概率第三章 二维随机变量及其分布

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了概率第三章 二维随机变量及其分布。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

目录

一、二维随机变量及其分布

1、二维随机变量

2、二维离散型随机变量(X,Y)

3、二维连续型随机变量(X,Y)

二、二维随机变量的独立性

三、二维均匀分布和二维正态分布

二维均匀分布

二维正态分布

四、二个随机变量函数Z=g(X,Y)的分布

X、Y均为离散型随机变量:

X、Y均为连续型随机变量:

X为离散型随机变量,Y为连续型随机变量:

Z=max{X,Y}的分布:转为小于等于号    P{max{X,Y}≤z}=P{X≤z,Y≤z}=P{X≤z}P{Y≤z}

Z=min{X,Y}的分布:转为大于号   P{min{X,Y}>z}=P{X>z,Y>z}=P{X>z}P{Y>z}


必考:二维两个相互独立随机变量的条件概率密度;两个随机变量函数Z=g(X,Y)的分布;

一、二维随机变量及其分布

1、二维随机变量

●设X、Y是样本空间上的两个随机变量,则称向量(X,Y)为二维随机变量 /随机向量


二维随机变量(X,Y)的分布函数 /随机变量X和Y的联合分布函数:概率第三章 二维随机变量及其分布

●分布函数F(x,y)的性质:

概率第三章 二维随机变量及其分布


●二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布:

概率第三章 二维随机变量及其分布

概率第三章 二维随机变量及其分布

边缘分布和二维随机变量分布函数的关系:概率第三章 二维随机变量及其分布


●在条件Y=y下X的条件分布,记作:概率第三章 二维随机变量及其分布

 在条件X=x下Y的条件分布,记作:概率第三章 二维随机变量及其分布


2、二维离散型随机变量(X,Y)

摘要:定义—概率分布(性质)—边缘分布(与概率分布的关系)—条件分布

●二维离散型随机变量的定义:满足条件概率第三章 二维随机变量及其分布→称(X,Y)为二维离散型随机变量。


●二维概率分布/分布律:概率第三章 二维随机变量及其分布

也可用表格形式表示:概率第三章 二维随机变量及其分布(习惯把x1、x2…竖着写,把y1、y2…横着写)

●二维概率分布pij的性质:

概率第三章 二维随机变量及其分布(概率大于0)

概率第三章 二维随机变量及其分布(概率之和等于1)


(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布:概率第三章 二维随机变量及其分布

边缘分布pi·和p·j与二维概率分布pij的关系:

pi·= P{X=xi} =pi1+pi2+……+pin;    确定X=xi,Y可取任意值,

p·j= P{Y=yj} =p1j+p2j+……+pnj        确定Y=Yj,X可取任意值,

(eg.确定X=x1,即i=1,p1·= P{X=1} =p11+p12+…+p1n)

(eg.确定Y=Y1,即j=1,p·1= P{Y=1} =p11+p21+…+pn1)


●若P{Y=yj>0},则有在条件Y=yj下X的条件分布概率第三章 二维随机变量及其分布


3、二维连续型随机变量(X,Y)

摘要:定义—概率密度(性质)—边缘密度—条件密度

●二维连续型随机变量的定义:满足条件概率第三章 二维随机变量及其分布→称(X,Y)为二维连续型随机变量。


二维随机变量(X,Y)的概率密度 /随机变量X和Y的联合概率密度:f(x,y)

●概率密度f(x,y)的性质:

概率第三章 二维随机变量及其分布

(概率密度大于0;

概率密度在-∞→+∞上积分等于1;

求(X,Y)落在某区域的概率,可以转化为在区域D上对概率密度的二重积分)

★概率密度的性质(3)每年必考!

