1. Toy模板网首页
  2. > Toy博客

【动态规划专栏】--简单-- 动态规划经典题型

7月前 作者：川入 分类：Toy博客 阅读(34) 违法举报

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了【动态规划专栏】--简单-- 动态规划经典题型。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

目录

动态规划

动态规划思维（基础）

状态表示（最重要）

状态转移方程（最难）

初始化（细节）

填表顺序（细节）

返回值（结果）

解码方法⭐⭐

【题目解析】 

 【算法原理】

C++ 算法代码

复杂度分析

【空间优化 - 滚动数组】

C++ 算法代码

复杂度分析

【DP边界、初始化技巧】

C++ 算法代码

【空间优化 - 滚动数组】

C++ 算法代码

不同路径⭐⭐

【题目解析】 

【算法原理】

C++ 算法代码 

复杂度分析

【DP边界、初始化】

C++ 算法代码

【空间优化 - 滚动数组】

C++ 算法代码

复杂度分析

不同路径Ⅱ⭐⭐

【算法原理】

C++ 算法代码 

复杂度分析

【DP边界、初始化】

【空间优化 - 滚动数组】

C++ 算法代码

复杂度分析

礼物的最大价值⭐⭐ 

【算法原理】

C++ 算法代码 

复杂度分析

【DP边界、初始化】

【空间优化 - 滚动数组】

C++ 算法代码

复杂度分析

下降路径最小和⭐⭐

【算法原理】

C++ 算法代码 

复杂度分析

【空间优化 - 滚动数组】

C++ 算法代码

复杂度分析

最小路径和⭐⭐

【算法原理】

C++ 算法代码

复杂度分析

【DP边界、初始化】

【空间优化 - 滚动数组】

C++ 算法代码

复杂度分析

动态规划

动态规划思维（基础）

        动态规划一般会先定义一个dp表，dp表一般为一维数组 / 二位数组。如：一维数组，会先创建一个一维数组（dp表），接下来就是想办法将这个dp填满，而填满之后里面的某一个值就是最终结果。

状态表示（最重要）

#问：是什么？

  • 就是dp[i]所代表的含义。

#问：怎么来？

  • 题目要求。
  • 经验 + 题目要求。
  • 分析问题的过程中，发现重复子问题。

状态转移方程（最难）

#问：是什么？

  • dp[i] = ?。

初始化（细节）

#问：有什么作用？

  • 保证填表的时候不越界。

        dp表是根据状态转移方程进行的，而状态转移方程是通过已有状态推出未知状态。

填表顺序（细节）

#问：有什么作用？

  • 为了填写当前状态的时候，所需要的状态已经计算过了。

返回值（结果）

        题目要求 + 状态表示。

解码方法⭐⭐

91. 解码方法 - 力扣（LeetCode）

【动态规划专栏】--简单-- 动态规划经典题型

【题目解析】 

        dp[i] 表示：字符串中 [0，i] 区间上，⼀共有多少种编码方法。

【动态规划专栏】--简单-- 动态规划经典题型

 【算法原理】

#：状态表示：

        根据以往的经验，对于大多数线性 dp ，我们经验上都是「以某个位置结束或者开始」做⽂章，这里我们继续尝试「用 i 位置为结尾」结合「题目要求」来定义状态表示。dp[i] 表示：字符串中 [0 ， i] 区间上，⼀共有多少种编码方法。

#：状态转移方程：

        定义好状态表示，我们就可以分析 i 位置的 dp 值，如何由「前面」或者「后面」的信息推导出来。 关于 i 位置的编码状况，我们可以分为下⾯两种情况：
  1. 让 i 位置上的数单独解码成一个字母，成功：dp[i] += dp[i - 1]，失败：dp[i] += 0
  2. 让 i 位置上的数与 i - 1 位置上的数结合，解码成一个字母，成功：dp[i] += dp[i - 2]，失败：dp[i] += 0

#：初始化：

         从我们的递推公式可以看出， dp[i] 在 i = 0 以及 i = 1 的时候是没有办法进行推导的，因为 dp[-2] 或 dp[-1] 不是⼀个有效的数据。 因此我们需要在填表之前，将 0, 1 位置的值初始化。

#：填表顺序：

        毫⽆疑问是「从左往右」 。

#：返回值：

        应该返回 dp[n - 1] 的值，表示在 [0, n - 1] 区间上的编码方法。

C++ 算法代码

        使用⼀维数组：

class Solution {
public:
    int numDecodings(string s) {
        // 处理边界情况
        if(s[0] == '0' || s.empty()) return 0;
        if(s.size() == 1) return 1;

