的初始化需要写两个for循环,无疑也是麻烦的,所以采用DP边界、初始化技巧无疑是很好的。通过上述分析可以发现,由于第一行与第一列,在状态转移方程中 [i - 1]、[j - 1]的越界而导致无法进入填表环节 —— 所以采取多一行,多一列。
将上述的两个for循环初始化值引入:
而这个初始化的原因就是第一行只能从左往右,第一列只能从上往下 —— 所以重点是有效范围内的第一个元素为1。
在本题中,添加一行,并且添加⼀列后,只需将 dp[1][0] 的位置初始化为 1 或 将 dp[0][1] 的位置初始化为 1 即可。
C++ 算法代码
class Solution {
public:
int uniquePaths(int m, int n) {
// 处理边界情况
if(m == 1 && n == 1) return 1;
// 1、创建dp表
vector<vector<int>> dp(m + 1, vector(n + 1, 0));
// 2、初始化
dp[0][1] = 1;
// dp[1][0] = 1;
// 3、填表
for(int i = 1; i < m + 1; i++)
{
for(int j = 1; j < n + 1; j++)
{
dp[i][j] += dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j];
}
}
// 4、返回值
return dp[m][n];
}
};
【空间优化 - 滚动数组】
C++ 算法代码
class Solution {
public:
int uniquePaths(int m, int n) {
// 处理边界情况
if(m == 1 && n == 1) return 1;
// 1、创建dp表
vector<int> dp(n + 1, 0);
// 2、初始化
dp[1] = 1;
// 3、填表
for(int i = 1; i < m + 1; i++)
{
for(int j = 0; j < n + 1; j++)
{
if(j != 0)
{
dp[j] += dp[j - 1];
}
}
}
// 4、返回值
return dp[n];
}
};
复杂度分析
- 时间复杂度:O(n*m),两层for循环。
- 空间复杂度:O(n)。
不同路径Ⅱ⭐⭐
63. 不同路径 II - 力扣(LeetCode)
【算法原理】
#:状态表示:
- 从 [i, j] 位置出发,……;
- 从起始位置出发,到达 [i, j] 位置,……。
#:状态转移方程:
- 从 [ i, j ] 位置的上方( [ i - 1, j ] 的位置)向下走⼀步,转移到 [ i, j ] 位置
- 从 [ i, j ] 位置的左方( [ i, j - 1 ] 的位置)向右走⼀步,转移到 [ i, j ] 位置
#:初始化:
#:填表顺序:
根据「状态转移方程」的推导来看,填表的顺序就是「从上往下」填每⼀行,在填写每⼀行的时候「从左往右」。
#:返回值:
根据「状态表示」,我们要返回 dp[m - 1][n - 1] 的值。
C++ 算法代码
class Solution {
public:
int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
int row = obstacleGrid.size();
int col = obstacleGrid[0].size();
// 处理边界情况
if(row == 1 && col == 1 && obstacleGrid[0][0] == 0) return 1;
if(row == 1 && col == 1 && obstacleGrid[0][0] == 1) return 0;
// 1、创建dp表
vector<vector<int>> dp(row, vector<int>(col, 0));
// 2、初始化
int flag = 1;
for(int i = 0; i<row; i++)
{
if(obstacleGrid[i][0] == 1) flag = 0;
dp[i][0] = flag;
}
flag = 1;
for(int i = 0; i<col; i++)
{
if(obstacleGrid[0][i] == 1) flag = 0;
dp[0][i] = flag;
}
// 3、填表
for(int i = 1; i<row; i++)
{
for(int j = 1; j<col; j++)
{
if(obstacleGrid[i][j] == 1) continue;
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
// 4、返回值
return dp[row - 1][col - 1];
}
};
复杂度分析
- 时间复杂度:O(n*m),两层for循环。
- 空间复杂度:O(n*m)。
【DP边界、初始化】
与上一题类似的思想。
class Solution {
public:
int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
int row = obstacleGrid.size();
int col = obstacleGrid[0].size();
// 处理边界情况
if(row == 1 && col == 1 && obstacleGrid[0][0] == 0) return 1;
if(row == 1 && col == 1 && obstacleGrid[0][0] == 1) return 0;
// 1、创建dp表
vector<vector<int>> dp(row + 1, vector<int>(col + 1, 0));
// 2、初始化
dp[0][1] = 1;
// 3、填表
for(int i = 1; i < row + 1; i++)
{
for(int j = 1; j < col + 1; j++)
{
if(obstacleGrid[i - 1][j - 1] == 1) continue;
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
// 4、返回值
return dp[row][col];
}
};
【空间优化 - 滚动数组】
C++ 算法代码
class Solution {
public:
int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
int row = obstacleGrid.size();
int col = obstacleGrid[0].size();
// 处理边界情况
if(row == 1 && col == 1 && obstacleGrid[0][0] == 0) return 1;
