实变函数—有限覆盖定理的证明

7月前作者：一只迷鹿分类：Toy博客阅读(33) 违法举报

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写在前面

有限覆盖定理在数学分析和实变函数中应用广泛，这里分享两种证明方法。

数学分析中所论述的Heine-Borel有限覆盖定理[1]为:

设F =[a, b] 是一个闭区间, G是一个开区间族, 它覆盖了F , 则从G中可选出有限个开区间来覆盖F 。

若将F换成直线上有界闭集, G换成开集族, 则定理可推广为:

设F是直线上有界闭集, G是开集族, 它覆盖了F , 则从G中可选出有限个开集来覆盖F

若将F换成n维闭区间, G换成开区间族, 则定理可推广为:

设F是个n维闭区间，G是一个n维开区间族，它覆盖了F,则从G中可选出有限个开区间来覆盖F。

若将F换成n维有界闭集, G换成n维开集族, 则定理可推广为:

设F ⊂ Rn是一个有界闭集, G ⊂ Rn是一个开集族, 它覆盖了F , 则从G中可选出有限个开集来覆盖F 。

方法1

一般形式的定理：有限覆盖定理设X是一般度量空间, F ⊂ X是一个非空紧集, G ⊂ X是一个开集族, 它覆盖了F , 则从G中可选出有限个开集来覆盖F 。

紧集套定理设{Fk}是度量空间X中的非空紧集列, 且满足:

F1⊃ F2⊃ ⋯ ⊃ Fk⊃ ⋯,
Fk的直径 δ (Fk) → 0 (k → ∞) , 则存在唯一的点x ∈ Fk (k = 1, 2, ⋯) 。

方法2

这里给出的是实变函数中用开覆盖刻画紧集的有限覆盖定理。会用到紧集，全有界，开覆盖有限开覆盖的定义，请大家自行查阅。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-485593.html

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