        // 1、创建dp表
        vector<int> dp(s.size(), 0);

        // 2、初始化
        dp[0] = 1;
        if(s[1] == '0' && s.substr(0, 2) > "26") dp[1] = 0;
        else if(s[1] == '0' && s.substr(0, 2) <= "26") dp[1] = 1;
        else if(s.substr(0, 2) > "26") dp[1] = 1;
        else dp[1] = 2;


        // 3、填表
        for(int i = 2; i < s.size(); i++)
        {
            if(s[i] != '0')
                dp[i] += dp[i - 1];
            
            // 计算两位组成是否合格
            if(s[i - 1] != '0' && s.substr(i - 1, 2) <= "26")
                dp[i] += dp[i - 2];
        }

        // 4、返回值
        return dp[s.size() - 1];
    }
};

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(n)，一层for循环。
  • 空间复杂度：O(n)。

【空间优化 - 滚动数组】

        通过上述图可以发现。

【动态规划专栏】--简单-- 动态规划经典题型

        dp[i]是只与前两个元素相关，所以我们可以将代码写为如下： 

C++ 算法代码

class Solution {
public:
    int numDecodings(string s) {
        // 处理边界情况
        if(s[0] == '0' || s.empty()) return 0;
        if(s.size() == 1) return 1;

        // 1、创建dp表
        vector<int> dp(2, 0);

        // 2、初始化
        dp[0] = 1;
        if(s[1] == '0' && s.substr(0, 2) > "26") dp[1] = 0;
        else if(s[1] == '0' && s.substr(0, 2) <= "26") dp[1] = 1;
        else if(s.substr(0, 2) > "26") dp[1] = 1;
        else dp[1] = 2;

        // 3、填表
        for(int i = 2; i < s.size(); i++)
        {
            int tmp = 0;
            if(s[i] != '0')
                tmp += dp[1];
            
            // 计算两位组成是否合格
            if(s[i - 1] != '0' && s.substr(i - 1, 2) <= "26")
                tmp += dp[0];
            dp[0] = dp[1], dp[1] = tmp;
        }

        // 4、返回值
        return dp[1];
    }
};

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(n)，一层for循环。
  • 空间复杂度：O(1)。

【DP边界、初始化技巧】

        在上述的代码中可以发现，代码的初始化写的好长，并且尤其是对于dp[1]的初始化和后续的dp[i]填表的相似度非常的高。那岂不是将初始化dp[1]部分放到填表的环节里更好！

        也就是在DP中经常会出现处理，边界复杂、繁琐的情况，而为了能更好的处理这种类似的情况，是由一个技巧的：就是将整个dp表统一向后移动一位，也就是多开一个位置。

【动态规划专栏】--简单-- 动态规划经典题型

        虚拟位置的作用。

【动态规划专栏】--简单-- 动态规划经典题型

        越过令人讨厌的dp[1]，让其在填表里面去搞定。这个看似是很舒服的，但是我们需要注意两个注意事项：

  1. 虚拟节点里面的值，要保证后面的填表的值是正确的。
  2. 下标的映射关系。

        分析上述，根据填表的规则，并且由于原dp[1]变为现在的dp[2]，所以是dp[2] = dp[0] + dp[1]。而dp[1]完完全全就是我们初始化的，所以不会出错，于是就看dp[0]。而dp[0]是我们进行虚拟出来的，于是其的值是至关重要的。

        一般情况下新增的虚拟位置都是0，但是此处不一样。此处如果dp[1] + dp[2]位置的值符合解码为字母，那么就需要加上dp[0]的值，所以证明是找到了一种解码方式，那么就是1，于是dp[0] = 1。

C++ 算法代码

class Solution {
public:
    int numDecodings(string s) {
        // 处理边界情况
        if(s[0] == '0' || s.empty()) return 0;
        if(s.size() == 1) return 1;

        // 1、创建dp表
        vector<int> dp(s.size() + 1, 0);

        // 2、初始化
        dp[0] = 1, dp[1] = 1;

        // 3、填表
        for(int i = 1; i < s.size(); i++)
        {
            if(s[i] != '0')
                dp[i + 1] += dp[i];
            
            // 计算两位组成是否合格
            if(s[i - 1] != '0' && s.substr(i - 1, 2) <= "26")
                dp[i + 1] += dp[i - 1];
        }

        // 4、返回值
        return dp[s.size()];
    }
};

【空间优化 - 滚动数组】

C++ 算法代码

class Solution {
public:
    int numDecodings(string s) {
        if(s[0] == '0' || s.empty()) return 0;
        if(s.size() == 1) return 1;

