最小生成树(Prim算法,Kruskal算法)

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了最小生成树(Prim算法,Kruskal算法)。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

1.概念

(1)生成树:如果在一个无向连通图不包含回路(连通图中不存在环),则为一个树

(2)最小生成树(minimal spanning tree):在一个图所有生成树中,代价最小的生成树称为最小生成树

(3)生成树的代价:在一个无向连通网中,生成树各边的权值之和称为该生成树的代价

如何处理点集,使得最小权值的边构成生成树?

1)从一个点出发,依次加入点形成点集(Prim)
2)从边出发,将点集合并,避免形成环(Kruskal)

2.Prim算法

1.思路

将所有顶点分成两个集合,一个是已经加入最小生成树的集合U,一个未加入的集合的V-U,基本过程可以如下描述:(下图来自懒猫老师的《数据结构》相关课程笔记)

(1)先选定一个开始构建最小生成树的结点编号,将选定的结点加入U,其他结点在V-U中

最小生成树(Prim算法,Kruskal算法)

(2) 寻找和该顶点连接的边的最小权值的结点,加入U中

最小生成树(Prim算法,Kruskal算法)

(3) 寻找U中所有结点连接的最小权值的边的结点,(如果有两个结点都和该结点相连,选取权值最小的一条,舍去另一条),并将其加入U中,重复进行,直至所有结点都加入U中

最小生成树(Prim算法,Kruskal算法)

(4)所有结点加入U中,结束

最小生成树(Prim算法,Kruskal算法)

2.数据结构

(1)图的存储:为便于读取任意两顶点之间的权值,采用邻接矩阵存储

(2)shortEdge[n]候选最短边集,包含adjvex和lowcost两个域,分别表示候选最短边的邻接点和权值(lowcost==0代表加入U中)

(3)用prim算法起始点初始化shortEdge[n]数组,后续添加结点过程中,与邻接矩阵中的值比较,再进行修改

最小生成树(Prim算法,Kruskal算法)

3.代码实现

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <limits.h>
#define MAX_VERTEX 10//最大的顶点个数
typedef int DataType;

//无向图
typedef struct PrimNode {
	int adjvex;//某一点的前序点
	int lowcost;//若该顶点已经属于最小生成树集合U中则赋值0;
	//否则值为最小生成树集合U到该点的最小距离(权值);
} PrimNode;

void MGraph(DataType *vertex, int arc[][MAX_VERTEX], int vertexNum, int arcNum) { //初始化构造图(邻接矩阵法)
	printf("请逐个输入顶点的内容:");
	DataType x;
	DataType vi, vj, ave; //构建邻接矩阵时,一条边的两个结点编号
	for (int i = 0; i < vertexNum; i++) { //顶点数组赋值
		scanf("%d", &x);
		vertex[i] = x;
	}
	for (int i = 0; i < vertexNum; i++) //初始化邻接矩阵
		for (int j = 0; j < vertexNum; j++)
			arc[i][j] = INT_MAX;//赋值正无穷
	int count = 1;
	for (int i = 0; i < arcNum; i++) { //依次输入每一条边
		printf("请输入第%d条边依附的两个顶点的编号和权值:", count++);
		scanf("%d %d %d", &vi, &vj, &ave); //输入该边依附的顶点的编号
		arc[vi][vj] = ave; //赋值权值
		arc[vj][vi] = ave;
	}
}

void Prim(int arc[][MAX_VERTEX], int vertexNum, int start, PrimNode *shortEdge) {
	int k;
	for (int i = 0; i < vertexNum; i++) {//利用初始结点,初始化辅助数组shortEdge
		shortEdge[i].lowcost = arc[start][i];
		shortEdge[i].adjvex = start;
	}
	shortEdge[start].lowcost = 0; //代表该点已经属于最小生成树集合U了
	for (int i = 0; i < vertexNum - 1; i++) {//循环找
		k = minEdge(shortEdge, vertexNum); //寻找最短边的邻接点k
		outputSMT(k, shortEdge, vertexNum); //输出最小生成树路径
		shortEdge[k].lowcost = 0; //将顶点k加入到集合U中
		for (int j = 0; j < vertexNum; j++) { //调整数组shortEdge[n]
			if (arc[k][j] < shortEdge[j].lowcost) {
				shortEdge[j].lowcost = arc[k][j];
				shortEdge[j].adjvex = k; //标明来自哪个邻接点
			}
		}
	}

