线性代数与解析几何——Part4 欧式空间 & 酉空间-Toy模板网

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线性代数与解析几何——Part4 欧式空间 & 酉空间
- 1. 欧氏空间
  - 1. 定义 & 性质
  - 2. 内积表示与标准正交基
  - 3. 欧氏空间的同构
  - 4. 欧氏空间的线性变换
  - 5. 欧氏空间的子空间
- 2. 酉空间
  - 1. 定义 & 性质
  - 2. 酉变换
  - 3. Hermite变换
  - 4. 规范变换

1. 欧氏空间

1. 定义 & 性质

定义7.1.1
设 $V$ 是实数域 $\bold{R}$ 上的线性空间，如果 $V$ 中的任意两个向量 $\bold{a,b}$ 均按照某一法则对应一个实数，记作 $(\bold{a,b})$ ，且满足：

对称性：对任意两个向量 $\bold{a,b} \in V$ ，有：
$(\bold{a,b}) = (\bold{b,a})$

线性性：对任意实数 $\lambda$ 和任意三个向量 $\bold{a,b,c} \in V$ ，有：
$(\lambda \bold{a,b}) = \lambda (\bold{a,b})$
$(\bold{a+b, c}) = (\bold{a,c}) + (\bold{b,c})$

正定性：对任意一个向量 $\bold{a} \in V$ ，有 $(\bold{a,a}) \geq 0$ ，等号成立当且仅当 $\bold{a} = \bold{0}$ 。

则称 $(\bold{a,b})$ 为向量 $\bold{a,b}$ 的内积，定义了内记的实数域 $\bold{R}$ 上的线性空间 $V$ 称为欧几里得（Euclid）空间，简称欧氏空间。

对于欧氏空间，有Cauchy-Schwarz不等式：

定理7.1.1（Cauchy-Schwarz不等式）
设 $V$ 是欧式空间， $(\cdot,\cdot)$ 是 $V$ 的内积，则对 $V$ 当中的任意两个向量 $\bold{a,b}$ ，有：
$|(\bold{a,b})| \leq \sqrt{(\bold{a,a})(\bold{b,b})}$

定义 7.1.2
设 $V$ 是欧式空间， $(\cdot, \cdot)$ 是 $V$ 的内积，对于任意的 $\bold{a} \in V$ ，称
$|\bold{a}| = \sqrt{(\bold{a,a})}$
为 $\bold{a}$ 的长度或者模。

模长具有如下性质：

对称性： $d(\bold{a,b}) = d(\bold{b,a})$
正定性： $d(\bold{a,b}) \geq 0$ ，等号成立当且仅当 $\bold{a} = \bold{b}$
三角不等式： $d(\bold{a,b}) \leq d(\bold{a,c}) + d(\bold{b,c})$

2. 内积表示与标准正交基

定义7.2.1
在 $n$ 为欧氏空间 $V$ 当中，一组两两正交的非零向量称为正交向量组。由正交向量组构成的基称为正交基。由单位向量组构成的正交基成为标准正交基。

定理7.2.1（Schmidt正交化）
从 $n$ 为欧氏空间 $V$ 的任意一组基出发，可以构造一组标准正交基。

3. 欧氏空间的同构

定义7.3.1
实数域上两个欧氏空间 $V$ 和 $V^{'}$ 称为同构的，如果存在一个从 $V$ 到 $V^{'}$ 的一一映射 $\sigma: V \rightarrow V'$ ，满足：

$\sigma(\lambda \bold{\alpha} + \mu \bold{\beta}) = \lambda \sigma(\bold{\alpha}) + \mu \sigma(\bold{\beta})$

$(\sigma(\bold{\alpha}), \sigma(\bold{\beta})) = (\bold{\alpha}, \bold{\beta})$

其中， $\bold{\alpha, \beta}$ 为 $V$ 中的两个任意向量， $\lambda, \mu$ 是两个任意实数。

定理7.3.1
两个有限维欧氏空间同构的充要条件是他们的维度相同。

4. 欧氏空间的线性变换

定义7.4.1
设 $V$ 是一个 $n$ 维的欧氏空间， $\mathcal{A}$ 是 $V$ 上的一个线性变换，如果 $\mathcal{A}$ 保持 $V$ 的内积不变，即对于任意两个向量 $\bold{a,b} \in V$ ，都有：
$(\mathcal{A}(\bold{a}), \mathcal(\bold{b})) = (\bold(a,b))$
则称 $\mathcal{A}$ 是 $V$ 上的正交变换。