        // 1、创建dp表
        vector<int> dp(2, 0);

        // 2、初始化
        dp[0] = 1, dp[1] = 1;

        // 3、填表
        for(int i = 1; i < s.size(); i++)
        {
            int tmp = 0;
            if(s[i] != '0')
                tmp += dp[1];
            
            // 计算两位组成是否合格
            if(s[i - 1] != '0' && s.substr(i - 1, 2) <= "26")
                tmp += dp[0];
            dp[0] = dp[1], dp[1] = tmp;
        }

        // 4、返回值
        return dp[1];
    }
};

不同路径⭐⭐

​​​​​​62. 不同路径 - 力扣（LeetCode）

【动态规划专栏】--简单-- 动态规划经典题型

【题目解析】 

        dp[i][j]表示：到达 [i, j] 位置的路径个数。

【动态规划专栏】--简单-- 动态规划经典题型

【算法原理】

#：状态表示：

对于这种「路径类」的问题，我们的状态表示⼀般有两种形式：
  1. 从 [i, j] 位置出发，……；
  2. 从起始位置出发，到达 [i, j] 位置，……。
        这里选择第二种定义状态表示的方式： dp[ i ][ j ] 表示：走到 [ i, j ] 位置处，⼀共有多少种方式。

#：状态转移方程：

        如果 dp[ i ][ j ] 表示 到达 [ i, j ] 位置的方法数，那么到达 [ i, j ] 位置之前的⼀小步，有两种情况：
  1. 从 [ i, j ] 位置的上方（ [ i - 1, j ] 的位置）向下走⼀步，转移到 [ i, j ] 位置
  2. 从 [ i, j ] 位置的左方（ [ i, j - 1 ] 的位置）向右走⼀步，转移到 [ i, j ] 位置
        由于我们要求的是有多少种方法，因此状态转移方程就呼之欲出了： dp[ i ][ j ] = dp[ i - 1 ][ j ] + dp[ i ][ j - 1 ]。

#：初始化：

        对第一行，第一列继续初始化，由于 dp[ 0 ][ j ] 只能由前所来，dp[ i ][ 0 ] 只能由上所来。

#：填表顺序：

        根据「状态转移方程」的推导来看，填表的顺序就是「从上往下」填每⼀行，在填写每⼀行的时候「从左往右」。

#：返回值：

        根据「状态表示」，我们要返回 dp[m - 1][n - 1] 的值。

C++ 算法代码 

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        // 处理边界情况
        if(m == 1 && n == 1) return 1;

        // 1、创建dp表
        vector<vector<int>> dp(m, vector(n, 0));

        // 2、初始化
        for(auto& v : dp[0]) v = 1;
        for(int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;

        // 3、填表
        for(int i = 1; i < m; i++)
        {
            for(int j = 1; j < n; j++)
            {
                dp[i][j] += dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j];
            }
        }
        
        // 4、返回值
        return dp[m -1][n - 1];
    }
};

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(n*m)，两层for循环。
  • 空间复杂度：O(n*m)。

【DP边界、初始化】

可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使用这种技巧要注意两个点：

  1. 辅助结点里面的值要「保证后续填表是正确的」。
  2. 「下标的映射关系」。

        在上述的代码中可以发现，代码的初始化需要写两个for循环，无疑也是麻烦的，所以采用DP边界、初始化技巧无疑是很好的。通过上述分析可以发现，由于第一行与第一列，在状态转移方程中 [i - 1]、[j - 1]的越界而导致无法进入填表环节 —— 所以采取多一行，多一列。

【动态规划专栏】--简单-- 动态规划经典题型

        将上述的两个for循环初始化值引入：

【动态规划专栏】--简单-- 动态规划经典题型

        而这个初始化的原因就是第一行只能从左往右，第一列只能从上往下 —— 所以重点是有效范围内的第一个元素为1。

【动态规划专栏】--简单-- 动态规划经典题型

        在本题中，添加一行，并且添加⼀列后，只需将 dp[1][0] 的位置初始化为 1 或 将 dp[0][1] 的位置初始化为 1 即可。

C++ 算法代码

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        // 处理边界情况
        if(m == 1 && n == 1) return 1;

        // 1、创建dp表
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector(n + 1, 0));

        // 2、初始化
        dp[0][1] = 1;
        // dp[1][0] = 1;

        // 3、填表
        for(int i = 1; i < m + 1; i++)
        {
            for(int j = 1; j < n + 1; j++)
            {
                dp[i][j] += dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j];
            }
        }
        // 4、返回值
        return dp[m][n];
    }
};

