矩阵的相似对角化

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矩阵相似的定义

设 A与B都是N阶方阵,若是一个可逆的N阶矩阵P,使得,则称A与B相似,记作,P成为由A到B的相似变换矩阵

相似矩阵的性质

1、

矩阵A与它自身相似

2、若,则

如果A与B相似,那么B与A也相似

证明:

所以为B到A的相似变换矩阵

3、若,则

相似具有传递性

证明:

将A代换B

其中为A到C的相似变换矩阵

4、若,则

如果A和B相似,那么A与B等价

因为等价的定义是 ,存在P、Q使得A经过有限次的初等变换,成为B,那么称A与B等价

所以上述明显成立

也意味着,A和B两个矩阵的秩是一样的

5、若,则,意味着如果两个矩阵相似,那么他们的特征值相同,因为特征值相同,所以两个矩阵的迹+行列式都相同

证明:

 

6、 若,

如果A、B相似,那么A的逆和B的逆也相似

证明:

所以,

7、 若,

如果A、B相似,那么A的伴随矩阵和B的伴随矩阵也相似

证明:

因为A、B相似,那么A、B的行列式相同

由6可知,A的逆与B的逆也相似

所以A的伴随跟B的伴随也相似

8、  若 ,

如果A、B相似,那么kA与kB也相似

证明:这个很简单

9、 若 ,

如何A、B相似,那么A的k次方与B的k次方也相似

证明:

10、 若 ,,其中f(x)为多项式

如果A矩阵与B矩阵相似,那么A矩阵的多项式与B矩阵的多项式也相似

证明:

矩阵的相似对角化

根据8+9的性质,就能证明该性质

11、 若 ,

如果A、B相似,那么A的转置和B的转置也相似

证明:

将之代入到

 

矩阵的相似对角化定义

其实就是中的B为对角矩阵(diag),或者称之为如果不存在矩阵P使得A可以变成对角矩阵,那么就称A不能相似对角化

两个问题,什么样的A可以相似对角化?A如果可以相似对角化,那么是多少?

其中

设,其中为n维的列向量

代入等式

...

这不就是特征值和特征向量么

如果两个矩阵相似,那么他们的特征值相同,所以如果A可以相似对角化,里的值就是特征值(见5的证明),P是特征值对应的特征向量,并且P需要可逆

P如果可逆的话,那么P满秩,秩为N,那么线性无关

意味着A如果正好能找到N个线性无关的特征向量,那么A就能相似对角化

而A里可能有很多特征值是相同的

意味着,我们只需要查找A的多重特征值里,恰好有对应数的线性无关的特征向量的话,那么A就能相似对角化

推论:如果A的特征值各不相同,那么A一定可以对角化文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-478822.html

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