目录
一、二维随机变量及其分布
1、二维随机变量
2、二维离散型随机变量(X,Y)
3、二维连续型随机变量(X,Y)
二、二维随机变量的独立性
三、二维均匀分布和二维正态分布
二维均匀分布
二维正态分布
四、二个随机变量函数Z=g(X,Y)的分布
X、Y均为离散型随机变量:
X、Y均为连续型随机变量:
X为离散型随机变量,Y为连续型随机变量:
Z=max{X,Y}的分布:转为小于等于号 P{max{X,Y}≤z}=P{X≤z,Y≤z}=P{X≤z}P{Y≤z}
Z=min{X,Y}的分布:转为大于号 P{min{X,Y}>z}=P{X>z,Y>z}=P{X>z}P{Y>z}
必考:二维两个相互独立随机变量的条件概率密度;两个随机变量函数Z=g(X,Y)的分布;
一、二维随机变量及其分布
1、二维随机变量
●设X、Y是样本空间上的两个随机变量,则称向量(X,Y)为二维随机变量 /随机向量。
●二维随机变量(X,Y)的分布函数 /随机变量X和Y的联合分布函数:
●分布函数F(x,y)的性质:
●二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布:
、
边缘分布和二维随机变量分布函数的关系:
●在条件Y=y下X的条件分布,记作:
在条件X=x下Y的条件分布,记作:
2、二维离散型随机变量(X,Y)
摘要:定义—概率分布(性质)—边缘分布(与概率分布的关系)—条件分布
●二维离散型随机变量的定义:满足条件→称(X,Y)为二维离散型随机变量。
●二维概率分布/分布律:
也可用表格形式表示:(习惯把x1、x2…竖着写,把y1、y2…横着写)
●二维概率分布pij的性质:
(概率大于0)
(概率之和等于1)
●(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布:
边缘分布pi·和p·j与二维概率分布pij的关系:
pi·= P{X=xi} =pi1+pi2+……+pin; 确定X=xi,Y可取任意值,
p·j= P{Y=yj} =p1j+p2j+……+pnj 确定Y=Yj,X可取任意值,
(eg.确定X=x1,即i=1,p1·= P{X=1} =p11+p12+…+p1n)
(eg.确定Y=Y1,即j=1,p·1= P{Y=1} =p11+p21+…+pn1)
●若P{Y=yj>0},则有在条件Y=yj下X的条件分布:
3、二维连续型随机变量(X,Y)
摘要:定义—概率密度(性质)—边缘密度—条件密度
●二维连续型随机变量的定义:满足条件→称(X,Y)为二维连续型随机变量。
●二维随机变量(X,Y)的概率密度 /随机变量X和Y的联合概率密度:f(x,y)
●概率密度f(x,y)的性质:
(概率密度大于0;
概率密度在-∞→+∞上积分等于1;
求(X,Y)落在某区域的概率,可以转化为在区域D上对概率密度的二重积分)
★概率密度的性质(3)每年必考!
●(X,Y)关于X和关于Y的边缘密度:
注意分别是对y积分和对x积分,被积函数是概率密度f(x,y),积分区间是-∞→+∞
●若fY(y)>0,则有在条件Y=y下X的条件密度:
★fY(y)>0是条件密度fX|Y(x|y)成立的重要条件,经常考,要记牢!
同理,fX(x)>0是条件密度fY|X(y|x)成立的重要条件。
小总结:连续型随机变量
★与分布函数F(x,y)相关的积分,积分区间一般为 -∞→x和 -∞→y
原因是
eg.一维随机变量X的分布函数F(x)的计算公式:
eg.二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)的计算公式:
★与概率密度f(x,y)相关的积分,积分区间一般为 -∞→+∞
原因是概率密度的性质,在-∞→+∞上对概率密度f(x,y)积分结果是1(全部的概率之和为1)
eg.一维随机变量X的概率密度f(x)的性质:
eg.二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)的性质:
★易记错的公式:
二维随机变量(X,Y)关于X的边缘密度:
和关于Y的边缘密度:。分别是对y积分和对x积分,被积函数是概率密度f(x,y),积分区间是-∞→+∞。
推导过程:
题型:求二维连续型随机变量(X,Y)的边缘密度
★(1)小题步骤:
1、由0<y<x<1画分区图,找出概率密度不为0的区域(方便后续对概率密度的积分和确定积分区间),和概率密度为0的区域
2、边缘密度公式——、
3、等号写在哪——可以先模糊分区,最后再看端点加等号
关键分析:
由于边缘密度是对概率密度f(x,y)的定积分,而非零概率密度f(x,y)只在0<y<x<1平面上取到。除此以外的部分概率密度f(x,y)都为0,自然边缘密度也都为0。
所以求边缘密度时只考虑在0<y<x<1平面上的积分即可:
边缘密度fX(x)是对y积分,定积分上下限由y的取值范围确定
——由非零概率密度的区域0<y<x<1推得0<y<x——y的积分区间为0→x
边缘密度fY(y)是对x积分,定积分上下限由x的取值范围确定
——由非零概率密度的区域0<y<x<1推得y<x<1——x的积分区间为y→1
★(2)小题步骤:
1、先求出条件。由边缘密度fY(y)>0时→ 0<y<1时,才有条件密度fX|Y(x|y)存在。
2、将计算出的边缘密度fY(y)和联合密度f(x,y)代入条件密度公式。这里注意题干中联合密度f(x,y)的分区:0<y<x<1和其他,要照抄!