定理7.4.1
设 $V$ 是一个 $n$ 维的欧式空间， $\mathcal{A}$ 是 $V$ 上的一个线性变换，则 $\mathcal{A}$ 为正交变换当且仅当下列两个条件之一成立：

$\mathcal{A}$ 保持任意向量的模不变；

$\mathcal{A}$ 将标准正交基变换为标准正交基。

定义7.4.2
如果实方阵 $\bold{A}$ 满足 $\bold{A^{T}A} = \bold{I}$ 或者 $\bold{A}^{-1} = \bold{A}$ ，则称方阵 $\bold{A}$ 为正交矩阵。

定理7.4.2
欧式空间中的线性变换 $\mathcal{A}$ 是正交变换的充要条件是 $\mathcal{A}$ 在标准正交基下的矩阵 $\bold{A}$ 是正交矩阵。

定理7.4.3
设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，则：

单位变换是正交变换；

两个正交变换的复合仍然是正交变换；

正交变换一定可逆，其逆变换也是正交变换。

由正交矩阵的定义可知，正交矩阵的行列式 $det\bold{A} = \pm 1$ 。如果 $\mathcal{A}$ 在一组基下的矩阵行列式为 $1$ ，则称 $\mathcal{A}$ 为第一类变换。如果正交变换 $\mathcal{A}$ 在一组基下的矩阵行列式为 $- 1$ ，则称 $\mathcal{A}$ 为第二类变换。

定理7.4.3
设 $\mathcal{A}$ 是欧氏空间 $V$ 上的正交变换，则 $\mathcal{A}$ 的特征值的模都为 $1$ 。
特别的， $\mathcal{A}$ 的实特征值（如果存在的话）只能是 $1$ 或者 $- 1$ 。
如果 $V$ 的维数是奇数且 $\mathcal{A}$ 是第一类正交变换，则 $\mathcal{A}$ 一定存在职位 $1$ 的特征值。

定义7.4.3
设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间上的线性变换， $\mathcal{A}$ 是 $V$ 上的线性变换。
如果 $\mathcal{A}$ 满足 $(\bold{a}, \mathcal{A}(\bold{b})) = (\mathcal{A}(\bold{a}), \bold{b})$ 对 $V$ 中的任意两个向量 $\bold{a,b}$ 成立，则称 $\mathcal{A}$ 是 $V$ 上的对称变换。

定理7.4.5
设 $\mathcal{A}$ 是欧氏空间上的线性变换，则 $\mathcal{A}$ 是对称变换的充要条件是 $\mathcal{A}$ 在任何一组标准正交基下的矩阵 $\bold{A}$ 是实对称矩阵。

定理7.4.6
设 $\mathcal{A}$ 是欧式空间 $V$ 上的对称变换，则 $\mathcal{A}$ 的不同特征值对应的特征向量相互正交。

定理7.4.7
实对称矩阵的特征值都是实数。

定理7.4.8
实对阵矩阵 $\bold{A}$ 的属于不同特征值的特征向量必正交。

定理7.4.9
对于任意 $n$ 阶实对称矩阵 $\bold{A}$ ，存在一个 $n$ 阶正交矩阵 $\bold{T}$ ，使得 $\bold{T^{-1}AT}$ 为对角矩阵。

5. 欧氏空间的子空间

定义7.5.1
设 $V_1, V_2$ 是欧式空间 $V$ 的两个子空间，如果对于任意的 $\bold{a}_1 \in V_1, \bold{a}_2 \in V_2$ ，恒有 $(\bold{a}_1, \bold{a}_2) = 0$ ，则称子空间 $V_1, V_2$ 相互正交，记为 $V_1 \perp V_2$ 。
如果一个向量 $\bold{a}$ 与子空间 $V_1$ 中的任意一个向量均正交，则称向量 $\bold{a}$ 与子空间 $V_1$ 正交，记为 $\bold{a} \perp V_1$ 。

定理7.5.1
如果子空间 $V_1, V_2$ 相互正交，那么他们的和 $V_1 + V_2$ 是直和。推而广之，如果 $V_1, V_2, ..., V_r$ 两两相互正交，则它们的和 $V_1 + V_2 + ... + V_r$ 是直和。