if(row == 1 && col == 1 && obstacleGrid[0][0] == 1) return 0;
// 1、创建dp表
vector<int> dp(col + 1, 0);
// 2、初始化
dp[1] = 1;
// 3、填表
for(int i = 1; i < row + 1; i++)
{
for(int j = 1; j < col + 1; j++)
{
if(obstacleGrid[i - 1][j - 1] == 1)
dp[j] = 0;
else
if(j != 0)
dp[j] = dp[j - 1] + dp[j];
}
}
// 4、返回值
return dp[col];
}
};
复杂度分析
- 时间复杂度:O(n*m),两层for循环。
- 空间复杂度:O(n)。
礼物的最大价值⭐⭐
剑指 Offer 47. 礼物的最大价值 - 力扣(LeetCode)
【算法原理】
#:状态表示:
- 从 [i, j] 位置出发,……;
- 从起始位置出发,到达 [i, j] 位置,……。
#:状态转移方程:
- 从 [ i, j ] 位置的上方( [ i - 1, j ] 的位置)向下走一步,此时到达 [i, j] 位置能拿到的礼物价值为 dp[ i - 1 ][ j ] + grid[ i ][ j ]
- 从 [ i, j ] 位置的左方( [ i, j - 1 ] 的位置)向右走一步,此时到达 [i, j] 位置能拿到的礼物价值为 dp[ i ][ j - 1 ] + grid[ i ][ j ]
#:初始化:
#:填表顺序:
根据「状态转移方程」的推导来看,填表的顺序就是「从上往下」填每⼀行,在填写每⼀行的时候「从左往右」。
#:返回值:
根据「状态表示」,我们要返回 dp[m - 1][n - 1] 的值。
C++ 算法代码
class Solution {
public:
int maxValue(vector<vector<int>>& grid) {
int row = grid.size();
int col = grid[0].size();
// 1、创建dp表
vector<vector<int>> dp(row, vector<int>(col, 0));
// 2、初始化
dp[0][0] = grid[0][0];
for(int i = 1; i<col; i++)
dp[0][i] = dp[0][i - 1] + grid[0][i];
for(int i = 1; i<row; i++)
dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
// 3、填表
for(int i = 1; i<row; i++)
for(int j = 1; j<col; j++)
dp[i][j] = grid[i][j] + max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
// 4、返回值
return dp[row - 1][col - 1];
}
};
复杂度分析
- 时间复杂度:O(n*m),两层for循环。
- 空间复杂度:O(n*m)。
【DP边界、初始化】
class Solution {
public:
int maxValue(vector<vector<int>>& grid) {
int row = grid.size();
int col = grid[0].size();
// 1、创建dp表
vector<vector<int>> dp(row + 1, vector<int>(col + 1, 0));
// 2、初始化 - 就是0,创建时已初始化
// 3、填表
for(int i = 1; i < row + 1; i++)
for(int j = 1; j < col + 1; j++)
dp[i][j] = grid[i - 1][j - 1] + max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
// 4、返回值
return dp[row][col];
}
};
【空间优化 - 滚动数组】
C++ 算法代码
class Solution {
public:
int maxValue(vector<vector<int>>& grid) {
int row = grid.size();
int col = grid[0].size();
// 1、创建dp表
vector<int> dp(col + 1, 0);
// 2、初始化 - 就是0,创建时已初始化
// 3、填表
for(int i = 1; i < row + 1; i++)
{
for(int j = 1; j < col + 1; j++)
{
dp[j] = grid[i - 1][j - 1] + max(dp[j], dp[j - 1]);
}
}
// 4、返回值
return dp[col];
}
};
复杂度分析
- 时间复杂度:O(n*m),两层for循环。
- 空间复杂度:O(n)。
下降路径最小和⭐⭐
931. 下降路径最小和 - 力扣(LeetCode)
【算法原理】
#:状态表示:
- 从 [i, j] 位置出发,……;
- 从起始位置出发,到达 [i, j] 位置,……。
#:状态转移方程:
- 从正上方 [i - 1, j] 位置转移到 [i, j] 位置。
- 从左上方 [i - 1, j - 1] 位置转移到 [i, j] 位置。
- 从右上⽅ [i - 1, j + 1] 位置转移到 [i, j] 位置。
#:初始化:
- 辅助结点里面的值要「保证后续填表是正确的」。
- 「下标的映射关系」。
#:填表顺序:
根据「状态表示」,填表的顺序是「从上往下」。
#:返回值:
注意:这里不是返回 dp[m][n] 的值!题目要求「只要到达最后一行」就行了,因此这里应该返回「 dp 表中最后一行的最小值」。
C++ 算法代码
class Solution {
public:
int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix) {
int row = matrix.size();
int col = matrix[0].size();
// 1、创建dp表
vector<vector<int>> dp(row + 1, vector<int>(col + 2, INT_MAX));
// 2、初始化
for(int i = 0; i < col + 2; i++)
dp[0][i] = 0;
// 3、填表
for(int i = 1; i < row + 1; i++)
{
for(int j = 1; j < col + 1; j++)
{