【空间优化 - 滚动数组】

C++ 算法代码

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        // 处理边界情况
        if(m == 1 && n == 1) return 1;

        // 1、创建dp表
        vector<int> dp(n + 1, 0);

        // 2、初始化
        dp[1] = 1;

        // 3、填表
        for(int i = 1; i < m + 1; i++)
        {
            for(int j = 0; j < n + 1; j++)
            {
                if(j != 0)
                {
                    dp[j] += dp[j - 1];
                }
            }
        }
        
        // 4、返回值
        return dp[n];
    }
};

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(n*m)，两层for循环。
  • 空间复杂度：O(n)。

不同路径Ⅱ⭐⭐

63. 不同路径 II - 力扣（LeetCode）

【动态规划专栏】--简单-- 动态规划经典题型

【算法原理】

#：状态表示：

对于这种「路径类」的问题，我们的状态表示⼀般有两种形式：
  1. 从 [i, j] 位置出发，……；
  2. 从起始位置出发，到达 [i, j] 位置，……。
        这里选择第二种定义状态表示的方式： dp[ i ][ j ] 表示：走到 [ i, j ] 位置处，⼀共有多少种方式。

#：状态转移方程：

        如果 dp[ i ][ j ] 表示 到达 [ i, j ] 位置的方法数，那么到达 [ i, j ] 位置之前的⼀小步，有两种情况：
  1. 从 [ i, j ] 位置的上方（ [ i - 1, j ] 的位置）向下走⼀步，转移到 [ i, j ] 位置
  2. 从 [ i, j ] 位置的左方（ [ i, j - 1 ] 的位置）向右走⼀步，转移到 [ i, j ] 位置
        但是， [i - 1, j] 与 [i, j - 1] 位置都是可能有障碍的，此时从上⾯或者左边是不可能 到达 [i, j] 位置的，也就是说，此时的方法数应该是 0。
        由此我们可以得出⼀个结论，只要这个位置上「有障碍物」，那么我们就不需要计算这个位置上的值，直接让它等于 0 即可。

#：初始化：

        对第一行，第一列继续初始化，由于 dp[ 0 ][ j ] 只能由前所来，dp[ i ][ 0 ] 只能由上所来，并且需要注意的是小心一行 / 一列中出现阻碍，如果有阻碍就会将为唯一的路线卡死。 

#：填表顺序：

        根据「状态转移方程」的推导来看，填表的顺序就是「从上往下」填每⼀行，在填写每⼀行的时候「从左往右」。

#：返回值：

        根据「状态表示」，我们要返回 dp[m - 1][n - 1] 的值。

C++ 算法代码 

class Solution {
public:
    int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
        int row = obstacleGrid.size();
        int col = obstacleGrid[0].size();

        // 处理边界情况
        if(row == 1 && col == 1 && obstacleGrid[0][0] == 0) return 1;
        if(row == 1 && col == 1 && obstacleGrid[0][0] == 1) return 0;

        // 1、创建dp表
        vector<vector<int>> dp(row, vector<int>(col, 0));

        // 2、初始化
        int flag = 1;
        for(int i = 0; i<row; i++)
        {
            if(obstacleGrid[i][0] == 1) flag = 0;
            dp[i][0] = flag;
        }
        flag = 1;
        for(int i = 0; i<col; i++)
        {
            if(obstacleGrid[0][i] == 1) flag = 0;
            dp[0][i] = flag;
        }

        // 3、填表
        for(int i = 1; i<row; i++)
        {
            for(int j = 1; j<col; j++)
            {
                if(obstacleGrid[i][j] == 1) continue;
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }

        // 4、返回值
        return dp[row - 1][col - 1];
    }
};

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(n*m)，两层for循环。
  • 空间复杂度：O(n*m)。

【DP边界、初始化】

        与上一题类似的思想。

class Solution {
public:
    int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
        int row = obstacleGrid.size();
        int col = obstacleGrid[0].size();

        // 处理边界情况
        if(row == 1 && col == 1 && obstacleGrid[0][0] == 0) return 1;
        if(row == 1 && col == 1 && obstacleGrid[0][0] == 1) return 0;

        // 1、创建dp表
        vector<vector<int>> dp(row + 1, vector<int>(col + 1, 0));

        // 2、初始化
        dp[0][1] = 1;

        // 3、填表
        for(int i = 1; i < row + 1; i++)
        {
            for(int j = 1; j < col + 1; j++)
            {
                if(obstacleGrid[i - 1][j - 1] == 1) continue;
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }

        // 4、返回值
        return dp[row][col];
    }
};

【空间优化 - 滚动数组】

C++ 算法代码

class Solution {
public:
    int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
        int row = obstacleGrid.size();
        int col = obstacleGrid[0].size();