}

void outputSMT(int k, PrimNode *shortEdge) {
	printf("(%d,%d)%d\n", shortEdge[k].adjvex, k, shortEdge[k].lowcost);
}

int minEdge(PrimNode *shortEdge, int vertexNum) {
	int min, flag = 0, index;
	for (int i = 0; i < vertexNum; i++) {
		if (shortEdge[i].lowcost != 0) {
			if (flag == 0) {
				min = shortEdge[i].lowcost;
				index = i;
				flag = 1;
			} else if (min > shortEdge[i].lowcost) {
				min = shortEdge[i].lowcost;
				index = i;
			}
		}
	}
	return index;
}

void printMGraph(DataType *vertex, int arc[][MAX_VERTEX], int vertexNum) { //输出
	printf("vertex:");
	for (int i = 0; i < vertexNum; i++) {
		printf("%d ", vertex[i]);
	}
	printf("\n");
	printf("arc:\n");
	for (int i = 0; i < vertexNum; i++) {
		for (int j = 0; j < vertexNum; j++) {
			if (j == vertexNum - 1) {
				if (arc[i][j] == INT_MAX)
					printf("  *\n");
				else
					printf(" %d\n", arc[i][j]);
			} else {
				if (arc[i][j] == INT_MAX)
					printf("  * ");
				else
					printf(" %d ", arc[i][j]);
			}
		}
	}

}

main() {
	DataType vertex[MAX_VERTEX];//储存所有的顶点
	int arc[MAX_VERTEX][MAX_VERTEX];//邻接矩阵,结点间的连通关系
	int vertexNum, arcNum; //顶点个数,边的个数
	printf("请输入顶点个数和边的个数:");
	scanf("%d %d", &vertexNum, &arcNum);
	MGraph(vertex, arc, vertexNum, arcNum);
	printf("输出邻接矩阵信息:\n");
	printMGraph(vertex, arc, vertexNum);
	int x;
	printf("请输入Prim算法的起点:");
	scanf("%d", &x);
	PrimNode shortEdge[vertexNum];
	printf("输出起点从编号%d开始的最小生成树:\n", x);
	Prim(arc, vertexNum, x, shortEdge);
}

4.输出测试

最小生成树(Prim算法,Kruskal算法)

2.Kruskal算法

1.思路

每次选出一条最短边,如果它和当前最小生成树不构成回路就将其加入最小生成树,否则将其删除,直到所有边都处理完毕,基本过程可以如下描述:

(1)将所有的边按照权值从小到大排序,并将所有的结点都看作一棵树,这里要重新定义图的存储

(2)依次将边从小到大加入生成树中

最小生成树(Prim算法,Kruskal算法)

 (3)若新加入的边会使已有树生成回路,则舍去

最小生成树(Prim算法,Kruskal算法)

2.数据结构  

(1)图的存储:Kruskal算法要求要从小到大的访问边的权值,邻接矩阵和邻接表都显得较麻烦,则需要定义一种新的储存结构,如下:

#define MAX_VERTEX 10//最多顶点个数
#define MAX_EDGE 100//最多边个数
typedef struct EdgeType {
	int from, to; //边依附的两个顶点
	int weight;//边上的权值
} EdgeType;

struct EdgeGraph {
	DataType vertex[MAX_VERTEX];//存放图顶点的数据
	EdgeType edge[MAX_EDGE];//存放边的数组
	int vertexNum, edgeNum; //图的顶点数和边数
};

