NP-Hard?大白话学习P问题、NP问题、NP完全问题和NP难问题

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## 该笔记自用为主,记录一些日常学习过程中看到的不熟悉的知识和从未接触过的知识,用于回看和记录。其中有一些个人理解,如有错误请讨论指正。

前言

在讨论这一串问题之前,我们需要复习两个概念。

1.多项式和非多项式

多项式:NP-Hard?大白话学习P问题、NP问题、NP完全问题和NP难问题

非多项式:或者

2.时间复杂度

在计算机算法求解问题当中,经常用时间复杂度和空间复杂度来表示一个算法的运行效率。空间复杂度表示一个算法在计算过程当中要占用的内存空间大小。时间复杂度则表示这个算法运行得到想要的解所需的计算工作量。这里探讨的是当输入值(也就是问题数目N,或者是待求解的问题)接近无穷时,算法所需工作量的变化快慢程度。

举例:冒泡排序。

在计算机当中,排序问题是最基础的,将输入按照大小或其他规则排好序,有利于后期运用数据进行其他运算。冒泡排序就是其中的一种排序算法。假设手上现在有n个无序的数(N个待排序的问题),利用冒泡排序对其进行排序,

①首先比较第1个数和第2个数,如果后者>前者,就对调他们的位置,否则不变

②接着比较第2个数和第3个数,如果后者>前者,就对调他们的位置,否则不变

③一直向下比较直到第n-1和第n个数比较完,第一轮结束。(这时候最大的数移动到了第n个数的位置)

④重复前三步,但是只比较到第n-1个数(将第二大的数移动到第n-1个数位置)

⑤持续每次对越来越少的元素重复上面的步骤,直到没有任何一对数字需要比较。

举个实例:5,4,3,2,1,对其进行排序,先是比较5跟4变成4,5,3,2,1,第一轮结束后变成43215,可以计算,当对其排序完正好要经过4+3+2+1=10次比较,当然这是最复杂的情况,即完全反序。可以知道对于n个数,至多要经过1+2+...+n-1即(n^2-n)/2次比较才能排好序。这个式子里n的最高次阶是2,可知道当n→∞时,一次性对其比较次数影响很小,所以我们把这个算法的时间复杂度比作:。取其最高次,可以看出,这是一个时间复杂度为多项式的表示方式。

另外一些穷举类的算法,所需时间长度成几何阶数上涨,这就是的指数级复杂度,甚至的阶乘级复杂度。它是非多项式级的,其复杂度计算机往往不能承受。

当我们在解决一个问题时,我们选择的算法通常都需要是多项式级的复杂度,非多项式级的复杂度需要的时间太多,往往会超时,除非是数据规模非常小。

正文

1、P问题
P问题:能够在多项式时间内被解决的问题。

比如说,给10个、20个、30个… 元素(问题)排序,复杂度是

2、NP问题
NP问题:能够在多项式时间内使用非确定性算法(non-deterministic)被解决的问题。

NP问题也可以指在多项式的时间里验证一个解的问题。另一个定义是,可以在多项式的时间里猜出一个解的问题。

简单来说就是,必须以非常规方法才能在多项式时间内解决的问题,就叫做NP问题。

举个例子:

我人品很好,在程序中需要枚举时,我可以一猜一个准。

现在某人拿到了一个求最短路径的问题,问从起点到终点是否有一条小于100个单位长度的路线。它根据数据画好了图,但怎么也算不出来,于是来问我:你看怎么选条路走得最少?

我说,我人品很好,肯定能随便给你指条很短的路出来。然后我就胡乱画了几条线,说就这条吧。那人按我指的这条把权值加起来一看,嘿,神了,路径长度98,比100小。

于是答案出来了,存在比100小的路径。别人会问他这题怎么做出来的,他就可以说,因为我找到了一个比100 小的解。在这个题中,找一个解很困难,但验证一个解很容易。

验证一个解只需要O(n)的时间复杂度,也就是说我可以花O(n)的时间把我猜的路径的长度加出来。那么,只要我运气好,猜得准,我一定能在多项式的时间里解决这个问题。这就是NP问题。

3、NP-complete问题(即:NP完全问题)

NP-Complete 满足两个条件:

  • 首先它是一个NP问题
  • 所有的NP问题都可以约化(Reducible)到它,NPC问题目前没有多项式的有效算法,只能用指数级甚至阶乘级复杂度的搜索

约化:例如,求解一个一元一次方程 A AA 和求解一个一元二次方程 B BB,你若会求解 B BB ,你一定会求解 A AA。那么我们说,A 可以约化为 B。B BB 的时间复杂度高于或者等于 A AA的时间复杂度。

NP问题中最困难的问题称之为NP完全问题(NP-complete)。根据库克定理,任意一个NP完全问题如果能够在多项式时间内解决,则所有的NP问题都能在多项式时间内解决。

一般来说,非常规方法既可以解决P问题,也可以解决NP问题,所以,只有用非常规方法才能解决的问题,才能叫做NP完全问题。

示例:旅行商问题。就是一个NP完全问题,因为其开销不能在多项式时间内解决,而是一个非多项式时间复杂度的问题。

4、NP-Hard问题(即:NP难问题)
NP-Hard问题:和NP问题一样困难,或者更加困难的问题。

NP hard 满足 NPC 的第二条件,但不一定是 NP 问题。
因为它不一定是NP问题。即使 NPC 问题发现了多项式级的算法,NP-Hard 问题有可能仍然无法得到多项式级的算法。事实上,由于 NP-Hard 放宽了限定条件,它将有可能比所有的 NPC 问题的时间复杂度更高从而更难以解决。

anyway,感觉对于NP-C和NP-Hard还是有一点点混淆,等下次再遇见了再来理解并修改它。

其实还有点想纠结一下NPC的逻辑,但是,下次再说吧

以上四个问题他们之间的关系可以用下图来表示: 

参考链接:

到底什么是NP问题,NP hard问题,NP完全问题?

P问题、NP问题、NP完全问题和NP难问题

【释义】NP complete概念浅析(涵盖:P问题,NP问题,NP完全问题,NP难问题)文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-484307.html

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