概率第三章 二维随机变量及其分布


(X,Y)关于X和关于Y的边缘密度:

概率第三章 二维随机变量及其分布概率第三章 二维随机变量及其分布

注意分别是对y积分和对x积分,被积函数是概率密度f(x,y),积分区间是-∞→+∞


●若fY(y)>0,则有在条件Y=y下X的条件密度:概率第三章 二维随机变量及其分布

★fY(y)>0是条件密度fX|Y(x|y)成立的重要条件,经常考,要记牢!

同理,fX(x)>0是条件密度fY|X(y|x)成立的重要条件。


小总结:连续型随机变量

★与分布函数F(x,y)相关的积分,积分区间一般为 -∞→x和 -∞→y

原因是概率第三章 二维随机变量及其分布

eg.一维随机变量X的分布函数F(x)的计算公式:

概率第三章 二维随机变量及其分布

eg.二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)的计算公式:

概率第三章 二维随机变量及其分布

★与概率密度f(x,y)相关的积分,积分区间一般为 -∞→+∞

原因是概率密度的性质,在-∞→+∞上对概率密度f(x,y)积分结果是1(全部的概率之和为1)

eg.一维随机变量X的概率密度f(x)的性质:

概率第三章 二维随机变量及其分布

eg.二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)的性质:

概率第三章 二维随机变量及其分布

★易记错的公式:

二维随机变量(X,Y)关于X的边缘密度:概率第三章 二维随机变量及其分布

和关于Y的边缘密度:概率第三章 二维随机变量及其分布。分别是对y积分和对x积分,被积函数是概率密度f(x,y),积分区间是-∞→+∞。

推导过程:

概率第三章 二维随机变量及其分布

概率第三章 二维随机变量及其分布


题型:求二维连续型随机变量(X,Y)的边缘密度

概率第三章 二维随机变量及其分布

★(1)小题步骤:

1、由0<y<x<1画分区图,找出概率密度不为0的区域(方便后续对概率密度的积分和确定积分区间),和概率密度为0的区域

2、边缘密度公式——概率第三章 二维随机变量及其分布概率第三章 二维随机变量及其分布

3、等号写在哪——可以先模糊分区,最后再看端点加等号

概率第三章 二维随机变量及其分布

关键分析:

由于边缘密度是对概率密度f(x,y)的定积分,而非零概率密度f(x,y)只在0<y<x<1平面上取到。除此以外的部分概率密度f(x,y)都为0,自然边缘密度也都为0。

所以求边缘密度时只考虑在0<y<x<1平面上的积分即可:

边缘密度fX(x)是对y积分,定积分上下限由y的取值范围确定

——由非零概率密度的区域0<y<x<1推得0<y<x——y的积分区间为0→x

边缘密度fY(y)是对x积分,定积分上下限由x的取值范围确定

——由非零概率密度的区域0<y<x<1推得y<x<1——x的积分区间为y→1

概率第三章 二维随机变量及其分布

★(2)小题步骤:

1、先求出条件。由边缘密度fY(y)>0时→ 0<y<1时,才有条件密度fX|Y(x|y)存在。

2、将计算出的边缘密度fY(y)和联合密度f(x,y)代入条件密度公式。这里注意题干中联合密度f(x,y)的分区:0<y<x<1和其他,要照抄!

概率第三章 二维随机变量及其分布


综合题:2013数三真题

第(1)题值得好好思考,思路很绕,一定要想清晰了!

概率第三章 二维随机变量及其分布


二、二维随机变量的独立性

定义:随机变量X与Y相互独立:

概率第三章 二维随机变量及其分布

离散型随机变量X与Y相互独立↔ 二维随机变量(X,Y)的概率分布=两个边缘分布相乘 pij=pi·p·j

概率第三章 二维随机变量及其分布

连续型随机变量X与Y相互独立↔ 维随机变量(X,Y)的联合密度=边缘密度相乘 f(x,y)=fX(x) fY(y)