 (2)parent[n]储存所有结点的双亲,若parent[i]==-1,代表该结点为根结点;若一个边相连的两个结点的parent数组的值相同,则代表连接这两个点会形成环,否则就可以合并加入生成树中,同时重新给parent数组赋值

3.代码实现

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#define MAX_VERTEX 10//最多顶点个数
#define MAX_EDGE 100//最多边个数
typedef int DataType;

typedef struct EdgeType {
	int from, to; //边依附的两个顶点
	int weight;//边上的权值
} EdgeType;

struct EdgeGraph {
	DataType vertex[MAX_VERTEX];//存放图顶点的数据
	EdgeType edge[MAX_EDGE];//存放边的数组
	int vertexNum, edgeNum; //图的顶点数和边数
};

main() {
	int vertexNum, arcNum; //顶点个数,边的个数
	printf("请输入顶点个数和边的个数:");
	scanf("%d %d", &vertexNum, &arcNum);
	struct EdgeGraph graph;
	Graph(&graph, vertexNum, arcNum);
	ranklist(&graph);
	printf("输出通过边信息储存的图:\n");
	printGraph(graph);
	int parent[vertexNum];//每一个结点的双亲结点(根结点)
	printf("输出Kruskal算法得的最小生成树(from,to)weght:\n");
	Kruskal(graph, parent);
}

void Graph(struct EdgeGraph *graph, int vertexNum, int arcNum) {
	graph->edgeNum = arcNum;
	graph->vertexNum = vertexNum;
	printf("请逐个输入顶点的内容:");
	DataType x;
	for (int i = 0; i < vertexNum; i++) { //顶点数组赋值
		scanf("%d", &x);
		graph->vertex[i] = x;
	}
	int count = 1;
	int a, b, ave;
	for (int i = 0; i < arcNum; i++) { //依次输入每一条边
		printf("请输入第%d条边依附的两个顶点的编号和权值:", count++);
		scanf("%d %d %d", &a, &b, &ave); //输入该边依附的顶点的编号
		graph->edge[i].from = a;
		graph->edge[i].to = b;
		graph->edge[i].weight = ave;
	}
}

void ranklist(struct EdgeGraph *graph) { //将图的边数组按边的权值从小到大排序
	EdgeType temp;
	for (int i = 0; i < graph->edgeNum ; i++) { //冒泡排序
		for (int j = 0; j < graph->edgeNum  - i - 1; j++) {
			if (graph->edge[j].weight > graph->edge[j + 1].weight) {
				temp = graph->edge[j];
				graph->edge[j] = graph->edge[j + 1];
				graph->edge[j + 1] = temp;
			}
		}
	}
}

void Kruskal(struct EdgeGraph graph, int *parent) {
	for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
		parent[i] = -1; //初始化双亲数组,值为-1代表本身为根结点
	int num, i, vex1, vex2;
	for (num = 0, i = 0; i < graph.edgeNum; i++) {
		vex1 = findRoot(parent, graph.edge[i].from); //找到所在生成树的根结点
		vex2 = findRoot(parent, graph.edge[i].to); //找到所在生成树的根结点
		if (vex1 != vex2) { //找到的两个根结点不同,不会构成环
			outputMST(graph.edge[i]);//输出加入的边
			parent[vex2] = vex1; //合成生成树
			num++;
			if (num == graph.vertexNum - 1) //循环了“图的顶点数-1”次,提前返回
				return;
		}

	}
}

int findRoot(int *parent, int v) {
	int t = v;
	while (parent[t] > -1)
		t = parent[t]; //求顶点t上的双亲直达根结点
	return t;
}

void outputMST(EdgeType x) {
	printf("(%d,%d)%d\n", x.from, x.to, x.weight);
}

void printGraph(struct EdgeGraph graph) {
	printf("   no     from   to   weight\n");
	for (int i = 0; i < graph.edgeNum; i++) {
		printf("  edge[%d]  %d      %d      %d\n", i, graph.edge[i].from, graph.edge[i].to, graph.edge[i].weight);
	}
}

 4.输出测试

最小生成树(Prim算法,Kruskal算法)

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