综合题:2013数三真题
第(1)题值得好好思考,思路很绕,一定要想清晰了!
二、二维随机变量的独立性
定义:随机变量X与Y相互独立:
离散型随机变量X与Y相互独立↔ 二维随机变量(X,Y)的概率分布=两个边缘分布相乘 pij=pi·p·j
连续型随机变量X与Y相互独立↔ 二维随机变量(X,Y)的联合密度=边缘密度相乘 f(x,y)=fX(x) fY(y)
题型:设X和Y相互独立,已知(X,Y)的联合分布部分数值,求剩余数值p21
关键:pij=pi·p·j,
(X,Y)关于X的边缘分布:p1·= P{X=1} =p11+p12+……+p1n 确定X=x1,即i=1,Y可取任意值
(X,Y)关于Y的边缘分布:p·1= P{Y=1} =p11+p21+……+pn1 确定Y=Y1,即j=1,X可取任意值
题型:已知离散型二维随机变量(X,Y)的联合分布,判断X与Y是否相互独立
★题型:给定分布,求概率P{X≥Y}
三、二维均匀分布和二维正态分布
二维均匀分布
定义
性质
★关键:
1、分区要准确!
(X,Y)的联合密度f(x,y),根据x、y的取值情况分类
(X,Y)关于X的边缘密度fX(x),根据x的取值分类
在X=x条件下Y的条件密度fY|X(y|x),根据y的取值分类
2、积分上下限要准确!
边缘密度fX(x)是对y积分,定积分上下限由y的取值范围确定——由非零概率密度的区域x^2+y^2≤1推得y^2≤1-x^2——积分区间为:→。
3、对端点特别小心!
(2)求条件密度,条件密度fY|X(y|x)成立的条件是fX(x)>0。查阅(1)中求的fX(x),可以推出fX(x)>0时,-1<x<1。千万注意端点!这里取不到端点!
比较下面这个题,只能取到一边端点:
可以推出fY(y)>0时,0 ≤ y<2。这里只能取到一个端点!
二维正态分布
定义
性质
(X,Y)符合二维正态分布,则其边缘分布一定也是正态。
由 (X,Y)符合二维正态分布→X、Y都符合正态分布,
但是由X、Y都符合正态分布推不出 (X,Y)符合二维正态分布。
要再加一个条件,只有当X、Y都符合正态分布,且X与Y相互独立时,才可以推出(X,Y)符合二维正态分布。
四、二维随机变量函数Z=g(X,Y)的分布
X、Y均为离散型随机变量:
Z=g(X,Y)的分布律的求法与一维离散型类似。
X、Y均为连续型随机变量:
公式法:
X为离散型随机变量,Y为连续型随机变量:
Z=max{X,Y}的分布:转为小于等于号 P{max{X,Y}≤z}=P{X≤z,Y≤z}=P{X≤z}P{Y≤z}
(可以假设X≤Y,Z=max{X,Y}=Y,则max{X,Y}≤z即X<Y≤z,写成X≤z且Y≤z)文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-484171.html
Z=min{X,Y}的分布:转为大于号 P{min{X,Y}>z}=P{X>z,Y>z}=P{X>z}P{Y>z}
(可以假设X≤Y,Z=min{X,Y}=X,则min{X,Y}>z即Y>X>z,写成X>z且Y>z)文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-484171.html
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