矩阵相似的定义
设 A与B都是N阶方阵,若是一个可逆的N阶矩阵P,使得,则称A与B相似,记作,P成为由A到B的相似变换矩阵
相似矩阵的性质
1、
矩阵A与它自身相似
2、若,则
如果A与B相似,那么B与A也相似
证明:
所以为B到A的相似变换矩阵
3、若,则
相似具有传递性
证明:
将A代换B
其中为A到C的相似变换矩阵
4、若,则
如果A和B相似,那么A与B等价
因为等价的定义是 ,存在P、Q使得A经过有限次的初等变换,成为B,那么称A与B等价
所以上述明显成立
也意味着,A和B两个矩阵的秩是一样的
5、若,则,意味着如果两个矩阵相似,那么他们的特征值相同,因为特征值相同,所以两个矩阵的迹+行列式都相同
证明:
6、 若,
如果A、B相似,那么A的逆和B的逆也相似
证明:
所以,
7、 若,
如果A、B相似,那么A的伴随矩阵和B的伴随矩阵也相似
证明:
因为A、B相似,那么A、B的行列式相同
由6可知,A的逆与B的逆也相似
所以A的伴随跟B的伴随也相似
8、 若 ,
如果A、B相似,那么kA与kB也相似
证明:这个很简单
9、 若 ,
如何A、B相似,那么A的k次方与B的k次方也相似
证明:
10、 若 ,,其中f(x)为多项式
如果A矩阵与B矩阵相似,那么A矩阵的多项式与B矩阵的多项式也相似
证明:
设
根据8+9的性质,就能证明该性质
11、 若 ,
如果A、B相似,那么A的转置和B的转置也相似
证明:
将之代入到
矩阵的相似对角化定义
其实就是中的B为对角矩阵(diag),或者称之为,如果不存在矩阵P使得A可以变成对角矩阵,那么就称A不能相似对角化
两个问题,什么样的A可以相似对角化?A如果可以相似对角化,那么是多少?
设
其中
设,其中为n维的列向量
代入等式
...
这不就是特征值和特征向量么
如果两个矩阵相似,那么他们的特征值相同,所以如果A可以相似对角化,里的值就是特征值(见5的证明),P是特征值对应的特征向量,并且P需要可逆
P如果可逆的话,那么P满秩,秩为N,那么线性无关
意味着A如果正好能找到N个线性无关的特征向量,那么A就能相似对角化
而A里可能有很多特征值是相同的
意味着,我们只需要查找A的多重特征值里,恰好有对应数的线性无关的特征向量的话,那么A就能相似对角化文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-478822.html
推论:如果A的特征值各不相同,那么A一定可以对角化文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-478822.html
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