写在前面
有限覆盖定理在数学分析和实变函数中应用广泛,这里分享两种证明方法。
- 数学分析中所论述的Heine-Borel有限覆盖定理[1]为:
设F =[a, b] 是一个闭区间, G是一个开区间族, 它覆盖了F , 则从G中可选出有限个开区间来覆盖F 。
- 若将F换成直线上有界闭集, G换成开集族, 则定理可推广为:
设F是直线上有界闭集, G是开集族, 它覆盖了F , 则从G中可选出有限个开集来覆盖F
- 若将F换成n维闭区间, G换成开区间族, 则定理可推广为:
设F是个n维闭区间,G是一个n维开区间族,它覆盖了F,则从G中可选出有限个开区间来覆盖F。
- 若将F换成n维有界闭集, G换成n维开集族, 则定理可推广为:
设F ⊂ Rn是一个有界闭集, G ⊂ Rn是一个开集族, 它覆盖了F , 则从G中可选出有限个开集来覆盖F 。
方法1
一般形式的定理:有限覆盖定理设X是一般度量空间, F ⊂ X是一个非空紧集, G ⊂ X是一个开集族, 它覆盖了F , 则从G中可选出有限个开集来覆盖F 。
紧集套定理设{Fk}是度量空间X中的非空紧集列, 且满足:文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-485593.html
- F1⊃ F2⊃ ⋯ ⊃ Fk⊃ ⋯,
- Fk的直径 δ (Fk) → 0 (k → ∞) , 则存在唯一的点x ∈ Fk (k = 1, 2, ⋯) 。
方法2
这里给出的是实变函数中用开覆盖刻画紧集的有限覆盖定理。会用到紧集,全有界,开覆盖有限开覆盖的定义,请大家自行查阅。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-485593.html
到了这里,关于实变函数—有限覆盖定理的证明的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!