【通信原理】信道编码——线性分组码

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线性分组码

线性分组码,有两个特点,一个是线性,一个是分组。线性是指校验位和数据位成线性关系,可以通过线性方程直接求得。分组是指校验位由当前码组的数据位唯一确定。比如(n,k)线性分组码,指码长为n,数据位为k的编码方案。汉明码是线性分组码中的一种。

  1. 发送方生成码组
  2. 接收方破译码组
  3. 生成矩阵和校验矩阵
  • 码组形式:k bit数据位+r bit校验位,这样的码被称为系统码。
  • 重点在第三部分生成矩阵和校验矩阵。
  • 我这里说的数据位,也被称为信息位。

(1)发送方生成码组

n=k+r。数据位为k位,冗余的校验位为r位。满足 2 r ≥ k + r + 1 \Large 2^r \ge k+r+1 2rk+r+1

用k bit数据组成的行向量矩阵m乘以生成矩阵G,即得码组c。 c 1 × n = m 1 × k × G k × n c_{1\times n} = m_{1\times k}\times G_{k\times n} c1×n=m1×k×Gk×n

(2)接收方破译码组

将接受到的码组c和校验矩阵H相乘,如果得到0向量,则说明收到的是正确的。

或者,将所有错误情况列举出来查表。

(3)生成矩阵和校验矩阵

一般教科书里面会先讲校验矩阵,再讲生成矩阵,我也准备这样写,但为什么这样写呢?

这要从信道编码出现的原因讲起。信源编码是降冗余,是想要传输速率一定的情况下,发出去更多的符号;信道编码是加冗余,是想要在信道干扰条件一定的情况下,送出去更多的可靠的符号。比如信息位是4位,添加了3位的冗余,那么携带信息的码字有16种,而7比特总共有128种码字。这多出来的的就是112种,就是被禁用的。

而在这128种情况里面,一定有和16种携带信息的向量正交的。我们选出三种线性无关的禁用码字,用来当作校验矩阵。从定义都可以知道,校验矩阵和许用码字的矩阵相乘的结果是一个零向量。那么我们就可以用这个来进行校验。

由线性代数的知识,我们对校验矩阵进行行初等变换,其校验结果是不变的。那么我们就可以把校验矩阵变换成特殊形式,然后就可以轻松降校验矩阵转换为生成矩阵。用生成矩阵生成的码字就可以用校验矩阵进行校验了。

上面的理论显然是非常抽象且枯燥的,现在我举一个例子,(7,4)汉明码。

  1. 校验矩阵:它的特点是,从左到右分别是1~7的二进制表示。

    H = [ 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 ] H = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} H=001010011100101110111

  2. 对上述校验矩阵进行行初等变换,将靠右的部分变为单位阵。

    H = [ 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 ] = [ P , I r × r ] H = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} = [P,I_{r\times r}] H=011101110111100010001=[P,Ir×r]

  3. 然后得到生成矩阵,生成系统码形式的汉明码的生成矩阵

G = [ I k × k ; P T ] = [ 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 ] G = [I_{k\times k};P^T] = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix} G=[Ik×k;PT]=1000010000100001011110111101

  1. 生成汉明码: m = [ 1 , 0 , 1 , 0 ] ; c = m G = [ 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 1 ] m = [1,0,1,0] ;c = mG = [1,0,1,0,1,0,1] m=[1,0,1,0];c=mG=[1,0,1,0,1,0,1]
  2. 校验:$s = Hc^T = [0;0;0] $

s被称为伴随式。

变换前后的最小汉明距离不变。

贴一段我用来测试上述过程的代码。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-478994.html

import numpy as np
import itertools as it

G = np.array([[1,0,0,0,0,1,1],
              [0,1,0,0,1,0,1],
              [0,0,1,0,1,1,0],
              [0,0,0,1,1,1,1]])
H = np.array([[0,1,1,1,1,0,0],
              [1,0,1,1,0,1,0],
              [1,1,0,1,0,0,1]])

s = list(it.product(range(2), repeat=4))

M = np.array(s)

C = np.matmul(M,G)%2

D = []

for c in C:
    tmp = []
    for other_c in C:
        if (c!=other_c).any():
            tmp.append(sum((c+other_c)%2))
    D.append(np.min(tmp))
print("最小汉明距离:",np.min(D))

到了这里,关于【通信原理】信道编码——线性分组码的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!

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