如何判断多项式是否不可约-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了如何判断多项式是否不可约。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

令环 $R$ 上的 $n$ 次多项式为：
$\sum_{i=0}^n a_i x^i \in R[x]$

复数域上

复数域是的代数封闭的。因此，复数域上的多项式 $a (x)$ 都可以写成：
$\prod_{i=1}^{n}(x-\alpha_i)$
因此， $a (x)$ 在复域上不可约 $\iff n=1$

实数域上

如果 $\alpha$ 是一个非实的复根，那么共轭 $\bar \alpha$ 也是根，且它们的重数相同。从而实数域上的多项式 $a (x)$ 都可以写成
$\prod_{\alpha_j \in R}(x-\alpha_j) \prod_{\alpha_k \not \in R}(x-\alpha_k)(x-\bar\alpha_k)$
那么：

如果 $n = 1$ ，那么它在实数域上不可约
如果 $n = 2$ ，它在实数域上不可约 $\iff \Delta = b^2-4ac < 0$
如果 $n > 2$ ，那么它在实数域上是可约的

如果 $n$ 是奇数，它包含至少一个实根。

有理数域上

有理数域是整数环的分式域，我们将有理数域上的多项式 $f (x)$ 乘以它系数的最小公倍数，得到整系数的有理数多项式 $g (x)$ ，那么 $f (x)$ 在有理域上不可约 $\iff g(x)$ 在有理域上不可约。

有理数域上的整系数多项式可约，那么它一定可以写作两个度数大于等于 $1$ 的整系数多项式因子的乘积。

如果整系数多项式 $a (x)$ 的系数互素，我们称它为本原多项式。

对于整系数多项式，

如果 $n = 1$ ，那么它在有理域上不可约
如果 $n = 2, 3$ ，在有理域上不可约 $\iff$ 有有理根，因此只需验证所有可能的有理根：令 $i | a_0,\,\, j | a_n$ 分别是末项系数和首项系数的因子，所有可能的有理根为 $\dfrac{i}{j},\,\, \forall i,j$
注意，如果 $n > 3$ ，即使没有有理根也可以是可约的，比如 $x^2+1)^2$ 可约但没有有理根
形如 $ax^2+bx+c$ 的整系数多项式，如果 $a b c$ 是奇数，那么它在有理数域上不可约

Eisenstein判别法：若存在素数 $p$ ，使得对于整系数多项式 $a (x)$ 的系数有

$\nmid a_n$
$\mid a_i,\,\, \forall i=0,1,\cdots,n-1$
$p^2 \nmid a_0$

那么 $a (x)$ 在有理数域上不可约。

实际上，有些多项式无法使用Eisenstein判别法，因此可以做适当变形后再使用Eisenstein判别法。

Eisenstein间接判别法： $a (x)$ 在有理数域上不可约 $\iff \forall a \neq 0,b \in Q$ ， $f (a x + b)$ 在有理数域上不可约。

Eisenstein判别法的派生：若存在素数 $p$ ，使得对于整系数多项式 $a (x)$ 的系数有

$\nmid a_0$
$\mid a_i,\,\, \forall i=1,\cdots,n-1,n$
$p^2 \nmid a_n$

那么 $a (x)$ 在有理数域上不可约。

Eisenstein判别法的推广：若存在素数 $p$ ，令 $d=gcd(a_0,\cdots,a_n)$ ，使得对于整系数多项式 $a (x)$ 的系数有

$\nmid \dfrac{a_j}{d},\,\, \exists j=0,1,\cdots,n$
$\mid \dfrac{a_i}{d},\,\, \forall i \neq j$
$p^2 \nmid \dfrac{a_0}{d}$
$p^2 \nmid \dfrac{a_n}{d}$
$\nmid \dfrac{a_j}{d} - b$ ，这里 $\mid \dfrac{a_0a_n}{d^2}$ 且 $\neq \dfrac{a_0a_n}{d^2}$