概率第三章 二维随机变量及其分布

题型:设X和Y相互独立,已知(X,Y)的联合分布部分数值,求剩余数值p21

关键:pij=pi·p·j,

(X,Y)关于X的边缘分布:p1·= P{X=1} =p11+p12+……+p1n    确定X=x1,即i=1,Y可取任意值

(X,Y)关于Y的边缘分布:p·1= P{Y=1} =p11+p21+……+pn1     确定Y=Y1,即j=1,X可取任意值

概率第三章 二维随机变量及其分布

概率第三章 二维随机变量及其分布

题型:已知离散型二维随机变量(X,Y)的联合分布,判断X与Y是否相互独立

概率第三章 二维随机变量及其分布

概率第三章 二维随机变量及其分布

 概率第三章 二维随机变量及其分布

★题型:给定分布,求概率P{X≥Y}

概率第三章 二维随机变量及其分布

 概率第三章 二维随机变量及其分布


三、二维均匀分布和二维正态分布

二维均匀分布

定义概率第三章 二维随机变量及其分布

性质概率第三章 二维随机变量及其分布

概率第三章 二维随机变量及其分布

概率第三章 二维随机变量及其分布

概率第三章 二维随机变量及其分布

概率第三章 二维随机变量及其分布

概率第三章 二维随机变量及其分布

★关键:

1、分区要准确!

(X,Y)的联合密度f(x,y),根据x、y的取值情况分类概率第三章 二维随机变量及其分布

(X,Y)关于X的边缘密度fX(x),根据x的取值分类概率第三章 二维随机变量及其分布

在X=x条件下Y的条件密度fY|X(y|x),根据y的取值分类概率第三章 二维随机变量及其分布

2、积分上下限要准确!

边缘密度fX(x)是对y积分,定积分上下限由y的取值范围确定——由非零概率密度的区域x^2+y^2≤1推得y^2≤1-x^2——积分区间为:概率第三章 二维随机变量及其分布概率第三章 二维随机变量及其分布

 3、对端点特别小心!

(2)求条件密度,条件密度fY|X(y|x)成立的条件是fX(x)>0。查阅(1)中求的fX(x),概率第三章 二维随机变量及其分布可以推出fX(x)>0时,-1<x<1。千万注意端点!这里取不到端点!


比较下面这个题,只能取到一边端点:

概率第三章 二维随机变量及其分布

概率第三章 二维随机变量及其分布

 可以推出fY(y)>0时,0 ≤ y<2。这里只能取到一个端点!

二维正态分布

定义概率第三章 二维随机变量及其分布

 性质

概率第三章 二维随机变量及其分布

概率第三章 二维随机变量及其分布

 (X,Y)符合二维正态分布,则其边缘分布一定也是正态。

由 (X,Y)符合二维正态分布→X、Y都符合正态分布,

但是由X、Y都符合正态分布推不出 (X,Y)符合二维正态分布。

要再加一个条件,只有当X、Y都符合正态分布,且X与Y相互独立时,才可以推出(X,Y)符合二维正态分布。


四、二维随机变量函数Z=g(X,Y)的分布

X、Y均为离散型随机变量:

Z=g(X,Y)的分布律的求法与一维离散型类似。

X、Y均为连续型随机变量:

公式法:概率第三章 二维随机变量及其分布

X为离散型随机变量,Y为连续型随机变量:

概率第三章 二维随机变量及其分布

Z=max{X,Y}的分布:转为小于等于号    P{max{X,Y}≤z}=P{X≤z,Y≤z}=P{X≤z}P{Y≤z}

(可以假设X≤Y,Z=max{X,Y}=Y,则max{X,Y}≤z即X<Y≤z,写成X≤z且Y≤z)概率第三章 二维随机变量及其分布

Z=min{X,Y}的分布:转为大于号   P{min{X,Y}>z}=P{X>z,Y>z}=P{X>z}P{Y>z}

(可以假设X≤Y,Z=min{X,Y}=X,则min{X,Y}>z即Y>X>z,写成X>z且Y>z)概率第三章 二维随机变量及其分布文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-484171.html

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