【分布族谱】卡方分布和F分布之间的关系-Toy模板网

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正态分布和卡方分布

正态分布，最早由棣莫弗在二项分布的渐近公式中得到，而真正奠定其地位的，应是高斯对测量误差的研究，故而又称Gauss分布。。测量是人类定量认识自然界的基础，测量误差的普遍性，使得正态分布拥有广泛的应用场景，或许正因如此，正太分布在分布族谱图中居于核心的位置。

【分布族谱】卡方分布和F分布之间的关系

正态分布 $N(\mu, \sigma)$ 受到期望 $\mu$ 和方差 $\sigma^2$ 的调控，其概率密度函数为

$\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}]$

若 $k$ 个互相独立的随机变量 $\xi_1, \xi_2,\cdots,\xi_k$ ，均服从标准正态分布，则这k个随机变量的平方和构成一个新变量，新变量服从 $\chi^2$ 分布。其概率密度函数为

$\rho(x)=\frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)}x^{k/2-1}e^{-x/2}$

关于正态分布与卡方分布详细关系，可参考这篇：正态分布和卡方分布的关系

F分布

两个服从 $\chi^2$ 分布的独立随机变量在归一化后相除，就得到了 $F$ 分布。

设总体 $X\sim N(0,1)$ ， $(X_1, X_2,\cdots, X_{n_1})$ 和 $(Y_1, Y_2,\cdots, Y_{n_2})$ 来自X的两个独自的样本，则统计量 $\sum X_i^2$ 和 $\sum Y_i^2$ 分别服从 $\chi^2(n_1)$ 和 $\chi^2(n_2)$ 分布。则统计量 $F$ 定义为

$F=\frac{\sum X_i^2}{n_1}/\frac{\sum Y_i^2}{n_2}$

其概率密度为

$f(x,n_1, n_2)=\frac{(\frac{n_1}{n_2})^\frac{n_1}{2}}{\Beta(\frac{n_1}{2},\frac{n_2}{2})}x^{\frac{n_1}{2}-1}(1+\frac{n_1}{n_2}x)^{-\frac{n_1+n_2}{2}}, x>0$

其中 $\Beta$ 为Beta函数。

下面构造两组服从卡方分布的随机变量，并对二者归一化后相除，
$k$ 个按照正态分布的随机变量，然后将其平方和绘制出来。

import numpy as np
from scipy.stats import f, chi2
import matplotlib.pyplot as plt

n1, n2 = 50, 100
xs = chi2(n1).rvs(size=10000)
ys = chi2(n2).rvs(size=10000)

# 根据xs和ys构造的F分布的样本
fs = (xs/n1)/(ys/n2)
plt.hist(fs, density=True, bins=100, alpha=0.8)

rv = f(n1, n2)
st, ed = rv.interval(0.995)
xs = np.linspace(st, ed, 200)
plt.plot(xs, rv.pdf(xs))
plt.show()