密码学基础——GF（2）有限域上的矩阵求逆-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了密码学基础——GF（2）有限域上的矩阵求逆。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

前言

上篇文章介绍了实数域上的线性代数求解可逆矩阵的方法，但有时候我们有更复杂的需求，如在有限域上求解可逆矩阵，有限域是一个很有意思的东西，它的知识可见这篇文章
今天我们简单描述如何在GF（2）有限域上求解4X4矩阵的可逆矩阵。密码学基础——GF（2）有限域上的矩阵求逆

数据结构

总所周知，GF（2）上的加法和乘法可以分别用异或（^）和逻辑与(&)来表示，因此，我们可以将矩阵中的每一行都可以被定义为一个数字，而不是一个二进制数组。这样做除了内存成本外，运行也会更高效。因为行上的操作比列上的操作更快，例如，两个8位向量之间的乘法（即，向量的内乘）需要GF（2）域上的8次乘法和7次加法。但是如果两个向量定义为单字节数字，则部分乘法的运算将减少为1个逻辑与。类似地，向量加法也可以减少为1个异或操作。
在C语言中我们使用结构体来定义4x4矩阵，我们将矩阵每一行看作一个数，那么实现代码如下：

typedef unsigned char   uint8_t;
typedef struct M4
{
    uint8_t M[4];
}M4;

随机生成GF（2）上4X4的矩阵

使用时间作种子 srand(time(NULL)) ，让rand() 产生的随机数。因为我们将4X4矩阵的每一行看作一个数，而一个数只有4个bit，所以将rand()%16，取值范围为0-15.

#include<stdlib.h>
#include<time.h>
void GetRandMatrix4(M4 *MT) {
	
	srand((unsigned int)time(NULL));
	for (int i = 0; i < 4; i++)
	{
		(*MT).M[i]=rand()%16;
	}

}

判断GF（2）上有限域矩阵是否可逆

跟上篇文章的求解思路是一样，只不过现在，4x4矩阵中所有元素为0和1，我们不需要考虑系数，并且我们把一行看成一个数，需要分别与0x08, 0x04, 0x02, 0x01进行逻辑与操作提取相应的比特位。
实现代码如下：

int is_invert(M4 *MT) {
	int flag;
	M4 temp;
	copyM4(MT, &temp);
	int row_index;
	//消除为下三角矩阵
	for (int k = 0; k < 4; k++) {
		if ((temp.M[k] & idM4[k]) != 0) {
			for (int i = k + 1; i < 4; i++)
			{
				if ((temp.M[i] & idM4[k]) !=0) {
					temp.M[i] = temp.M[i] ^ temp.M[k];
				}
			}
		}
		else {
			flag = 1;
			for (int i = k + 1; i < 4; i++) {
				if ((temp.M[i] & idM4[k]) != 0) {
					swap4(i, k,&temp);
					flag = 0;
					break;
				}
			}
			if (flag) { 
				printf("\n矩阵不可逆\n");
				return 0; }
			for (int i = k + 1; i < 4; i++)
			{
				if ((temp.M[i] & idM4[k]) != 0) {
					temp.M[i] = temp.M[i] ^ temp.M[k];
				}
			}

		}
	}
	//判断对角线是否为0
	for (int i = 0; i < 4; i++) {
		if ((temp.M[i] & idM4[i]) == 0)
		{
			printf("\n矩阵不可逆\n");
			return 0;
		}
	}
	return 1;
}

求GF（2）上有限域矩阵的可逆矩阵

在矩阵可逆的前提下，我们可以计算GF（2）有限域上的可逆矩阵，需要把矩阵扩展为 $[M ∣ E]$ ，然后经过变化变为 $E|M^{-1}]$ ， $M^{-1}$ 即为可逆矩阵，为了减少代码复杂度，这里我们不单独构造一个扩展矩阵 $[M ∣ E]$ ，我们定义一个单位矩阵E，在每次M进行变化时，E跟着M进行变化，当M变为E时，E就变成了 $M^{-1}$ .
求解步骤如下
1)将矩阵化简为下三角矩阵
2）将矩阵化为单位矩阵E
求解详细思路参考上篇文章，代码实现如下：

void getInvertMatrix(M4 *MT) {
	M4 M_invert;
	for (int i = 0; i < 4; i++)
	{
		M_invert.M[i] = idM4[i];//初始化 E矩阵
	}
	for (int k = 0; k < 4; k++) {
		if (((*MT).M[k] & idM4[k]) != 0) {
			for (int i = k + 1; i < 4; i++)
			{
				if (((*MT).M[i] & idM4[k]) != 0) {
					(*MT).M[i] = (*MT).M[i] ^ (*MT).M[k];
					M_invert.M[i] = M_invert.M[i] ^ M_invert.M[k];
				}
			}
		}
		else {

			for (int i = k + 1; i < 4; i++) {
				if (((*MT).M[i] & idM4[k]) != 0) {
					swap4(i, k, MT);
					swap4(i, k, &M_invert);
					break;
				}
			}
			for (int i = k + 1; i < 4; i++)
			{
				if (((*MT).M[i] & idM4[k]) != 0) {
					(*MT).M[i] = (*MT).M[i] ^ (*MT).M[k];
					M_invert.M[i] = M_invert.M[i] ^ M_invert.M[k];
				}

			}
		}
	}
	//将右边的M矩阵，消除为单位矩阵E
	for (int  k = 1; k < 4; k++)
	{
		for (int i = 0; i < k; i++)
		{
			for (int j = 0; j < 4; j++)
			{
				if (((*MT).M[i]&idM4[k]) != 0){
				(*MT).M[i] = (*MT).M[i] ^ (*MT).M[k];
				M_invert.M[i] = M_invert.M[i] ^ M_invert.M[k];
				}
			}
		}
	}
	printf("\n可逆矩阵为\n");
	printfM4(&M_invert);
}