定义7.5.2
如果 $V_1 \perp V_2$ 且 $V=V_1 + V_2$ ，那么子空间 $V_2$ 称为子空间 $V_1$ 的正交补空间或简称为正交补。
显然，如果 $V_2$ 是 $V_1$ 的正交补，那么 $V_1$ 也是 $V_2$ 的正交补。

定理7.5.2
欧式空间 $V$ 中任意一个子空间 $V_1$ 都有唯一的正交补空间。

2. 酉空间

1. 定义 & 性质

定义7.6.1
设 $V$ 是复数域上的线性空间，如果对于 $V$ 内的任意两个向量 $\bold{a,b}$ 都按某一法则对应于某一个复数，记作 $(\bold{a,b})$ ，且满足：

共轭对称性：对任意两个向量 $\bold{a, b}\in V$ ，有 $(\bold{a,b}) = \overline{(\bold{b,a})}$

线性性：对任意一个复数 $\lambda$ 和三个向量 $\bold{a,b,c} \in V$ ，有 $(\bold{a}, \lambda \bold{b}) = \lambda (\bold{a,b}), (\bold{a}, \bold{b+c}) = (\bold{a,b}) + (\bold{a,c})$

正定性：对于任意一个向量 $\bold{a} \in V$ ，有 $(\bold{a, a}) \geq 0$ ，等号成立当且仅当 $\bold{a} = \bold{0}$ 。

则称 $(\bold{a, b})$ 为 $\bold{a}$ 和 $\bold{b}$ 的内积。
定义了内积的复数域 $\bold{C}$ 上的线性空间 $V$ 称为酉空间。

定义7.6.2
有空间中的两个向量 $\bold{a,b}$ 满足 $(\bold{a,b})=0$ ，则称 $\bold{a}$ 和 $\bold{b}$ 相互正交或垂直，记为 $\bold{a} \perp \bold{b}$ 。

定理7.6.1
设 $V$ 是 $n$ 维酉空间，则：

$V$ 中两两正交的一组非零向量一定是线性无关的；

$V$ 中也存在标准正交基，即存在一组基 $\bold{e}_1, .., \bold{e}_n$ ，满足 $(\bold{e}_i, \bold{e}_j) = \delta_{i,j}$ ， $i, j = 1, 2, . . ., n$ ；