dp[i][j] = matrix[i - 1][j - 1] + min(dp[i - 1][j - 1], min(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j + 1]));
}
}
return *min_element(dp[row].begin(), dp[row].end());
}
};
复杂度分析
- 时间复杂度:O(n*m),两层for循环。
- 空间复杂度:O(n*m)。
【空间优化 - 滚动数组】
C++ 算法代码
class Solution {
public:
int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix) {
int row = matrix.size();
int col = matrix[0].size();
// 1、创建dp表
vector<vector<int>> dp(2, vector<int>(col + 2, INT_MAX));
// 2、初始化
for(int i = 1; i < col + 1; i++)
dp[0][i] = 0;
// 3、填表
for(int i = 1; i < row + 1; i++)
{
for(int j = 1; j < col + 1; j++)
{
int tmp_i = i % 2;
int before_i = (i + 1) % 2;
dp[tmp_i][j] = matrix[i - 1][j - 1] + min(dp[before_i][j - 1], min(dp[before_i][j], dp[before_i][j + 1]));
}
}
// 4、返回值
return *min_element(dp[row % 2].begin(), dp[row % 2].end());
}
};
复杂度分析
- 时间复杂度:O(n*m),两层for循环。
- 空间复杂度:O(n)。
最小路径和⭐⭐
64. 最小路径和 - 力扣(LeetCode)
【算法原理】
#:状态表示:
- 从 [i, j] 位置出发,……;
- 从起始位置出发,到达 [i, j] 位置,……。
#:状态转移方程:
- 从 [i - 1, j] 向下走一步,转移到 [i, j] 位置
- 从 [i, j - 1] 向右走一步,转移到 [i, j] 位置
#:初始化:
#:填表顺序:
根据「状态转移方程」的推导来看,填表的顺序就是「从上往下」填每⼀行,在填写每⼀行的时候「从左往右」。
#:返回值:
根据「状态表示」,我们要返回 dp[m - 1][n - 1] 的值。
C++ 算法代码
class Solution {
public:
int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
int row = grid.size();
int col = grid[0].size();
// 1、创建dp表
vector<vector<int>> dp(row, vector<int>(col, 0));
// 2、初始化
dp[0][0] = grid[0][0];
for(int i = 1; i<col; i++)
dp[0][i] = dp[0][i - 1] + grid[0][i];
for(int i = 1; i<row; i++)
dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
// 3、填表
for(int i = 1; i<row; i++)
for(int j = 1; j<col; j++)
dp[i][j] = grid[i][j] + min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
// 4、返回值
return dp[row - 1][col - 1];
}
};
复杂度分析
- 时间复杂度:O(n*m),两层for循环。
- 空间复杂度:O(n*m)。
【DP边界、初始化】
极度类似于上述题型,但是不同的是此处要的是最小,于是需要将一行,一列先初始化为最大值201(此处由于dp其余范围初始值不重要,直接全最大值即可)。文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-478515.html
然后便是利用 dp[ 0 ][ 1 ] = 1 / dp[ 1 ][ 0 ] = 1,于是推出有效范围中的第一个元素 [ 1 ][ 1 ]。然后利用第一行与第一列的201,一定大于有效范围中的有效值,保证可以在填表环节中不越界的运算。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-478515.html
class Solution {
public:
int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
int row = grid.size();
int col = grid[0].size();
// 1、创建dp表
vector<vector<int>> dp(row + 1, vector<int>(col + 1, 201));
// 2、初始化
dp[0][1] = 0;
// 3、填表
for(int i = 1; i < row + 1; i++)
for(int j = 1; j < col + 1; j++)
dp[i][j] = grid[i - 1][j - 1] + min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
// 4、返回值
return dp[row][col];
}
};
【空间优化 - 滚动数组】
C++ 算法代码
class Solution {
public:
int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
int row = grid.size();
int col = grid[0].size();
// 1、创建dp表
vector<int> dp(col + 1, 201);
// 2、初始化
dp[1] = 0;
// 3、填表
for(int i = 1; i < row + 1; i++)
for(int j = 1; j < col + 1; j++)
dp[j] = grid[i - 1][j - 1] + min(dp[j], dp[j - 1]);
// 4、返回值
return dp[col];
}
};
复杂度分析
- 时间复杂度:O(n*m),两层for循环。
- 空间复杂度:O(n)。
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