最短路径(Dijkstra算法)-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了最短路径(Dijkstra算法)。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

1.概念

（1）最短路径：

非网图：两顶点之间经历边数最小的路径
网图：两顶点之间经历的边上权值之和最短的路

2.迪杰斯特拉（Dijkstra）算法

1.思路

设置一个集合S存放已经找到最短路径的顶点，并设置一个源点，dist[]数组中存放源点距离每个顶点的最短距离，path[]数组中存放的是最短路径，基本过程可以如下描述：（下图来自懒猫老师的《数据结构》相关课程笔记）

（1）先选定一个源点编号，将选定的源点加入U，将源点距（直接）其他顶点的距离赋值给dist[]数组

最短路径(Dijkstra算法)

（2）选出现有dist[]中的最短路径，将该路径对应的顶点加入U中；并更新源点距其他顶点的距离值（意思是可以通过新加入的点再到达其他顶点）

最短路径(Dijkstra算法)

（3）再重复（2）中步骤，直至所有顶点都加入U中

最短路径(Dijkstra算法)

（4）所有结点加入U中，结束

最短路径(Dijkstra算法)

2.数据结构

(1)图的存储结构：带权的邻接矩阵存储结构

(2)数组dist[n]：每个分量distfl表示当前所找到的从始点v到终点»的最短路径的长度。初态为：若从v到vi有弧，则disti为弧上权值；否则置distil为∞。

(3)数组path[n]：path[i]是一个字符串，表示当前所找到的从始点v到终点vi的最短路径。初态为：若从V有弧，则path[i]为0：否则置path[i]为-1。

(4)数组s[n]：存放源点和己经生成的终点，其初态为只有一个源点v

最短路径(Dijkstra算法)

3.代码实现

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#define MAX_VERTEX 10//最大的顶点个数
#define INT_MAX_ 100000
typedef int DataType;
int findMinDist(int *dist, int *s, int vertexNum);

void MGraph(DataType *vertex, int arc[][MAX_VERTEX], int vertexNum, int arcNum) { //初始化构造图（邻接矩阵法）
	printf("请逐个输入顶点的内容：");
	DataType x;
	DataType vi, vj, ave; //构建邻接矩阵时，一条边的两个结点编号
	for (int i = 0; i < vertexNum; i++) { //顶点数组赋值
		scanf("%d", &x);
		vertex[i] = x;
	}
	for (int i = 0; i < vertexNum; i++) //初始化邻接矩阵
		for (int j = 0; j < vertexNum; j++) {
			if (i == j)
				arc[i][j] = 0;
			else
				arc[i][j] = INT_MAX_;//赋值正无穷
		}
	int count = 1;
	for (int i = 0; i < arcNum; i++) { //依次输入每一条边
		printf("请输入第%d条边依附的两个顶点的编号(方向->)和权值：", count++);
		scanf("%d %d %d", &vi, &vj, &ave); //输入该边依附的顶点的编号
		arc[vi][vj] = ave; //赋值权值
	}
}

void Dijkstra(int arc[][MAX_VERTEX], int vertexNum, int startV, int *s, int *dist, int *path) {
	for (int i = 0; i < vertexNum; i++) {
		dist[i] = arc[startV][i]; //初始化数组dist,path
		if (dist[i] != INT_MAX_)
			path[i] = startV; //将原点设为上一条路径
		else
			path[i] = -1;
	}
	for (int i = 0; i < vertexNum; i++) {
		s[i] = 0;
	}
	arr(dist, path, vertexNum);//验证数组内容是否正确
	s[startV] = 1; //1值代表该结点已经加入了最短路径
	int num = 1;
	int min;
	while (num < vertexNum) { //当顶点数num小于图的顶点数，即不是所有顶点加入最小路径
		min = findMinDist(dist, s, vertexNum); //dist中查找s[i]为0的最小值元素
		s[min] = 1;
		//将新生成的结点加入集合s中
		for (int i = 0; i < vertexNum; i++) {
			//修改数组dist和path
			if ((s[i] == 0) && (dist[i] > dist[min] + arc[min][i])) {
				dist[i] = dist[min] + arc[min][i]; //用已经找到的最短路径修改对应的dist
				path[i] = min; //用已经找到的最短路径修改对应的path
				arr(dist, path, vertexNum);//验证数组内容是否正确
				printf("\n");
			}
		}
		num++;
	}
}