        // 处理边界情况
        if(row == 1 && col == 1 && obstacleGrid[0][0] == 0) return 1;
        if(row == 1 && col == 1 && obstacleGrid[0][0] == 1) return 0;

        // 1、创建dp表
        vector<int> dp(col + 1, 0);

        // 2、初始化
        dp[1] = 1;

        // 3、填表
        for(int i = 1; i < row + 1; i++)
        {
            for(int j = 1; j < col + 1; j++)
            {
                if(obstacleGrid[i - 1][j - 1] == 1) 
                    dp[j] = 0;
                else
                    if(j != 0)
                        dp[j] = dp[j - 1] + dp[j];
            }
        }

        // 4、返回值
        return dp[col];
    }
};

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(n*m)，两层for循环。
  • 空间复杂度：O(n)。

礼物的最大价值⭐⭐ 

剑指 Offer 47. 礼物的最大价值 - 力扣（LeetCode）

【动态规划专栏】--简单-- 动态规划经典题型

【算法原理】

#：状态表示：

对于这种「路径类」的问题，我们的状态表示⼀般有两种形式：
  1. 从 [i, j] 位置出发，……；
  2. 从起始位置出发，到达 [i, j] 位置，……。
        这里选择第二种定义状态表示的方式： dp[ i ][ j ] 表示：走到 [ i, j ] 位置处，此时的最大价值。

#：状态转移方程：

        如果 dp[ i ][ j ] 表示 到达 [ i, j ] 位置的方法数，那么到达 [ i, j ] 位置之前的⼀小步，有两种情况：
  1. 从 [ i, j ] 位置的上方（ [ i - 1, j ] 的位置）向下走一步，此时到达 [i, j] 位置能拿到的礼物价值为 dp[ i - 1 ][ j ] + grid[ i ][ j ]
  2. 从 [ i, j ] 位置的左方（ [ i, j - 1 ] 的位置）向右走一步，此时到达 [i, j] 位置能拿到的礼物价值为 dp[ i ][ j - 1 ] + grid[ i ][ j ]
        我们要的是最大值，因此 状态转移方程为：dp[ i ][ j ] = max(dp[ i - 1 ][ j ], dp[ i ][ j - 1 ]) + grid[ i ][ j ] 。

#：初始化：

        对第一行，第一列继续初始化，由于 dp[ 0 ][ j ] 只能由前所来，dp[ i ][ 0 ] 只能由上所来。

#：填表顺序：

        根据「状态转移方程」的推导来看，填表的顺序就是「从上往下」填每⼀行，在填写每⼀行的时候「从左往右」。

#：返回值：

        根据「状态表示」，我们要返回 dp[m - 1][n - 1] 的值。

C++ 算法代码 

class Solution {
public:
    int maxValue(vector<vector<int>>& grid) {
        int row = grid.size();
        int col = grid[0].size();

        // 1、创建dp表
        vector<vector<int>> dp(row, vector<int>(col, 0));
        
        // 2、初始化
        dp[0][0] = grid[0][0];
        for(int i = 1; i<col; i++)
            dp[0][i] = dp[0][i - 1] + grid[0][i];
        
        for(int i = 1; i<row; i++)
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];

        // 3、填表
        for(int i = 1; i<row; i++)
            for(int j = 1; j<col; j++)
                dp[i][j] = grid[i][j] + max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);

        // 4、返回值
        return dp[row - 1][col - 1];
    }
};

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(n*m)，两层for循环。
  • 空间复杂度：O(n*m)。

【DP边界、初始化】

class Solution {
public:
    int maxValue(vector<vector<int>>& grid) {
        int row = grid.size();
        int col = grid[0].size();

        // 1、创建dp表
        vector<vector<int>> dp(row + 1, vector<int>(col + 1, 0));
        
        // 2、初始化 - 就是0，创建时已初始化

        // 3、填表
        for(int i = 1; i < row + 1; i++)
            for(int j = 1; j < col + 1; j++)
                dp[i][j] = grid[i - 1][j - 1] + max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);

        // 4、返回值
        return dp[row][col];
    }
};

【空间优化 - 滚动数组】

C++ 算法代码

class Solution {
public:
    int maxValue(vector<vector<int>>& grid) {
        int row = grid.size();
        int col = grid[0].size();

        // 1、创建dp表
        vector<int> dp(col + 1, 0);
        
        // 2、初始化 - 就是0，创建时已初始化

        // 3、填表
        for(int i = 1; i < row + 1; i++)
        {
            for(int j = 1; j < col + 1; j++)
            {
                dp[j] = grid[i - 1][j - 1] + max(dp[j], dp[j - 1]);  
            }
        }