那么 $a (x)$ 在有理数域上不可约。

上述的Eisenstein判别法都是判断多项式在有理数域上不可约的充分不必要条件。

模 $p$ 剩余类判别法：对于整系数多项式 $a (x)$ ，令 $\nmid a_n$ ，那么记
$\bar a(x) = a(x) \mod p \in Z_p[x]$
若 $\bar a(x)$ 在某个素域 $Z_p$ 上不可约，那么 $a (x)$ 在有理数域上不可约。若 $a (x)$ 在有理数域上可约，那么模掉任意的素数 $p$ 都可约。

奇数次多项式判别法：若存在素数 $p$ ，使得对于 $2 n + 1$ 次的整系数多项式 $a (x)$ 的系数有

$\nmid a_{2n+1}$
$\mid a_i,\,\, \forall i=n+1,n+2,\cdots,2n$
$p^2 \mid a_i,\,\, \forall i=0,1,\cdots,n$
$p^3 \nmid a_0$

那么 $a (x)$ 在有理数域上不可约。

有限域上

对于任意的 $\in Z^+$ ，在 $G F (q) [x]$ 中总存在 $n$ 次不可约多项式。

在 $G F (q) [x]$ 中所有次数整除 $n$ 的首一不可约多项式的乘积为：
$x^{q^n} - x = x(x^{q^n-1} - 1)$
若 $\neq x$ 是在 $G F (q) [x]$ 中的 $n$ 次不可约多项式，若 $\alpha$ 是它在 $G F (q)$ 的代数闭包里的一个根，那么

有 $n$ 个不同的根，即一组共轭元 $\alpha,\alpha^{q},\alpha^{q^2},\cdots,\alpha^{q^{n-1}}$ ，且 $n$ 是满足 $\alpha^{q^{n}}=\alpha$ 的最小正整数
若 $ord(\alpha)=l$ ，那么 $\mid q^n-1$ ，且 $n$ 是满足 $q^n \equiv 1 \mod l$ 的最小正整数
这组共轭根的乘法阶都是 $l$

分圆多项式

$n\ge 1$ ， $x^n-1$ 在域 $K$ 上的分裂域（splitting field）叫做 $n$ 次分圆域（cyclotomic field），记做 $K^{(n)}$ ，而所有的根叫做 $n$ 次单位根（roots of unity），记做 $E^{(n)}$ 。

域 $K$ 的特征为 $p$ ，

若 $(n, p) = 1$ 或者 $p = 0$ ，那么 $E^{(n)}$ 是 $K^{(n)}$ 的一个 $n$ 阶循环乘法子群，其生成元 $\xi$ 叫做 $n$ 次本原单位根（primitive）
若 $n=mp^e,(m,p)=1$ ，那么 $K^{(n)} = K^{(m)}$ 且 $E^{(n)} = E^{(m)}$

若 $(n, p) = 1$ 或者 $p = 0$ ，那么定义 $K$ 上的 $n$ 次分圆多项式：
$Q_n(x) = \prod_{1\le s \le n,\,\,(s,n)=1} (x - \xi^s)$
且
$x^n - 1 = \prod_{d \mid n} Q_d(x)$
$Q_n(x)$ 的度数为 $\phi(n)$ ，系数都属于 $K$ 的素域。若 $p = 0$ （素域是有理数域），那么进一步的系数属于整数环。

分圆多项式是有理数域上不可约的整系数多项式，从而也是某一些素域 $Z_p$ 上（不是全部）的不可约多项式。

令 $r$ 是素数且 $(r, p) = 1$ 或者 $p = 0$ ， $k$ 是自然数，那么
$\begin{aligned} Q_{r^k}(x) &= \dfrac{x^{r^{k}}-1}{Q_1(x)Q_r(x) \cdots Q_{r^{k-1}}(x)}\\ &= \dfrac{x^{r^{k}}-1}{x^{r^{k-1}}-1}\\ &= 1 + x^{r^{k-1}} + x^{2r^{k-1}} + \cdots + x^{(r-1)r^{k-1}} \end{aligned}$
特别的，