int findMinDist(int *dist, int *s, int vertexNum) {
	int flag = 0, min, index;
	for (int i = 0; i < vertexNum; i++) {
		if (flag == 0 && s[i] == 0) {
			min = dist[i];
			index = i;
			flag = 1;
		} else if (flag == 1 && s[i] == 0 && min > dist[i]) {
			min = dist[i];
			index = i;
		}
	}
	return index;
}

void displayPath(int *dist, int *path, int *s, int startV, int vertexNum) { //打印起始点到各顶点的最短路径
	int temp;
	int patharr[vertexNum];
	int con = 0;
	for (int i = 0; i < vertexNum; i++) {
		con = 0;
		if (i != startV) {
			printf("从顶点 %d --> %d:\n", startV, i);
			if (dist[i] != INT_MAX_)
				printf("最短路径长度为:%d\n", dist[i]);
			else {
				printf("不存在与该点之间的路径！\n");

				printf("\n");
				continue;
			}
			printf("最短路径为:");
			temp = i;
			while (temp != startV) { //得改成逆序的
				patharr[con++] = path[temp];
				temp = path[temp];
			}
			con--;
			if (con == 0) {
				printf("%d ->%d\n", patharr[con], i);
			} else {
				while (con >= 0) {
					printf("%d -> ", patharr[con]);
					con--;
				}
				printf("%d\n", i);
			}
			printf("\n");
		}
	}


}

void printMGraph(DataType *vertex, int arc[][MAX_VERTEX], int vertexNum) { //输出
	printf("vertex:");
	for (int i = 0; i < vertexNum; i++) {
		printf("%d ", vertex[i]);
	}
	printf("\n");
	printf("arc:\n");
	for (int i = 0; i < vertexNum; i++) {
		for (int j = 0; j < vertexNum; j++) {
			if (j == vertexNum - 1) {
				if (arc[i][j] == INT_MAX_)
					printf("  *\n");
				else
					printf("  %d\n", arc[i][j]);
			} else {
				if (arc[i][j] == INT_MAX_)
					printf("  * ");
				else
					printf("  %d ", arc[i][j]);
			}
		}
	}

}

main() {
	DataType vertex[MAX_VERTEX];//储存所有的顶点
	int arc[MAX_VERTEX][MAX_VERTEX];//邻接矩阵，结点间的连通关系
	int vertexNum, arcNum; //顶点个数，边的个数
	printf("请输入顶点个数和边的个数:");
	scanf("%d %d", &vertexNum, &arcNum);
	MGraph(vertex, arc, vertexNum, arcNum);
	printf("输出邻接矩阵信息:\n");
	printMGraph(vertex, arc, vertexNum);
	int x;
	printf("请输入Dijkstra算法的起点:");
	scanf("%d", &x);
	int s[vertexNum], dist[vertexNum], path[vertexNum];
	Dijkstra(arc, vertexNum, x, s, dist, path);
	printf("\n");
	printf("逐个输出由起点 %d 到所有顶点的最短路径:\n", x);
	printf("\n");
	displayPath(dist, path, s, x, vertexNum);
}

void arr(int *dist, int *path, int vertexNum) {//验证输出数组，用来debug
	printf("检查数组内容:\n");
	for (int i = 0; i < vertexNum; i++) {
		printf("%d ", dist[i]);
	}
	printf("\n");
	for (int i = 0; i < vertexNum; i++) {
		printf("%d ", path[i]);
	}
	printf("\n");
}