        // 4、返回值
        return dp[col];
    }
};

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(n*m)，两层for循环。
  • 空间复杂度：O(n)。

下降路径最小和⭐⭐

931. 下降路径最小和 - 力扣（LeetCode）

【动态规划专栏】--简单-- 动态规划经典题型

【算法原理】

#：状态表示：

对于这种「路径类」的问题，我们的状态表示⼀般有两种形式：
  1. 从 [i, j] 位置出发，……；
  2. 从起始位置出发，到达 [i, j] 位置，……。
        这里选择第二种定义状态表示的方式： dp[ i ][ j ] 表示：走到 [ i, j ] 位置处，所有下降路径中的最小和。

#：状态转移方程：

对于普遍位置 [i, j] ，根据题意得，到达 [i, j] 位置可能有三种情况：
  1. 从正上方 [i - 1, j] 位置转移到 [i, j] 位置。
  2. 从左上方 [i - 1, j - 1] 位置转移到 [i, j] 位置。
  3. 从右上⽅ [i - 1, j + 1] 位置转移到 [i, j] 位置。
        我们要的是三种情况下的「最小值」，然后再加上矩阵在 [i, j] 位置的值，于是 状态转移方程为：dp[i][j] = min(dp[i - 1][ j ], min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j + 1])) + matrix[ i ][ j ] 。

#：初始化：

可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：
  1. 辅助结点里面的值要「保证后续填表是正确的」。
  2. 「下标的映射关系」。
        在本题中，需要「加上⼀行」，并且「加上两列」。所有的位置都初始化为无穷大，然后将第⼀行初始化为 0 即可。

#：填表顺序：

        根据「状态表示」，填表的顺序是「从上往下」。

#：返回值：

        注意：这里不是返回 dp[m][n] 的值！题目要求「只要到达最后一行」就行了，因此这里应该返回「 dp 表中最后一行的最小值」。

C++ 算法代码 

class Solution {
public:
    int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix) {
        int row = matrix.size();
        int col = matrix[0].size();

        // 1、创建dp表
        vector<vector<int>> dp(row + 1, vector<int>(col + 2, INT_MAX));

        // 2、初始化
        for(int i = 0; i < col + 2; i++)
            dp[0][i] = 0;

        // 3、填表
        for(int i = 1; i < row + 1; i++)
        {
            for(int j = 1; j < col + 1; j++)
            {
                dp[i][j] = matrix[i - 1][j - 1] + min(dp[i - 1][j - 1], min(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j + 1]));
            }
        }

        return *min_element(dp[row].begin(), dp[row].end());
    }
};

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(n*m)，两层for循环。
  • 空间复杂度：O(n*m)。

【空间优化 - 滚动数组】

C++ 算法代码

class Solution {
public:
    int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix) {
        int row = matrix.size();
        int col = matrix[0].size();

        // 1、创建dp表
        vector<vector<int>> dp(2, vector<int>(col + 2, INT_MAX));

        // 2、初始化
        for(int i = 1; i < col + 1; i++)
            dp[0][i] = 0;

        // 3、填表
        for(int i = 1; i < row + 1; i++)
        {
            for(int j = 1; j < col + 1; j++)
            {
                int tmp_i = i % 2;
                int before_i = (i + 1) % 2;
                dp[tmp_i][j] = matrix[i - 1][j - 1] + min(dp[before_i][j - 1], min(dp[before_i][j], dp[before_i][j + 1]));
            }
        }

        // 4、返回值
        return *min_element(dp[row % 2].begin(), dp[row % 2].end());
    }
};

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(n*m)，两层for循环。
  • 空间复杂度：O(n)。

最小路径和⭐⭐

64. 最小路径和 - 力扣（LeetCode）

【动态规划专栏】--简单-- 动态规划经典题型

【算法原理】

#：状态表示：

对于这种「路径类」的问题，我们的状态表示⼀般有两种形式：
  1. 从 [i, j] 位置出发，……；
  2. 从起始位置出发，到达 [i, j] 位置，……。
        这里选择第二种定义状态表示的方式： dp[ i ][ j ] 表示：走到 [ i, j ] 位置处，最小路径和是多少。

