拉格朗日函数用于约束优化问题。约束优化问题简而言之就是在有一堆约束 Σ i = 1 g i ( x ) \Sigma_{i=1} g_i(x) Σi=1gi(x)的情况下求目标函数 f ( x ) f(x) f(x)的问题，说起来很抽象，直接来点例子看比较直观。
例1. 求 f ( x , y , z ) = x y z f(x,y,z)=xyz f(x,y,z)=xyz在条件 1 x + 1 y + 1 z = 1 a ( x , y , z , a > 0 ) \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{a}\ (x,y,z,a>0) x1+y1+z1=a1 (x,y,z,a>0)下的最小值。
直接构造拉格朗日函数 L ( x , y , z , λ ) = f ( x , y , z ) + λ g ( x ) = x y z + λ ( 1 x + 1 y + 1 z − 1 a ) L(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda g(x)= \\ xyz+\lambda (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{a}) L(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λg(x)=xyz+λ(x1+y1+z1−a1)
然后 L ( x , y , z , a ) L(x,y,z,a) L(x,y,z,a)分别对 x , y , z , a x,y,z,a x,y,z,a求导，可的一系列方程式：
∂ L ∂ x = y z − λ x 2 = 0 ∂ L ∂ y = x z − λ y 2 = 0 ∂ L ∂ z = x y − λ z 2 = 0 ∂ L ∂ λ = 1 x + 1 y + 1 z − 1 a = 0 \frac{\partial L}{\partial x}=yz-\frac{\lambda}{x^2}=0 \\ \frac{\partial L}{\partial y}=xz-\frac{\lambda}{y^2}=0\\ \frac{\partial L}{\partial z}=xy-\frac{\lambda}{z^2}=0\\ \frac{\partial L}{\partial \lambda}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{a}=0 ∂x∂L=yz−x2λ=0∂y∂L=xz−y2λ=0∂z∂L=xy−z2λ=0∂λ∂L=x1+y1+z1−a1=0
然后将带有
λ
\lambda
λ的挪到右边并且把分母乘过去：
x
2
y
z
=
λ
,
x
y
2
z
=
λ
,
x
y
z
2
=
λ
x^2yz=\lambda,xy^2z=\lambda, xyz^2=\lambda
x2yz=λ,xy2z=λ,xyz2=λ
再依次相除，并代入
∂
L
∂
λ
\frac{\partial L}{\partial \lambda}
∂λ∂L中，可得
x
=
y
=
z
=
3
a
x=y=z=3a
x=y=z=3a。
如果还是不太懂可以再看一个例子：
例2.
u
=
x
y
+
2
y
z
u=xy+2yz
u=xy+2yz在约束条件
x
2
+
y
2
+
z
2
=
10
x^2+y^2+z^2=10
x2+y2+z2=10的最大最小值。
直接构造拉格朗日函数:
L
(
x
,
y
,
z
,
λ
)
=
x
y
+
2
y
z
+
λ
(
x
2
+
y
2
+
z
2
−
10
)
L(x,y,z,\lambda)=xy+2yz+\lambda(x^2+y^2+z^2-10)
L(x,y,z,λ)=xy+2yz+λ(x2+y2+z2−10)
分别求偏导:
∂
L
∂
x
=
y
+
2
λ
x
=
0
∂
L
∂
y
=
x
+
2
z
+
2
λ
y
=
0
∂
L
∂
z
=
2
y
+
2
λ
z
=
0
\frac{\partial L}{\partial x}=y+2\lambda x=0 \\ \frac{\partial L}{\partial y}=x+2z+2\lambda y =0\\ \frac{\partial L}{\partial z}=2y+2\lambda z=0
∂x∂L=y+2λx=0∂y∂L=x+2z+2λy=0∂z∂L=2y+2λz=0文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-484289.html
这里是一个标准的线性方程组的形式，可以直接行列式求解，得到 λ = 5 2 , − 5 2 , 0 \lambda=\frac{\sqrt{5}}{2}, -\frac{\sqrt{5}}{2}, 0 λ=25,−25,0，分别带回去， λ = 5 2 \lambda=\frac{\sqrt{5}}{2} λ=25可得驻点 ( 1 ， − 5 ， 2 ) ， ( − 1 ， 5 , − 2 ) (1，-\sqrt{5}，2)，(-1，\sqrt{5},-2) (1，−5，2)，(−1，5,−2)，他们两个对应一个极值 u = − 5 5 u=-5\sqrt{5} u=−55，而 λ = − 5 2 \lambda=-\frac{\sqrt{5}}{2} λ=−25可得驻点 ( 1 , 5 , 2 ) , ( − 1 , − 5 , − 2 ) (1,\sqrt{5},2),(-1,-\sqrt{5},-2) (1,5,2),(−1,−5,−2)，代回原式可得极值 5 5 5\sqrt{5} 55。当 λ = 0 \lambda=0 λ=0， 可得驻点 ( 2 2 , 0 , − 2 ) , ( − 2 2 , 0 , 2 ) (2\sqrt{2},0,-\sqrt{2}),(-2\sqrt{2},0,\sqrt{2}) (22,0,−2),(−22,0,2)，可得极值为0。 所以最大值最小值就显而易见。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-484289.html
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