泊松分布一-Toy模板网

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泊松分布适合于描述单位间隔(时间、距离、面积、体积)内随机事件发生的次数的概率分布。如电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、一年内撞击地球的直径大于1米的陨石数量、CCD/CMOS像元接受光子的数量等等。

1. 泊松分布定义

定义
如果一个离散随机变量 $X$ ,它的质量密度函数由下式给出，则我们称这个离散随机变量 $X$ 服从泊松分布
$f(k;\lambda)=p(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!},\lambda>0,k=0,1,2,3,...$
假设与有效条件
以下假设成立时，泊松分布模型适用:

事件在一个时间间隔内发生，且k可以取值0，1，2，…；
一个事件的发生不影响下一个事件发生的概率，也就是事件发生是相互独立的；
事件发生的平均速率（average event rate）与任何事件的发生无关。一般为简单起见，通常假定事件发生的平均速率为常数，但实际上可能随时间而变化；
两个事件不可能在完全相同的时刻发生，即在每一小段的时间内正好有一个事件发生或不发生。

(如果这些条件成立，那么 $k$ 就是一个泊松随机变量， $k$ 的分布就是一个泊松分布。)

泊松分布的参数λ是随机事件发生次数的数学期望值，且服从泊松分布的随机变量，其数学期望与方差相等，即 $\lambda=E(X)=Var(X)$ 。

2.泊松分布具体实例

实例1：

在一条特定的河流上，平均每 100 年发生一次洪水。假设发生洪水次数符合泊松分布，那么计算 100 年间发生k = 0、1、2、3、4、5 或 6 次洪水的概率就可以用泊松分布的公式直接计算。

因为平均事件率（average event rate）是每 100 年发生一次洪水，所以 $\lambda=1$ .

$p(100年内发生k次洪水)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}=\frac{1^{k}e^{-1}}{k!}=\frac{e^{-1}}{k!}$
$p(100年内发生0次洪水)=\frac{1^{0}e^{-1}}{0!}=\frac{e^{-1}}{1}\approx0.368$
$p(100年内发生1次洪水)=\frac{1^{1}e^{-1}}{1!}=\frac{e^{-1}}{1}\approx0.368$
$p(100年内发生2次洪水)=\frac{1^{2}e^{-1}}{2!}=\frac{e^{-1}}{2}\approx0.184$
$p (k = 3) = 0.061$
$p (k = 4) = 0.015$
…

实例2：

María Dolores Ugarte及其同事在一篇报道中指出世界杯足球比赛中的平均进球数约为2.5个，也适合泊松分布。因为平均事件率（average event rate）为每场比赛 2.5 个进球，所以 λ = 2.5。
$p(一场世界杯比赛进k个球)=\frac{2.5^{k}e^{-2.5}}{k!}$
$p(一场世界杯比赛进0个球)=\frac{2.5^{0}e^{-2.5}}{0!}=\frac{e^{-2.5}}{1}\approx0.082$
$p(一场世界杯比赛进1个球)=\frac{2.5^{1}e^{-2.5}}{1!}=\frac{2.5e^{-2.5}}{1}\approx0.205$
$p(一场世界杯比赛进2个球)=\frac{2.5^{2}e^{-2.5}}{2!}=\frac{6.25e^{-2.5}}{2}\approx0.257$
$p (k = 3) = 0.213$
$p (k = 4) = 0.133$
$p (k = 5) = 0.067$
…

3.生成泊松分布的代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


def poisson(lam:float,max_k:int):
    """
    采用迭代求解的方式计算泊松分布
    泊松分布：p(k) = exp(-lam) * (lam**k) / k!,k>=0.
    迭代方式：p(k) = p(k-1) * lam / k, k>=1, and p(0) = exp(-lam).
    """
    poisson_score = []
    # p(0) = exp(-lam)
    p_0 = np.exp(-lam)
    poisson_score.append(p_0)

    k_mult = 1 # 计算阶乘的中间变量
    for i in range(1,max_k):
        p_k = poisson_score[-1] * lam / i
        poisson_score.append(p_k)
    
    return poisson_score


def main():
    lam1 = 1
    lam2 = 2
    lam3 = 5
    lam4 = 10
    
    max_k = 20

    poisson_score1 = poisson(lam1,max_k)
    poisson_score2 = poisson(lam2,max_k)
    poisson_score3 = poisson(lam3,max_k)
    poisson_score4 = poisson(lam4,max_k)
    
    x = np.arange(len(poisson_score1))

    plt.plot(x,poisson_score1,'c*-',c='b',label='lambda='+str(lam1))
    plt.plot(x,poisson_score2,'c*-',c='g',label='lambda='+str(lam2))
    plt.plot(x,poisson_score3,'c*-',c='r',label='lambda='+str(lam3))
    plt.plot(x,poisson_score4,'cv-',c='b',label='lambda='+str(lam4))
   
    plt.title("Poisson distribution")
    plt.ylabel("Probability")
    plt.xlabel("k")
    plt.xticks(x,[str(item) for item in range(len(poisson_score1))]) # 刻度
    plt.grid(True)
    plt.legend()
    plt.show()


if __name__ == "__main__":
    main()