#：状态转移方程：

        如果 dp[ i ][ j ] 表示 到达 [ i, j ] 位置的方法数，那么到达 [ i, j ] 位置之前的⼀小步，有两种情况：
  1. 从 [i - 1, j] 向下走一步，转移到 [i, j] 位置
  2. 从 [i, j - 1] 向右走一步，转移到 [i, j] 位置
        由于到 [ i, j ] 位置两种情况，并且我们要找的是最小路径，因此只需要这两种情况下的最小值，再加上 [ i, j ] 位置上本⾝的值即可。
         也就是状态转移方程为：dp[ i ][ j ] = min(dp[ i - 1 ][ j ], dp[ i ][ j - 1 ]) + grid[ i ][ j ] 。

#：初始化：

        对第一行，第一列继续初始化，由于 dp[ 0 ][ j ] 只能由前所来，dp[ i ][ 0 ] 只能由上所来。

#：填表顺序：

        根据「状态转移方程」的推导来看，填表的顺序就是「从上往下」填每⼀行，在填写每⼀行的时候「从左往右」。

#：返回值：

        根据「状态表示」，我们要返回 dp[m - 1][n - 1] 的值。

C++ 算法代码

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        int row = grid.size();
        int col = grid[0].size();

        // 1、创建dp表
        vector<vector<int>> dp(row, vector<int>(col, 0));
        
        // 2、初始化
        dp[0][0] = grid[0][0];
        for(int i = 1; i<col; i++)
            dp[0][i] = dp[0][i - 1] + grid[0][i];
        
        for(int i = 1; i<row; i++)
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];

        // 3、填表
        for(int i = 1; i<row; i++)
            for(int j = 1; j<col; j++)
                dp[i][j] = grid[i][j] + min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);

        // 4、返回值
        return dp[row - 1][col - 1];
    }
};

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(n*m)，两层for循环。
  • 空间复杂度：O(n*m)。

【DP边界、初始化】

        极度类似于上述题型，但是不同的是此处要的是最小，于是需要将一行，一列先初始化为最大值201（此处由于dp其余范围初始值不重要，直接全最大值即可）。

        然后便是利用 dp[ 0 ][ 1 ] = 1 / dp[ 1 ][ 0 ] = 1，于是推出有效范围中的第一个元素 [ 1 ][ 1 ]。然后利用第一行与第一列的201，一定大于有效范围中的有效值，保证可以在填表环节中不越界的运算。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-478515.html

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        int row = grid.size();
        int col = grid[0].size();

        // 1、创建dp表
        vector<vector<int>> dp(row + 1, vector<int>(col + 1, 201));
        
        // 2、初始化
        dp[0][1] = 0;

        // 3、填表
        for(int i = 1; i < row + 1; i++)
            for(int j = 1; j < col + 1; j++)
                dp[i][j] = grid[i - 1][j - 1] + min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);

        // 4、返回值
        return dp[row][col];
    }
};

【空间优化 - 滚动数组】

C++ 算法代码

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        int row = grid.size();
        int col = grid[0].size();

        // 1、创建dp表
        vector<int> dp(col + 1, 201);
        
        // 2、初始化
        dp[1] = 0;

        // 3、填表
        for(int i = 1; i < row + 1; i++)
            for(int j = 1; j < col + 1; j++)
                dp[j] = grid[i - 1][j - 1] + min(dp[j], dp[j - 1]);

        // 4、返回值
        return dp[col];
    }
};

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(n*m)，两层for循环。
  • 空间复杂度：O(n)。

到了这里，关于【动态规划专栏】--简单-- 动态规划经典题型的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！

本文来自互联网用户投稿，该文观点仅代表作者本人，不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如若转载，请注明出处： 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符，请点击违法举报进行投诉反馈，一经查实，立即删除！

分享到：
领支付宝红包 赞助服务器费用

相关文章

  • 最全动态规划题型详解

    最全动态规划题型详解

    由于动态规划没有固定的套路并且个人认为也是算法里面最难的算法，所以这里讲解动态规划常见的几种模型，因为本文是自己学习后的总结，所以后面还会补充一些细节。 如有错误请及时指出 什么是动态规划 （官方解释，但好像没什么用） 动态规划 Dynamic Programming，DP ：

    2024年02月04日
    浏览(29)
  • 动态规划的万能公式（三类题型）

    动态规划的万能公式（三类题型）

    做你想做的，错的算我的 这里是Want595，欢迎光临我的世界 ~   目录 前言  一、斐波那契式 通项公式：f(n)=f(n-1)+f(n-2)  举例说明 爬楼梯  骨牌铺方格  一只小蜜蜂 二、背包问题 通项公式：f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i-1（或i）,j-w(i))+v(i))  举例说明  0-1背包问题  完全背包问题  矿工

