6.16 Rayleigh商-Toy模板网

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定义

矩阵在某个向量处的瑞利商Rayleigh quotient是这样定义的:
$\rho(x) :=\frac{x^HAx}{x^Hx}$
这个怎么理解呢?上面是埃尔米特内积的表达式，下面是标准埃尔米特内积。但是矩阵不一定是对称阵，如果不是复数的话，分子是一个双线性型的表达式。
从另一个角度讲，瑞利商是一个线性函数，也可以看做是一个多元函数。以二维空间为例子，以下矩阵的瑞丽商：
$A=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$
那么它的瑞丽商就是一个连续函数，不过 $x_1,x_2$ 不能同时为0：
$\rho(\bold x)=\frac{x_1^2+x_1x_2+x^2_2}{x_1^2+x_2^2}$
假设只作用在单位向量上，那么就可以定义 $x_1=\cos\theta,x_2=\sin\theta$ ,所以它的瑞丽商就是：
$\rho(\bold x)=\frac{\cos^2\theta+\cos\theta\sin\theta+\sin^2\theta}{\cos^2\theta+\sin^2\theta}\\=1+\cos\theta\sin\theta$
这个矩阵在单位向量上的瑞丽商图像如下图所示（xy平面构成单位圆，z轴是瑞丽商）：
6.16 Rayleigh商

单位化

以上的研究方式还是不好理解瑞丽商，其实可以把上述公式改写：
$\rho(x) :=\frac{x^HAx}{x^Hx}=(\frac{\bold x}{\parallel x\parallel},\frac{A\bold x}{\parallel x\parallel})\\=(\frac{\bold x}{\parallel x\parallel},A\frac{\bold x}{\parallel x\parallel})$
把 $\bold x$ 单位化后的变量叫 $\bold u$ ，那么瑞丽商其实就是这样的:
$\rho(x) :=(\bold u,A\bold u)$
所以本质上，瑞丽商就是单位向量和变换后的单位向量的内积。那么还以刚才的矩阵为例子，可以继续绘制瑞丽商的图形。其实就算出来还是 $1+\cos\theta\sin\theta$ .

埃尔米特阵的瑞丽商

埃尔米特阵的瑞丽商有特别的性质，最大值和最小值分别是最大特征值和最小特征值。在最小特征值的特征向量处得到最小值，同样，在最大特征值的特征向量处得到最大值。也就是：
$\lambda_1=\min \rho(\bold x),\lambda_n=\max \rho(\bold x)$

代码

瑞丽商的定义这么简单，计算它的代码也就十分简洁了：

    # 瑞丽商
    def rayleigh_quotient(self, vector):
        v = Matrix([vector])
        v_h = v.hermitian_transpose()
        numerator = (v_h * self * v).__vectors[0][0]
        denominator = (v_h * v).__vectors[0][0]
        return numerator / denominator

物理意义

Rayleigh 商的物理意义是一个向量在 $A$ 矩阵作用下的“拉伸程度”，也就是说，它表示特征向量在 $A$ 矩阵的变换下，与自身在空间中的位置关系。同时，Rayleigh 商还有很多应用，如在数学物理中，它可以用来描述薛定谔方程的能量本征值。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-481482.html

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