欧式空间的Schmidt正交化过程在酉空间一样有效，即从酉空间中任意一组基出发，可以通过完全一样的Schmidt正交化过程，得到一组标准正交基。

我们摘录书中给出的欧氏空间与酉空间的对比如下：

欧氏空间	酉空间
内积 $(\bold{a,b})$ 为实数，满足： 1. $(\bold{a,b}) = (\bold{b,a})$ 2. $(\lambda \bold{a}, \bold{b}) = (\bold{a}, \lambda\bold{b}) = \lambda(\bold{a,b})$	内积 $(\bold{a,b})$ 为复数，满足： 1. $(\bold{a,b}) = \overline{(\bold{b,a})}$ 2. $(\lambda \bold{a}, \bold{b}) = (\bold{a}, \lambda\bold{b}) = \lambda(\bold{a,b})$
模 $\bold{a} \| = \sqrt{(\bold{a,a})} \geq 0$ 向量 $\bold{a}$ 的单位向量化 $\frac{\bold{a}}{\| \bold{a} \|}$	模 $\bold{a} \| = \sqrt{(\bold{a,a})} \geq 0$ 向量 $\bold{a}$ 的单位向量化 $\frac{\bold{a}}{\| \bold{a} \|}$
Cauchy-Schwarz不等式 $(\bold{a,b})^2 \leq (\bold{a,a})(\bold{b,b})$ 即 $(\bold{a,b}) \| \leq \| \bold{a} \| \| \bold{b} \|$ 当且仅当 $\bold{a,b}$ 线性相关时等号成立	Cauchy-Schwarz不等式 $(\bold{a,b}) \overline{(\bold{a,b})} \leq (\bold{a,a})(\bold{b,b})$ 即 $(\bold{a,b}) \| \leq \| \bold{a} \| \| \bold{b} \|$ 当且仅当 $\bold{a,b}$ 线性相关时等号成立
非零向量 $\bold{a,b}$ 的夹角 $\varphi = arccos \frac{(\bold{a,b})}{\| \bold{a} \| \| \bold{b} \|}$	无定义
向量 $\bold{a,b}$ 正交，即 $(\bold{a,b}) = 0$	向量 $\bold{a,b}$ 正交，即 $(\bold{a,b}) = 0$
三角不等式成立 $\bold{a} + \bold{b} \| \leq \| \bold{a} \| + \| \bold{b} \|$	三角不等式成立 $\bold{a} + \bold{b} \| \leq \| \bold{a} \| + \| \bold{b} \|$
度量矩阵 $\bold{G}$ 为是对称矩阵设 $\bold{e}_1, ..., \bold{e}_n$ 为基， $\sigma_{ij} = (\bold{e}_i, \bold{e}_j) = \sigma_{ji}$ 度量矩阵 $\bold{G} = (\sigma_{ij}) = \bold{G}^T$	度量矩阵 $\bold{G}$ 为是对称矩阵设 $\bold{e}_1, ..., \bold{e}_n$ 为基， $\sigma_{ij} = (\bold{e}_i, \bold{e}_j) = \overline{(\bold{e}_j, \bold{e}_i)} = \overline{\sigma_{ji}}$ 度量矩阵 $\bold{G} = (\sigma_{ij}) = (\overline{\bold{G}})^T$
用Schmidt方法可以将任意一组基改造为标准正交基 $\bold{e}_1, ..., \bold{e}_n$ $(\bold{e}_i, \bold{e}_j) = \delta_{ij}, i,j = 1,2,...,n$	用Schmidt方法可以将任意一组基改造为标准正交基 $\bold{e}_1, ..., \bold{e}_n$ $(\bold{e}_i, \bold{e}_j) = \delta_{ij}, i,j = 1,2,...,n$
在标准正交基下， $\bold{a,b} = \sum_{i=1}^{n}a_i b_i$	在标准正交基下， $\bold{a,b} = \sum_{i=1}^{n}\overline{a}_i b_i$

2. 酉变换

定义7.6.3
设 $\mathcal{U}$ 是酉空间 $V$ 上的线性变换，如果 $\mathcal{U}$ 保持内积不变，即对一切向量 $\bold{a,b} \in V$ 有
$(\mathcal{U}\bold{a}, \mathcal{U}\bold{b}) = (\bold{a,b})$
则称 $\mathcal{U}$ 是酉空间 $V$ 上的一个酉变换。

定义7.6.4
设 $\bold{U}$ 是一个 $n$ 阶复矩阵，如果它满足 $\bold{U^HU} = \bold{I}$ 或者 $\bold{U}^{-1} = \bold{U^H}$ ，则称 $\bold{U}$ 为酉矩阵。

定理7.6.2
设 $\mathcal{U}$ 是酉空间 $V$ 上的一个线性变换，则下列各命题互相等价：

$\mathcal{U}$ 是一个酉变换

$\mathcal{U}$ 保持向量的模不变，即对任意的 $\bold{a} \in V$ ，有 $|\mathcal{U}\bold{a}| = |\bold{a}|$

$\mathcal{U}$ 把酉空间的标准正交基变为标准正交基；

$\mathcal{U}$ 在标准正交基下的矩阵是酉矩阵。

定理7.6.3
设 $U (V)$ 是 $n$ 为酉空间 $V$ 中所有酉变换的全体所形成的集合，则：

单位变换 $\mathcal{E} \in U(V)$

如果 $\mathcal{U}_1, \mathcal{U}_2 \in U(V)$ ，则 $\mathcal{U}_1 \circ \mathcal{U}_2 \in U(V)$ ;

如果 $\mathcal{U} \in U(V)$ ，则 $\mathcal{U}^{-1} \in U(V)$

3. Hermite变换

定义7.6.5
设 $\mathcal{A}$ 是 $n$ 维酉空间 $V$ 上的线性变换，如果对 $V$ 中任意两个向量 $\bold{a,b}$ 有 $(\bold{a}, \mathcal{A}\bold{b}) = (\mathcal{A}\bold{a}, \bold{b})$ ，则称 $\mathcal{A}$ 是酉空间 $V$ 上的Hermite变换。