    2024年02月04日
    浏览(22)
  • 【动态规划】背包问题题型及方法归纳

    【动态规划】背包问题题型及方法归纳

    背包问题是在规定背包容量为j的前提下，每个物品对应的体积为v[i]，价值为w[i]，从物品0到物品i中选择物品放入背包中， 找出符合某种要求的价值 。 （1）背包问题种类 01背包：每种物品只能选择1个。 完全背包：每种物品可以选择无限个。 多重背包：每种物品最多可选

    2024年02月02日
    浏览(33)
  • 【动态规划专栏】专题二：路径问题--------1.不同路径

    【动态规划专栏】专题二：路径问题--------1.不同路径

    本专栏内容为：算法学习专栏，分为优选算法专栏，贪心算法专栏，动态规划专栏以及递归，搜索与回溯算法专栏四部分。 通过本专栏的深入学习，你可以了解并掌握算法。 💓博主csdn个人主页：小小unicorn ⏩专栏分类：动态规划专栏 🚚代码仓库：小小unicorn的代码仓库🚚

    2024年02月20日
    浏览(34)
  • 【动态规划专栏】专题二：路径问题--------6.地下城游戏

    【动态规划专栏】专题二：路径问题--------6.地下城游戏

    本专栏内容为：算法学习专栏，分为优选算法专栏，贪心算法专栏，动态规划专栏以及递归，搜索与回溯算法专栏四部分。 通过本专栏的深入学习，你可以了解并掌握算法。 💓博主csdn个人主页：小小unicorn ⏩专栏分类：动态规划专栏 🚚代码仓库：小小unicorn的代码仓库🚚

    2024年02月22日
    浏览(52)
  • 【动态规划专栏】专题一：斐波那契数列模型--------2.三步问题

    【动态规划专栏】专题一：斐波那契数列模型--------2.三步问题

    本专栏内容为：算法学习专栏，分为优选算法专栏，贪心算法专栏，动态规划专栏以及递归，搜索与回溯算法专栏四部分。 通过本专栏的深入学习，你可以了解并掌握算法。 💓博主csdn个人主页：小小unicorn ⏩专栏分类：动态规划专栏 🚚代码仓库：小小unicorn的代码仓库🚚

    2024年02月21日
    浏览(37)
  • 【动态规划专栏】专题一：斐波那契数列模型--------1.第N个泰波那契数

    【动态规划专栏】专题一：斐波那契数列模型--------1.第N个泰波那契数

    本专栏内容为：算法学习专栏，分为优选算法专栏，贪心算法专栏，动态规划专栏以及递归，搜索与回溯算法专栏四部分。 通过本专栏的深入学习，你可以了解并掌握算法。 💓博主csdn个人主页：小小unicorn ⏩专栏分类：动态规划专栏 🚚代码仓库：小小unicorn的代码仓库🚚

    2024年02月21日
    浏览(31)
  • 动态规划之经典中的经典——公共最长子序列

    动态规划之经典中的经典——公共最长子序列

    点一点了解更多，动态规划，简单来说就是利用子结果来求下一次的结果，避免我们重复计算 目录 一、动态规划 二、简单动态规划——青蛙跳台阶 三、经典动态规划——最长公共子序列问题  3.1最短公共超序列 一、动态规划 动态规划，简单来说就是利用子结果来求下一次

    2024年02月03日
    浏览(37)
  • 【面试经典150 | 动态规划】零钱兑换

    【面试经典150 | 动态规划】零钱兑换

    【动态规划】【数组】 322. 零钱兑换 定义状态 dp[i] 表示凑成总金额的最少硬币个数。 状态转移 从小到大枚举要凑成的金额 i ，如果当前的金额可以使用面额数组中的某个面额 coin 凑成总金额的一部分，则可以更新 d p [ i ] = m i n ( d p [ i ] , d p [ i − c o i n ] + 1 ) dp[i] = min(dp[i

    2024年04月16日
    浏览(47)
  • 动态规划详细讲解c++|经典例题讲解认识动态规划|0-1背包问题详解

    动态规划详细讲解c++|经典例题讲解认识动态规划|0-1背包问题详解

    uu们，你们好！这次的分享是动态规划，其中介绍了动态规划的相关概念和做题模板（三要素），同时为了uu们对动态规划方法有更加形象的认识，特地找了两个经典问题，和大家一起分析。并且呢，为了大家检验自己的学习成果，我专门在常用的oj上为uu们找到了相关题目的

    2024年04月11日
    浏览(48)

觉得文章有用就打赏一下文章作者

支付宝扫一扫打赏

博客赞助

微信扫一扫打赏

请作者喝杯咖啡吧~博客赞助

支付宝扫一扫领取红包，优惠每天领

二维码1

领取红包

二维码2

领红包