定义7.6.6
称满足 $\bold{A} = \bold{A^H}$ 的复矩阵为Hermite矩阵。

4. 规范变换

定义7.6.7
设 $\mathcal{A}$ 是 $n$ 维酉空间 $V$ 上的一个线性变换，如果存在 $V$ 上的线性变换 $\mathcal{A}^{*}$ ，使得对于任意两个向量 $\bold{a,b}$ ，有 $(\mathcal{A}\bold{a}, \bold{b}) = (\bold{a}, \mathcal{A}^{*} \bold{b})$ ，则称 $\mathcal{A}^{*}$ 为 $\mathcal{A}$ 的共轭变换。

线性变换的共轭关系满足如下性质：

$\mathcal{E}^{*} = \mathcal{E}$ ，即单位变换的共轭等于其本身；
$(\mathcal{A}^{*})^{*} = \mathcal{A}$ ，即线性变换共轭的共轭等于其本身；
$(\lambda \mathcal{A})^{*} = \overline(\lambda) \mathcal{A}^{*}$
$(\mathcal{A} \pm \mathcal{B})^{*} = \mathcal{A}^{*} \pm \mathcal{B}^{*}$
$(\mathcal{A} \circ \mathcal{B})^{*} = \mathcal{B}^{*} \circ \mathcal{A}^{*}$

定义7.6.8
设 $\mathcal{A}$ 是 $n$ 维酉空间上的一个线性变换，如果 $\mathcal{A}$ 和它的共轭变换 $\mathcal{A}^{*}$ 可交换，即 $\mathcal{AA^{*}} = \mathcal{A^{*}A}$ ，则称变换 $\mathcal{A}$ 是一个规范变换。
规范变换在标准正交基下的矩阵满足 $\bold{AA^H} = \bold{A^HA}$ ，我们称满足上式的矩阵为规范矩阵。

定理7.6.4
设 $\mathcal{A}$ 是 $n$ 维酉空间 $V$ 中的一个线性变换，如果 $W$ 是 $\mathcal{A}$ 的不变子空间（即 $W$ 是 $V$ 的子空间，且对任意的 $\bold{a} \in W$ ，有 $\mathcal{A}\bold{a} \in W$ ），则 $W$ 在 $V$ 中的正交补空间 $W^{\perp}$ 是 $\mathcal{A}$ 的共轭变换 $\mathcal{A}^{*}$ 的不变子空间。

定理7.6.5
设 $\lambda$ 是 $n$ 维酉空间上的规范变换 $\mathcal{A}$ 的特征值， $\bold{x}$ 是对应的特征向量，则 $\overline{\lambda}$ 是 $\mathcal{A}$ 的共轭变换 $\mathcal{A}^{*}$ 的特征值， $\bold{x}$ 是对应的特征向量。

定理7.6.6
设 $\mathcal{A}$ 是 $n$ 维酉空间 $V$ 上的规范变换，则 $\mathcal{A}$ 的属于不同特征值的特征向量相互正交。

定理7.6.7
设 $\mathcal{A}$ 是 $n$ 维酉空间 $V$ 中任意规范变换，则存在 $V$ 的一组标准正交基，使得 $\mathcal{A}$ 在这组基下的矩阵 $\bold{A}$ 为对角矩阵。

定义7.6.9
对于复数域上的 $n$ 阶方阵 $\bold{A, B}$ ，如果存在 $n$ 阶酉矩阵 $\bold{U}$ ，使得 $\bold{A} = \bold{U^{-1}BU}$ ， $\bold{U}^{-1} = \bold{U}^{H}$ ，则称 $\bold{A}$ 酉相似于 $\bold{B}$ 。

定理7.6.8
任一规范矩阵 $\bold{A}$ 都可有相似于对角矩阵。
反之，复数域上任意酉相似于对角矩阵的矩阵一定是规范矩阵。

定理7.6.9
设 $\mathcal{A}$ 是酉空间 $V$ 中任一酉变换，则：

$\mathcal{A}$ 的特征值的模为1；

存在一组标准正交基，使得 $\mathcal{A}$ 在这组基下对应的矩阵为对角矩阵。

定理7.6.10
设 $\mathcal{A}$ 是酉空间 $V$ 中的任意一个Hermite变换，则：文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-485710.html

$\mathcal{A}$ 的特征值一定是实数；

存在一组标准正交基，使得 $\mathcal{A}$ 在这组基下对应的矩阵为实对角矩阵。